Devoir surveillé — Probabilités conditionnelles et indépendance

Une enseigne de prêt-à-porter interroge $200$ clients sur leurs achats du mois écoulé : possession de la carte de fidélité et achat effectué en ligne (sur le site de l'enseigne) ou non. Les réponses sont résumées dans le tableau croisé ci-dessous, incomplet.

On choisit au hasard un client parmi les $200$ interrogés, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. On considère les événements :

• $F$ : « le client possède la carte de fidélité » ;
• $L$ : « le client a acheté en ligne au cours du mois ».

Les probabilités seront données sous forme décimale.

1. (1 point) Recopier et compléter le tableau.
2. (1 point) Calculer $P(F)$ et $P(L)$.
3. (0,5 point) Calculer $P(F\cap L)$.
4. (1 point) Calculer $P_F(L)$. Interpréter ce résultat par une phrase.
5. (1 point) Calculer $P_L(F)$.
6. (0,5 point) Traduire par une phrase en français le résultat de la question 5.

Une usine fabrique des bouteilles en verre sur deux lignes de production. La ligne 1 assure $60\mathrm{\%}$ de la production totale, la ligne 2 assure le reste. Le service qualité constate que $2\mathrm{\%}$ des bouteilles issues de la ligne 1 présentent un défaut, contre $5\mathrm{\%}$ des bouteilles issues de la ligne 2.

On prélève au hasard une bouteille dans la production de la journée. On considère les événements :

• $A$ : « la bouteille provient de la ligne 1 » (ainsi $\bar{A}$ : « la bouteille provient de la ligne 2 ») ;
• $D$ : « la bouteille présente un défaut ».

1. (1,5 point) Construire un arbre pondéré traduisant la situation. On rappelle que la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même nœud vaut $1$.
2. (1 point) Calculer $P(A\cap D)$ et interpréter ce résultat par une phrase.
3. (1 point) Calculer $P(\bar{A}\cap D)$.
4. (1 point) En déduire $P(D)$.
5. (0,5 point) Interpréter le résultat de la question 4 : quel pourcentage de la production totale présente un défaut ?

Les trois questions sont indépendantes les unes des autres.

1. (1,5 point) Dans une salle de sport, on choisit un adhérent au hasard. On note $A$ l'événement « l'adhérent fréquente la salle le week-end » et $B$ l'événement « l'adhérent suit au moins un cours collectif ». Une étude donne : $P(A)=\mathrm{0,5}$, $P(B)=\mathrm{0,3}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,2}$.

   Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.

2. Dans un cinéma, on choisit un spectateur au hasard. On note $C$ l'événement « le spectateur achète une boisson » et $D$ l'événement « le spectateur a choisi un film en version originale ». On sait que $P(C)=\mathrm{0,8}$, que $P(D)=\mathrm{0,35}$ et que les événements $C$ et $D$ sont indépendants.

   a. (1 point) Calculer $P(C\cap D)$.

   b. (1 point) Donner, sans effectuer de calcul, la valeur de $P_C(D)$. Justifier.

3. (1,5 point) Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

   « Si deux événements $E$ et $F$ de probabilités non nulles sont incompatibles, alors ils sont indépendants. »

La plateforme d'assistance téléphonique d'une mutuelle santé reçoit chaque jour de nombreux appels d'adhérents. Deux équipes se partagent les appels :

• l'équipe 1, composée de conseillers expérimentés, traite $60\mathrm{\%}$ des appels et résout le problème dès le premier appel dans $90\mathrm{\%}$ des cas ;
• l'équipe 2, composée de conseillers récemment recrutés, traite les $40\mathrm{\%}$ d'appels restants et résout le problème dès le premier appel dans $65\mathrm{\%}$ des cas.

On choisit un appel au hasard. On considère les événements :

• $A$ : « l'appel est traité par l'équipe 1 » (ainsi $\bar{A}$ : « l'appel est traité par l'équipe 2 ») ;
• $R$ : « le problème est résolu dès le premier appel ».

1. (1 point) Représenter la situation par un arbre pondéré ou par un tableau, au choix.

2. (1 point) Calculer $P(A\cap R)$ et interpréter ce résultat par une phrase.

3. (1 point) Montrer que $P(R)=\mathrm{0,80}$ et traduire ce résultat par une phrase.

4. (1,5 point) La direction souhaite que $90\mathrm{\%}$ des appels soient résolus dès le premier appel. Pour cela, elle prévoit une formation pour l'équipe 2. On note $x$ le taux de résolution de l'équipe 2 après formation (la répartition des appels et le taux de l'équipe 1 restent inchangés).

   a. Montrer que la probabilité qu'un appel soit résolu dès le premier appel s'écrit alors $\mathrm{0,54}+\mathrm{0,4}x$.

   b. Déterminer le taux de résolution minimal que l'équipe 2 doit atteindre pour que l'objectif de la direction soit respecté.

5. (0,5 point) Le directeur affirme : « Il suffit que l'équipe 2 gagne $10$ points, en passant de $65\mathrm{\%}$ à $75\mathrm{\%}$ de résolution, pour atteindre l'objectif. » A-t-il raison ? Justifier, puis commenter le réalisme de l'objectif de la direction.