Devoir surveillé — Nombre dérivé et tangente

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=x^2-4x\mathrm{.}$$

1. Calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(3)$. ($\mathrm{1,5}$ pt)
2. Calculer le taux de variation de $f$ entre $0$ et $3$, puis le taux de variation de $f$ entre $1$ et $3$. ($\mathrm{1,5}$ pt)
3. Interpréter graphiquement chacun des deux nombres obtenus à la question 2. Que peut-on dire de la sécante à la courbe de $f$ passant par les points d'abscisses $1$ et $3$ ? ($1$ pt)

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3;4]$, ainsi que ses tangentes aux points d'abscisses $-1$ et $2$.

Répondre aux questions 1 et 2 à l'aide du graphique.

1. Lire $f(-1)$ et $f(2)$. ($1$ pt)
2. Lire $f^{\mathrm{\prime }}(-1)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)$, en justifiant chaque lecture. ($2$ pts)
3. Retrouver par le calcul l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$. ($2$ pts)
4. Cette tangente coupe l'axe des abscisses en un point : déterminer ses coordonnées. ($1$ pt)

On considère la fonction carré $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2$. On s'intéresse à sa courbe au voisinage du point d'abscisse $3$.

1. Calculer $f(3)$. ($\mathrm{0,5}$ pt)
2. Soit $h$ un réel non nul. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3+h$ est égal à $6+h$. On pourra commencer par développer $(3+h{)}^2$. ($2$ pts)
3. En faisant se rapprocher $h$ de $0$, en déduire la valeur du nombre dérivé $f^{\mathrm{\prime }}(3)$. ($1$ pt)
4. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$. ($\mathrm{1,5}$ pt)
5. Le point $A(2;3)$ appartient-il à cette tangente ? Justifier. ($1$ pt)

Un mobile se déplace en ligne droite. La distance qu'il a parcourue, en mètres, au bout de $t$ secondes est donnée par :

$$d(t)=2t^2,t\in [0;10]\mathrm{.}$$

1. Calculer la vitesse moyenne du mobile entre les instants $t=2$ et $t=3$. ($1$ pt)
2. Soit $h$ un réel non nul. Montrer que la vitesse moyenne du mobile entre les instants $2$ et $2+h$ est égale à $8+2h$ m/s. ($\mathrm{1,5}$ pt)
3. En déduire la vitesse instantanée du mobile à l'instant $t=2$, puis interpréter ce nombre par une phrase. ($\mathrm{1,5}$ pt)