Exercices — Répétition d'épreuves de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues : le succès, de probabilité $p$, et l'échec, de probabilité $1-p$.

Pour chacune des situations suivantes, indiquer s'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli. Si oui, préciser le succès choisi et donner la valeur du paramètre $p$. Si non, expliquer pourquoi.

a. On lance une pièce équilibrée et on regarde si on obtient FACE.

b. On lance un dé équilibré à six faces et on note le numéro obtenu.

c. On lance un dé équilibré à six faces et on regarde si le résultat est un multiple de $3$.

d. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes et on note sa couleur parmi cœur, carreau, trèfle et pique.

e. En sortie de chaîne de fabrication, une pièce est défectueuse dans $3\mathrm{\%}$ des cas. On prélève une pièce au hasard et on regarde si elle est défectueuse.

f. Dans une enseigne, $82\mathrm{\%}$ des clients se déclarent satisfaits. On interroge un client au hasard et on regarde s'il est satisfait.

Dans une épreuve de Bernoulli, on appelle « succès » l'issue à laquelle on s'intéresse, même si elle n'a rien d'une bonne nouvelle dans la vie courante. Pour chacune des situations suivantes, décrire l'épreuve de Bernoulli, préciser le succès adapté à la question posée et donner la valeur du paramètre $p$.

1. Un standard téléphonique répond en moins d'une minute dans $90\mathrm{\%}$ des cas. Une étude porte sur les appels qui attendent plus d'une minute. On choisit un appel au hasard.

2. Sur une ligne de train, $12\mathrm{\%}$ des billets sont contrôlés pendant le trajet. On s'intéresse au fait d'être contrôlé. On choisit un voyage au hasard.

3. Un test de dépistage rapide donne un résultat exploitable dans $96\mathrm{\%}$ des cas. Un laboratoire étudie les tests non exploitables. On choisit un test au hasard.

4. Une graine de tomate germe avec la probabilité $\mathrm{0,7}$. Un jardinier veut estimer ses pertes et s'intéresse aux graines qui ne germent pas. On choisit une graine au hasard.

5. Question de réflexion : dans la situation 4, un autre jardinier choisit comme succès « la graine germe ». A-t-il tort ? Expliquer pourquoi le choix du succès n'est qu'une convention.

Jade s'entraîne au tir à l'arc. Elle tire deux flèches ; chaque flèche atteint la cible avec la probabilité $\mathrm{0,8}$, et les deux tirs sont supposés indépendants. Pour chaque tir, on note $A$ l'événement « la flèche atteint la cible » et $M$ l'événement « la flèche manque la cible ».

L'arbre de probabilités ci-dessous décrit les deux tirs, mais il est incomplet.

1. Recopier l'arbre et le compléter avec les probabilités manquantes.

2. Combien de chemins possède cet arbre ? Lister les quatre issues de l'expérience.

3. Calculer la probabilité du chemin $(A,A)$, c'est-à-dire la probabilité que Jade atteigne la cible avec ses deux flèches.

Partie A. Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,3}$ est répétée trois fois de façon identique et indépendante. On note $S$ le succès et $\bar{S}$ l'échec. Calculer la probabilité de chacun des chemins suivants.

Partie B. On lance quatre fois de suite une pièce équilibrée. On note $F$ l'événement « obtenir FACE » et $P$ l'événement « obtenir PILE » à chaque lancer.

1. Calculer la probabilité d'obtenir quatre fois FACE.

2. Calculer la probabilité du chemin $(F,P,P,F)$.

Lors d'une séance d'entraînement, un footballeur réussit ses tirs au but avec la probabilité $\mathrm{0,6}$. Il tire deux fois, et on suppose que les deux tirs sont indépendants. Pour chaque tir, on note $B$ l'événement « le tir est réussi » et $M$ l'événement « le tir est manqué ».

1. Justifier que cette situation est une répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Préciser le succès et le paramètre.

2. Construire l'arbre de probabilités décrivant les deux tirs.

3. Calculer la probabilité que le footballeur réussisse ses deux tirs, puis la probabilité qu'il les manque tous les deux.

4. En déduire la probabilité qu'il réussisse exactement un tir. On précisera les deux chemins concernés.

Maëlle joue à un jeu en ligne. Elle gagne une partie avec la probabilité $\mathrm{0,35}$, et les parties sont indépendantes les unes des autres. Ce soir, elle joue deux parties. Pour chaque partie, on note $G$ l'événement « la partie est gagnée » et $\bar{G}$ l'événement « la partie est perdue ».

1. Construire l'arbre de probabilités décrivant les deux parties.

2. Calculer la probabilité que Maëlle gagne les deux parties.

3. Calculer la probabilité qu'elle gagne exactement une partie.

4. Calculer la probabilité qu'elle perde les deux parties.

5. Vérifier que la somme des trois probabilités précédentes vaut $1$, puis expliquer pourquoi ce résultat était prévisible.

En sortie d'une chaîne de fabrication, chaque pièce produite est conforme avec la probabilité $\mathrm{0,9}$, indépendamment des autres pièces. Le service qualité prélève trois pièces au hasard. Pour chaque pièce, on note $C$ l'événement « la pièce est conforme » et $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Construire l'arbre de probabilités décrivant le prélèvement des trois pièces. Combien de chemins possède-t-il ?

2. Calculer la probabilité que les trois pièces soient conformes.

3. Calculer la probabilité qu'exactement deux pièces soient conformes. On listera les trois chemins concernés.

4. Calculer la probabilité qu'au plus une pièce soit conforme.

Un QCM comporte trois questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule est correcte. Un élève n'a pas révisé et répond entièrement au hasard à chacune des trois questions, ses réponses étant indépendantes les unes des autres.

On note $S$ l'événement « la réponse donnée est correcte ».

1. Justifier que répondre à une question constitue une épreuve de Bernoulli et donner la valeur de son paramètre.

2. Calculer la probabilité que l'élève réponde correctement aux trois questions.

3. Dresser la liste des chemins de l'arbre qui réalisent l'événement « exactement deux réponses sont correctes », puis calculer la probabilité de cet événement.

4. Calculer la probabilité que l'élève ne donne aucune réponse correcte.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions.

La réserve d'un musée est équipée de trois détecteurs de fumée qui fonctionnent de façon indépendante les uns des autres. Lors d'un départ de feu, chaque détecteur se déclenche avec une probabilité de $\mathrm{0,85}$.

Un départ de feu a lieu dans la réserve.

1. Quel est l'événement contraire de l'événement « au moins un détecteur se déclenche » ?

2. Calculer la probabilité qu'aucun détecteur ne se déclenche.

3. En déduire la probabilité qu'au moins un détecteur se déclenche.

4. En une phrase, commenter ce résultat : quel est l'intérêt pour le musée d'installer plusieurs détecteurs plutôt qu'un seul ?

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

a. « Lancer un dé équilibré à six faces et regarder si le résultat est pair est une épreuve de Bernoulli de paramètre $\mathrm{0,5}$. »

b. « L'arbre représentant la répétition de trois épreuves de Bernoulli possède six chemins. »

c. « Si la probabilité du succès est $p=\mathrm{0,4}$, alors la probabilité du chemin $(S,\bar{S},\bar{S})$ vaut $\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,144}$. »

d. « La probabilité d'obtenir au moins un succès est égale à $1$ moins la probabilité d'obtenir exactement un succès. »

e. « Tirer successivement deux cartes sans remise dans un jeu de cartes et regarder à chaque fois si la carte tirée est un as est une répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. »

Au basket, Inès réussit ses lancers francs avec une probabilité de $\mathrm{0,6}$. Lors d'un entraînement, elle tente quatre lancers francs, que l'on suppose indépendants les uns des autres.

On note $S$ l'événement « le lancer est réussi ».

1. Justifier que cette situation peut être modélisée par la répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, et préciser le paramètre.

2. Sans dessiner entièrement l'arbre représentant les quatre lancers, indiquer combien de chemins il comporte au total.

3. Dresser la liste des chemins qui réalisent l'événement « exactement trois lancers sont réussis ».

4. En déduire la probabilité qu'Inès réussisse exactement trois lancers.

5. Calculer la probabilité que les quatre lancers soient réussis.

Sur un sachet de graines de tomates, le fabricant indique que chaque graine germe avec une probabilité de $\mathrm{0,7}$, indépendamment des autres graines. Un jardinier plante quatre graines de ce sachet dans un bac.

1. Calculer la probabilité qu'aucune graine ne germe.

2. En déduire la probabilité qu'au moins une graine germe.

3. Reprendre les deux questions précédentes en supposant que le jardinier ne plante que deux graines.

4. Le jardinier affirme : « avec quatre graines, je suis certain d'avoir au moins une pousse ». Que penser de cette affirmation ?

Dans une usine, une machine produit des cartes électroniques. Chaque carte produite est conforme avec une probabilité de $\mathrm{0,95}$, indépendamment des autres cartes. En fin de journée, un technicien prélève quatre cartes pour un contrôle qualité.

On note $C$ l'événement « la carte est conforme ».

1. Justifier que ce contrôle peut être modélisé par la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; préciser le succès choisi et la valeur du paramètre.

2. Calculer la probabilité que les quatre cartes prélevées soient conformes. Arrondir le résultat à ${10}^{-4}$.

3. En listant ou en comptant les chemins de l'arbre concernés, calculer la probabilité qu'exactement trois cartes soient conformes. Arrondir le résultat à ${10}^{-4}$.

4. Calculer la probabilité qu'au moins une carte soit non conforme. Arrondir le résultat à ${10}^{-4}$.

5. La production est arrêtée pour réglage lorsque au moins deux des quatre cartes prélevées sont non conformes. Calculer la probabilité que la production soit arrêtée à l'issue de ce contrôle (arrondir à ${10}^{-4}$), puis commenter le résultat en une phrase.

Au XVIIe siècle, le chevalier de Méré, joueur invétéré, avait l'habitude de parier qu'en lançant un dé quatre fois de suite, il obtiendrait au moins un six. Intrigué par ses gains et ses pertes au jeu, il posa ses questions au mathématicien Blaise Pascal : cet échange est considéré comme l'un des points de départ du calcul des probabilités.

On lance donc quatre fois de suite un dé équilibré à six faces, les lancers étant indépendants les uns des autres. On note $S$ l'événement « obtenir un six ».

1. Justifier que chaque lancer constitue une épreuve de Bernoulli et donner la valeur du paramètre du succès $S$.

2. Calculer la probabilité de n'obtenir aucun six au cours des quatre lancers. Donner la fraction exacte, puis une valeur approchée à ${10}^{-4}$.

3. En déduire la probabilité d'obtenir au moins un six au cours des quatre lancers. Le pari du chevalier de Méré était-il avantageux ?

4. Reprendre les questions 2 et 3 dans le cas où l'on ne lance le dé que deux fois. Le pari serait-il encore avantageux ? Conclure.