Exercices — Probabilités conditionnelles et indépendance

Dans chaque cas, $A$ et $B$ sont deux événements d'une même expérience aléatoire, avec $P(A)\mathrm{\ne }0$. Calculer la probabilité demandée.

Un lycée compte $200$ élèves de première technologique, répartis en deux séries. Le tableau ci-dessous croise la série et le régime de restauration :

On choisit un élève au hasard parmi ces $200$ élèves et on considère les événements :

• $M$ : « l'élève est en STMG » ;
• $D$ : « l'élève est demi-pensionnaire ».

1. Calculer $P(M)$ et $P(D)$.
2. Calculer $P(M\cap D)$. Décrire cet événement par une phrase.
3. Calculer $P_M(D)$, puis compléter la phrase : « Parmi les élèves de STMG, $\dots \mathrm{\%}$ sont demi-pensionnaires. »
4. Calculer $P_D(M)$. Expliquer par une phrase en français pourquoi cette probabilité n'est pas égale à $P_M(D)$, alors que les deux utilisent l'effectif $90$.
5. Traduire par une notation, puis calculer : « la probabilité que l'élève soit externe sachant qu'il est en ST2S ». On notera $S$ : « l'élève est en ST2S » et $E$ : « l'élève est externe ».

Un magasin étudie le comportement de ses clients pendant une semaine de promotions. On choisit un client au hasard et on considère les événements :

• $A$ : « le client possède la carte de fidélité » ;
• $B$ : « le client profite de la promotion ».

La situation est résumée par l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Lire sur l'arbre $P(A)$ et $P(\bar{A})$. Que vérifie la somme de ces deux nombres ?
2. Lire $P_A(B)$ et interpréter cette valeur par une phrase en français commençant par « Parmi les clients qui possèdent la carte de fidélité, … ».
3. Lire $P_{\bar{A}}(\bar{B})$ et interpréter cette valeur par une phrase.
4. Calculer les quatre probabilités $P(A\cap B)$, $P(A\cap \bar{B})$, $P(\bar{A}\cap B)$ et $P(\bar{A}\cap \bar{B})$. Vérifier que leur somme vaut $1$.

Une salle de sport interroge ses clients. On choisit un client au hasard et on considère les événements :

• $A$ : « le client est abonné à l'année » ;
• $B$ : « le client vient au moins deux fois par semaine ».

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

a. La probabilité que le client soit abonné à l'année et vienne au moins deux fois par semaine se note $P_A(B)$.

b. La phrase « parmi les clients abonnés à l'année, $80\mathrm{\%}$ viennent au moins deux fois par semaine » se traduit par $P_A(B)=\mathrm{0,8}$.

c. Les notations $P_A(B)$ et $P_B(A)$ désignent la même probabilité.

d. Si $P_A(B)=\mathrm{0,8}$, alors $P_A(\bar{B})=\mathrm{0,2}$.

e. Si $P_A(B)=\mathrm{0,8}$, alors $P_{\bar{A}}(B)=\mathrm{0,2}$.

Une entreprise compte $250$ salariés, répartis entre le siège et les agences. Une enquête interne sur les déplacements domicile-travail donne le tableau incomplet ci-dessous :

On choisit un salarié au hasard et on considère les événements :

• $S$ : « le salarié travaille au siège » ;
• $T$ : « le salarié utilise les transports en commun ».

1. Recopier et compléter le tableau en justifiant le calcul d'au moins deux cases.
2. Calculer $P(T)$ et $P(S\cap T)$.
3. Calculer $P_S(T)$ et $P_{\bar{S}}(T)$.
4. A-t-on $P_S(T)>P(T)$ ? Interpréter cette comparaison par une phrase sur les salariés du siège.

Une usine assemble des cartes électroniques. $80\mathrm{\%}$ des cartes sont produites dans l'atelier interne, les autres proviennent d'un sous-traitant. Le service qualité contrôle chaque carte : parmi les cartes de l'atelier interne, $5\mathrm{\%}$ présentent un défaut ; parmi les cartes du sous-traitant, $15\mathrm{\%}$ présentent un défaut.

On choisit une carte au hasard dans la production et on considère les événements :

• $A$ : « la carte provient de l'atelier interne » ;
• $B$ : « la carte présente un défaut ».

1. Donner, à partir de l'énoncé, les valeurs de $P(A)$, $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$.
2. Construire l'arbre pondéré complet décrivant la situation (les quatre branches de second niveau doivent être pondérées).
3. Calculer $P(A\cap B)$ et interpréter ce résultat par une phrase.
4. Calculer $P(\bar{A}\cap B)$, $P(A\cap \bar{B})$ et $P(\bar{A}\cap \bar{B})$, puis vérifier que la somme des quatre probabilités d'intersection vaut $1$.

Le gérant d'un magasin analyse les $200$ tickets de caisse d'une journée. Pour chaque ticket, il note le moyen de paiement et le montant :

On tire un ticket au hasard et on considère les événements :

• $A$ : « le paiement a été effectué par carte bancaire » ;
• $B$ : « le montant du ticket est supérieur à $50$ € ».

Partie 1

1. Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.
2. Calculer $P(A)\times P(B)$ et comparer ce produit à $P(A\cap B)$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Partie 2

Après vérification, le gérant découvre une erreur de saisie : $10$ tickets comptés comme des paiements en espèces de plus de $50$ € étaient en réalité des paiements par carte bancaire de plus de $50$ €.

3. Dresser le tableau corrigé.
4. Reprendre les calculs de la question 2. avec le tableau corrigé. Que peut-on conclure ?
5. Vérifier que, dans le tableau corrigé, $P_A(B)=P(B)$. Interpréter cette égalité par une phrase.

Les trois questions sont indépendantes les unes des autres.

1. $A$ et $B$ sont deux événements indépendants d'une même expérience aléatoire, avec $P(A)=\mathrm{0,4}$ et $P(B)=\mathrm{0,25}$.

   a. Calculer $P(A\cap B)$.

   b. Donner, sans effectuer de calcul, la valeur de $P_A(B)$. Justifier votre réponse.

2. Dans chacun des cas suivants, déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Justifier par un calcul.

   a. $P(A)=\mathrm{0,5}$, $P(B)=\mathrm{0,6}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$

   b. $P(A)=\mathrm{0,3}$, $P(B)=\mathrm{0,4}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,15}$

3. Dans l'atelier de fabrication d'un lycée technologique, une imprimante 3D et une découpeuse laser fonctionnent chacune de leur côté. Au cours d'un mois donné, la probabilité que l'imprimante 3D tombe en panne est de $\mathrm{0,04}$ et la probabilité que la découpeuse laser tombe en panne est de $\mathrm{0,1}$. On admet que ces deux événements sont indépendants, et que leurs événements contraires sont eux aussi indépendants.

   a. Calculer la probabilité que les deux machines tombent en panne au cours du mois.

   b. Calculer la probabilité qu'aucune des deux machines ne tombe en panne au cours du mois.

Une société de livraison dessert une agglomération. Pour chaque livraison, le livreur passe soit par le centre-ville, soit par la rocade : $30\mathrm{\%}$ des livraisons passent par le centre-ville, les autres par la rocade.

À cause des embouteillages, $20\mathrm{\%}$ des livraisons passant par le centre-ville arrivent en retard. Sur la rocade, seules $5\mathrm{\%}$ des livraisons arrivent en retard.

On choisit une livraison au hasard et on considère les événements :

• $C$ : « la livraison passe par le centre-ville » ;
• $R$ : « la livraison arrive en retard ».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide des événements $C$ et $R$ : donner $P(C)$, $P_C(R)$ et $P_{\bar{C}}(R)$.

2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

3. Calculer $P(C\cap R)$ et $P(\bar{C}\cap R)$, et interpréter chacun de ces deux résultats par une phrase.

4. En déduire $P(R)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

5. La société annonce à ses clients : « moins d'une livraison sur dix arrive en retard ». Cette affirmation est-elle exacte ?

Une entreprise de distribution s'approvisionne auprès de deux fournisseurs. Le fournisseur principal $F_1$ assure $80\mathrm{\%}$ des commandes, le fournisseur secondaire $F_2$ assure les $20\mathrm{\%}$ restants.

Le service logistique a relevé que $10\mathrm{\%}$ des commandes passées à $F_1$ sont livrées en retard, contre $5\mathrm{\%}$ des commandes passées à $F_2$.

On choisit une commande au hasard et on considère les événements :

• $F_1$ : « la commande a été passée au fournisseur principal » ;
• $F_2$ : « la commande a été passée au fournisseur secondaire » ;
• $R$ : « la commande est livrée en retard ».

1. Traduire les données de l'énoncé : donner $P(F_1)$, $P(F_2)$, $P_{F_1}(R)$ et $P_{F_2}(R)$.

2. Calculer $P(F_1\cap R)$ et $P(F_2\cap R)$.

3. En déduire, à l'aide de la formule des probabilités totales, le taux global de retard de l'entreprise.

4. La direction juge ce taux trop élevé et souhaite le faire passer à $7\mathrm{\%}$ au maximum. Elle engage une négociation avec le fournisseur principal $F_1$ ; la répartition des commandes ($80\mathrm{\%}$ / $20\mathrm{\%}$) et le taux de retard de $F_2$ restent inchangés.

   On note $t$ le nouveau taux de retard du fournisseur $F_1$.

   a. Exprimer le taux global de retard en fonction de $t$.

   b. Déterminer le taux de retard maximal que l'entreprise peut accepter de la part de $F_1$ pour atteindre son objectif.

Partie A — La symétrie de l'indépendance

Dire que $B$ est indépendant de $A$, c'est dire que $P_A(B)=P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$. On va démontrer que cette relation est en réalité symétrique : si $B$ est indépendant de $A$, alors $A$ est indépendant de $B$.

On considère deux événements $A$ et $B$ d'une même expérience aléatoire, avec $P(A)>0$ et $P(B)>0$. On suppose que $P_A(B)=P(B)$.

1. Rappeler la définition de $P_A(B)$ à l'aide de $P(A\cap B)$ et $P(A)$.

2. En utilisant l'hypothèse $P_A(B)=P(B)$, montrer que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

3. Rappeler la définition de $P_B(A)$, puis, à l'aide du résultat de la question 2, montrer que $P_B(A)=P(A)$.

4. Rédiger une phrase de conclusion : que vient-on de démontrer ?

Partie B — Vrai ou faux ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être justifiée par un argument du cours ; une affirmation fausse doit être réfutée par un raisonnement ou un contre-exemple.

1. « Deux événements incompatibles, chacun de probabilité non nulle, peuvent être indépendants. »

2. « Si $P_A(B)=P_B(A)$, alors les événements $A$ et $B$ sont indépendants. »

   On pourra chercher un contre-exemple avec le lancer d'un dé équilibré à six faces.

Dans le cadre d'une campagne de santé scolaire, l'infirmière d'un lycée fait passer à tous les élèves un test de dépistage d'un trouble de la vision.

Des études montrent que $8\mathrm{\%}$ des élèves de cet âge présentent ce trouble. Le test utilisé n'est pas parfait :

• lorsqu'un élève présente le trouble, le test est positif dans $95\mathrm{\%}$ des cas ;
• lorsqu'un élève ne présente pas le trouble, le test est malgré tout positif dans $5\mathrm{\%}$ des cas (on parle de « faux positif »).

On choisit un élève au hasard et on considère les événements :

• $M$ : « l'élève présente le trouble de la vision » ;
• $T$ : « le test de l'élève est positif ».

1. Traduire les données de l'énoncé : donner $P(M)$, $P_M(T)$ et $P_{\bar{M}}(T)$.

2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

3. Calculer $P(M\cap T)$ et $P(\bar{M}\cap T)$, et interpréter chacun de ces deux résultats par une phrase.

4. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $P(T)=\mathrm{0,122}$.

5. Le lycée compte $1000$ élèves.

   a. Combien de tests positifs l'infirmière peut-elle prévoir, environ ?

   b. Parmi ces tests positifs, combien correspondent, environ, à des élèves qui présentent réellement le trouble ? Que peut-on en conclure sur la nécessité d'un examen complémentaire chez un spécialiste ?

Un atelier fabrique des pièces mécaniques sur deux lignes de fabrication. À l'issue de la fabrication, chaque pièce est contrôlée et déclarée conforme ou non conforme.

Partie A — Le bilan d'une journée

Au cours d'une journée, l'atelier a produit $2000$ pièces, dont $1200$ sur la ligne 1. Le contrôle a relevé $48$ pièces non conformes sur la ligne 1, et $728$ pièces conformes sur la ligne 2. Ce bilan est résumé dans le tableau incomplet ci-dessous :

1. Recopier et compléter le tableau d'effectifs.

2. On prélève une pièce au hasard dans la production de la journée. On considère les événements $L_1$ : « la pièce provient de la ligne 1 » et $N$ : « la pièce est non conforme ». Calculer $P(L_1)$ et $P(N)$.

3. Calculer $P_{L_1}(N)$ et $P_{L_2}(N)$, puis comparer les deux lignes par une phrase.

4. On prélève une pièce au hasard parmi les pièces non conformes. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la ligne 1 ? Exprimer ce résultat à l'aide d'une notation de probabilité conditionnelle.

Partie B — Le modèle en proportions

Sur une longue période, la production de l'atelier suit le modèle suivant : la ligne 1 assure $60\mathrm{\%}$ de la production ; $4\mathrm{\%}$ des pièces issues de la ligne 1 sont non conformes, et $9\mathrm{\%}$ des pièces issues de la ligne 2 sont non conformes.

On prélève une pièce au hasard dans la production ; on garde les événements $L_1$ et $N$ de la partie A.

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

2. Calculer $P(L_1\cap N)$ et $P(\overline{L_1}\cap N)$.

3. En déduire $P(N)$ à l'aide de la formule des probabilités totales. Ce résultat est-il cohérent avec la partie A ?

Partie C — Les deux lignes sont-elles interchangeables ?

On note $C$ : « la pièce est conforme » (c'est l'événement contraire de $N$).

1. Justifier que $P(C)=\mathrm{0,94}$ et donner $P(L_1\cap C)$.

2. Les événements $L_1$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

3. Comparer $P_{L_1}(C)$ et $P(C)$, puis conclure par une phrase sur la qualité relative des deux lignes de fabrication.

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera valorisée. C'est à vous d'organiser vos calculs et de justifier chaque étape.

Le site de vente en ligne d'une entreprise repose sur un parc de deux machines : un serveur principal $S_1$ et un serveur de secours $S_2$, installés sur deux sites distincts.

Pour une journée donnée, on considère les événements :

• $A$ : « le serveur principal $S_1$ tombe en panne au cours de la journée », avec $P(A)=\mathrm{0,05}$ ;
• $B$ : « le serveur de secours $S_2$ tombe en panne au cours de la journée », avec $P(B)=\mathrm{0,02}$.

Les deux machines étant installées sur des sites distincts, on admet que $A$ et $B$ sont indépendants, et que leurs événements contraires sont eux aussi indépendants.

1. a. Le site est totalement inaccessible lorsque les deux serveurs tombent en panne le même jour. Calculer la probabilité de cet événement.

   b. Calculer la probabilité qu'au moins un des deux serveurs tombe en panne au cours de la journée.

2. Lorsque le serveur principal fonctionne, une commande passée sur le site aboutit avec une probabilité de $\mathrm{0,99}$. Lorsque le serveur principal est en panne, le site bascule sur le serveur de secours, plus lent : une commande n'aboutit alors qu'avec une probabilité de $\mathrm{0,79}$.

   On note $C$ l'événement : « la commande aboutit ». Montrer que $P(C)=\mathrm{0,98}$.

3. L'entreprise souhaite que la probabilité qu'une commande aboutisse soit au moins égale à $\mathrm{0,985}$. Pour cela, elle décide de remplacer le serveur principal par un modèle plus fiable ; on note $p$ la probabilité de panne quotidienne de ce nouveau serveur, toutes les autres données restant inchangées.

   Déterminer les valeurs de $p$ qui permettent d'atteindre cet objectif, et formuler la réponse par une phrase.