Devoir surveillé — Répétition d'épreuves de Bernoulli

Pour chacune des quatre situations suivantes, dire si l'expérience aléatoire décrite est une épreuve de Bernoulli. Si oui, préciser l'événement choisi comme succès et le paramètre $p$ de l'épreuve. Si non, expliquer pourquoi en une phrase.

a. ($1$ pt) On lance une pièce truquée qui tombe sur PILE avec la probabilité $\mathrm{0,55}$, et on regarde si on obtient PILE.

b. ($1$ pt) On lance deux dés à six faces et on note la somme des faces obtenues.

c. ($1$ pt) On prélève au hasard un yaourt en sortie de production. On sait que $2\mathrm{\%}$ des yaourts produits sont non conformes. On regarde si le yaourt prélevé est non conforme.

d. ($1$ pt) On demande à un lycéen choisi au hasard son moyen de transport pour venir au lycée, parmi : bus, vélo, voiture, marche.

À la fête foraine, Sacha joue à un jeu d'adresse. À chaque partie, il gagne avec la probabilité $\mathrm{0,75}$. Il joue deux parties, et on suppose que les résultats des deux parties sont indépendants.

Pour chaque partie, on note $G$ l'événement « la partie est gagnée » et $\bar{G}$ l'événement « la partie est perdue ».

1. ($1$ pt) Justifier que cette situation est une répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Préciser le succès et le paramètre.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Construire l'arbre de probabilités correspondant à ces deux parties, en indiquant les probabilités sur chaque branche.

3. ($1$ pt) Calculer la probabilité que Sacha gagne les deux parties.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer la probabilité que Sacha gagne exactement une partie.

5. ($1$ pt) Calculer la probabilité que Sacha gagne au moins une partie. On pourra utiliser l'événement contraire.

Une entreprise de livraison affirme que chacune de ses livraisons arrive à l'heure avec la probabilité $\mathrm{0,8}$, indépendamment des autres livraisons. On suit trois livraisons effectuées dans la journée.

Pour chaque livraison, on note $H$ l'événement « la livraison est à l'heure » et $R$ l'événement « la livraison est en retard ».

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Construire l'arbre de probabilités correspondant aux trois livraisons, en indiquant les probabilités sur chaque branche. Combien de chemins cet arbre comporte-t-il ?

2. ($1$ pt) Calculer la probabilité que les trois livraisons soient à l'heure.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer la probabilité qu'exactement deux livraisons soient à l'heure. On listera les chemins de l'arbre qui réalisent cet événement.

4. ($1$ pt) Calculer la probabilité qu'au moins une livraison soit en retard.

Dans une serre, chaque graine d'une variété de tomate germe avec la probabilité $\mathrm{0,9}$, indépendamment des autres graines. Une maraîchère sème quatre graines de cette variété.

1. ($1$ pt) Justifier que cette situation peut être modélisée par la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Préciser le succès et le paramètre.

2. ($1$ pt) Calculer la probabilité que les quatre graines germent.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer la probabilité qu'exactement trois graines germent, sans construire l'arbre complet : lister les quatre chemins qui réalisent cet événement, puis utiliser le fait qu'ils ont tous la même probabilité.

4. ($1$ pt) Calculer la probabilité qu'au moins une graine ne germe pas.

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) La maraîchère estime qu'elle obtiendra « presque sûrement » au moins trois plants. Calculer la probabilité d'obtenir au moins trois plants et commenter son estimation.