Exercices — Nombre dérivé et tangente

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x$.

1. Calculer les images suivantes.

   a. $f(0)$

   b. $f(2)$

   c. $f(4)$

2. Calculer le taux de variation de $f$ :

   a. entre $0$ et $2$

   b. entre $2$ et $4$

   c. entre $0$ et $4$

3. Que représente le nombre obtenu à la question 2.a. pour la sécante à la courbe de $f$ passant par les points d'abscisses $0$ et $2$ ?

La courbe ci-dessous représente une fonction $g$ définie sur $[-2;4]$. Les points $A(-2;3)$ et $B(4;3)$ appartiennent à la courbe, et la droite $(AB)$ est tracée.

1. Lire graphiquement $g(-2)$, $g(0)$ et $g(4)$.

2. Calculer le taux de variation de $g$ entre $-2$ et $4$.

3. Que peut-on dire de la sécante $(AB)$ ? Est-ce cohérent avec le résultat de la question précédente ?

4. Calculer le taux de variation de $g$ entre $0$ et $4$.

On considère la fonction carré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On s'intéresse à ce qui se passe autour du point d'abscisse $2$.

1. Calculer le taux de variation de $f$ :

   a. entre $2$ et $3$

   b. entre $2$ et $\mathrm{2,5}$

   c. entre $2$ et $\mathrm{2,1}$

2. Soit $h$ un nombre non nul. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ vaut $4+h$. On pourra commencer par développer $(2+h{)}^2$.

3. Vers quelle valeur se rapproche ce taux de variation quand $h$ se rapproche de $0$ ? En déduire la valeur du nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(2)$.

On considère la fonction carré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, et le point de sa courbe d'abscisse $a=1$.

1. Recopier et compléter le tableau suivant, qui donne le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$ pour des valeurs de $h$ de plus en plus proches de $0$.

   $h$	$1$	$\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,1}$	$\mathrm{0,01}$
   Taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$

2. Quelle valeur ces taux semblent-ils approcher ? Conjecturer la valeur du nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(1)$.

3. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$ vaut $2+h$, puis justifier la conjecture de la question précédente.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-3;3]$. Trois tangentes à la courbe sont tracées : aux points d'abscisses $-2$, $0$ et $3$.

Rappel. Le nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

Lire graphiquement les six valeurs suivantes.

La courbe ci-dessous représente une fonction $h$. Trois points de la courbe sont marqués : $A(-2;1)$, $B(0;3)$ et $C(2;2)$.

On donne les nombres dérivés suivants :

$$h^{\mathrm{\prime }}(-2)=2h^{\mathrm{\prime }}(0)=0h^{\mathrm{\prime }}(2)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

1. Reproduire la figure (ou la décalquer), puis construire la tangente à la courbe en chacun des points $A$, $B$ et $C$. On expliquera la méthode utilisée pour chaque tracé.

2. Bonus. En quel(s) point(s) parmi $A$, $B$ et $C$ la tangente est-elle horizontale ? Pourquoi ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

a. Si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est horizontale.

b. Le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

c. Si $f^{\mathrm{\prime }}(2)=3$, alors la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ a pour coefficient directeur $3$.

d. La vitesse moyenne d'un mobile entre deux instants est un nombre dérivé.

e. Deux points distincts d'une courbe définissent une sécante à cette courbe.

Dans chacun des cas suivants, $f$ est une fonction dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ admet une tangente $T$ au point d'abscisse $a$. À l'aide des données, déterminer l'équation réduite de $T$.

On considère la fonction carré $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, dont la courbe est une parabole. On s'intéresse à la tangente à cette parabole au point d'abscisse $a=-1$.

1. Calculer $f(-1)$ et en déduire les coordonnées du point de contact $A$.

2. Soit $h$ un nombre non nul. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $-1$ et $-1+h$ vaut $-2+h$.

3. En faisant tendre $h$ vers $0$, en déduire la valeur du nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(-1)$.

4. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la parabole au point $A$.

5. Vérifier par le calcul que le point $A(-1;1)$ appartient bien à cette tangente.

La figure ci-dessous représente la courbe ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-2;\mathrm{2,5}]$, ainsi que la tangente $T$ à cette courbe au point $A(1;2)$.

1. Lire graphiquement $f(1)$.

2. En s'appuyant sur la tangente tracée, lire graphiquement $f^{\mathrm{\prime }}(1)$. Détailler la lecture de la pente (déplacement horizontal et déplacement vertical).

3. Retrouver par le calcul, à l'aide de la formule du cours, l'équation réduite de la tangente $T$.

4. Contrôle graphique : d'après l'équation obtenue, la droite $T$ passe-t-elle par l'origine du repère ? Est-ce cohérent avec la figure ?

Un objet est lâché en chute libre, sans vitesse initiale. La distance qu'il parcourt, en mètres, au bout de $t$ secondes est modélisée par

$$d(t)=5t^2$$

1. Calculer la distance parcourue par l'objet au bout de $1$ seconde, puis au bout de $2$ secondes.

2. Calculer la vitesse moyenne de l'objet entre les instants $t=1$ et $t=2$, en m/s.

3. Soit $h$ un nombre non nul. Montrer que la vitesse moyenne de l'objet entre les instants $1$ et $1+h$ vaut $10+5h$ m/s.

4. En faisant tendre $h$ vers $0$, en déduire la vitesse instantanée de l'objet à l'instant $t=1$. Comment ce résultat se note-t-il avec la fonction $d$ ?

5. Si l'objet était équipé d'un compteur de vitesse comme celui d'une voiture, qu'afficherait-il à l'instant $t=1$ : la valeur trouvée à la question 2 ou celle de la question 4 ? Expliquer.

Une entreprise fabrique chaque jour $x$ objets, avec $0⩽x⩽100$. Le coût total de production de $x$ objets, en euros, est modélisé par

$$C(x)=x^2+10x+900$$

1. Calculer $C(30)$. Que représente ce nombre dans le contexte de l'exercice ?

2. Soit $h$ un nombre non nul. Montrer que le taux de variation de $C$ entre $30$ et $30+h$ vaut $70+h$.

3. En faisant tendre $h$ vers $0$, en déduire la valeur de $C^{\mathrm{\prime }}(30)$. Ce nombre est appelé coût marginal au niveau de production $30$ : interpréter sa valeur par une phrase dans le contexte de l'entreprise.

4. Calculer $C(31)-C(30)$ : c'est le coût exact de fabrication du ${31}^{\text{e}}$ objet de la journée. Comparer ce coût exact au coût marginal $C^{\mathrm{\prime }}(30)$ et commenter.

On considère la fonction $f$ définie sur $[-\mathrm{0,5};\mathrm{4,5}]$ par $f(x)=-x^2+4x$. Sa courbe, représentée ci-dessous, est une parabole tournée vers le bas, de sommet $(2;4)$. La tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ est également tracée.

1. Vérifier que $f(x)=x(4-x)$ pour tout $x$ de $[-\mathrm{0,5};\mathrm{4,5}]$, puis calculer $f(1)$.

2. Calculer le taux de variation de $f$ entre $0$ et $2$. Quelle sécante à la courbe ce nombre décrit-il ?

3. Soit $h$ un nombre non nul. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$ vaut $2-h$.

4. En faisant tendre $h$ vers $0$, en déduire la valeur du nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(1)$.

5. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$, et vérifier la cohérence avec la droite tracée sur la figure.

6. Sur la figure, la tangente à la courbe au sommet $(2;4)$ serait horizontale. Que vaut $f^{\mathrm{\prime }}(2)$ ? Justifier.

Une commune fait construire une rampe de skate. Vu de profil, dans un repère où les unités sont en mètres, le sol est l'axe des abscisses et la surface courbe de la rampe est modélisée par

$$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}\text{pour }x\in [0;6]$$

Pour que les skateurs puissent quitter la rampe sans à-coup, on veut la prolonger par un plan droit incliné à ${45}^{\circ }$, c'est-à-dire de pente $1$. Ce plan doit se raccorder parfaitement à la courbe : il suivra la tangente à la courbe au point de raccordement.

1. Soit $a$ un nombre de $[0;6]$ et $h$ un nombre non nul. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ vaut ${\displaystyle \frac{2a+h}{4}}$.

2. En faisant tendre $h$ vers $0$, en déduire que $f^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{a}{2}}$ pour tout $a$ de $[0;6]$.

3. Déterminer le point de la rampe où la pente vaut exactement $1$ : donner son abscisse $a$, puis ses coordonnées.

4. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe en ce point.

5. Le plan incliné suit cette tangente jusqu'au sol. À quelle distance du pied de la rampe (l'origine du repère) touche-t-il le sol, d'équation $y=0$ ?