Exercices — Géométrie plane : figures régulières

Dans un atelier de design textile, on prépare des gabarits de polygones réguliers pour composer des motifs. Pour chacun des polygones réguliers suivants, calculer la mesure de l'angle au centre, puis celle de l'angle intérieur.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.

1. Un losange est un polygone régulier.

2. Un rectangle est un polygone régulier.

3. Un hexagone dont les six côtés ont la même longueur est un hexagone régulier.

4. Un triangle équilatéral est un polygone régulier.

Pour l'affirmation 3, on pourra s'appuyer sur la figure ci-dessous : les deux hexagones ont tous leurs côtés de la même longueur.

Pour dessiner un motif de carreau de ciment, une designer doit tracer un hexagone régulier $ABCDEF$ inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $4$ cm, uniquement à la règle et au compas.

Elle utilise la méthode classique : après avoir tracé le cercle et placé un point $A$ dessus, elle reporte le rayon sur le cercle avec son compas, sans changer l'écartement, pour obtenir les sommets suivants.

1. Rédiger le programme de construction complet de l'hexagone $ABCDEF$ (la liste des instructions, étape par étape).

2. Cette méthode repose sur une propriété : le côté d'un hexagone régulier a la même longueur que le rayon de son cercle circonscrit.

   a. Donner la mesure de l'angle au centre $\widehat{AOB}$ d'un hexagone régulier.

   b. Quelle est la nature du triangle $AOB$ ? Justifier que $AB=OA$, c'est-à-dire que le côté de l'hexagone est égal au rayon.

3. Reformuler la construction à l'aide d'une transformation du plan : par quelle transformation passe-t-on du sommet $A$ au sommet $B$, puis de $B$ à $C$, et ainsi de suite ? Combien de fois faut-il appliquer cette transformation pour obtenir les six sommets ?

Un carreleur retrouve dans son atelier des gabarits de polygones réguliers dont il ne connaît plus le nombre de côtés. Seules les mesures d'angles sont notées dessus.

1. Sur le premier gabarit, l'angle au centre mesure ${24}^{\circ }$. Combien ce polygone régulier a-t-il de côtés ?

2. Sur le deuxième gabarit, c'est l'angle intérieur qui est noté : il mesure ${150}^{\circ }$. Combien ce polygone régulier a-t-il de côtés ?

3. Un stagiaire affirme avoir mesuré un angle intérieur de ${100}^{\circ }$ sur un troisième gabarit. Un polygone régulier peut-il avoir un angle intérieur de ${100}^{\circ }$ ? Justifier.

Un atelier de mobilier design fabrique une table basse dont le plateau est un hexagone régulier $ABCDEF$ de côté $60$ cm et de centre $O$. Sur la figure, $H$ est le milieu du côté $[AB]$ : le segment $[OH]$ est l'apothème de l'hexagone.

1. Calculer le périmètre du plateau.

2. a. Justifier que le triangle $AOB$ est équilatéral de côté $60$ cm.

   b. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $AOH$, montrer que l'apothème vaut $a=30\sqrt{3}$ cm, puis en donner une valeur approchée au dixième de centimètre.

3. L'aire d'un polygone régulier est donnée par la formule $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{P\times a}{2}}$, où $P$ est son périmètre et $a$ son apothème. Calculer l'aire du plateau, arrondie au cm², puis la convertir en m² (arrondir au centième).

Une verrière décorative comporte un vitrail en forme de pentagone régulier $ABCDE$, inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $5$ cm. Le point $H$ est le milieu du côté $[AB]$ ; la droite $(OH)$ est un axe de symétrie du triangle $AOB$.

1. Justifier que l'angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure ${72}^{\circ }$, puis que $\widehat{AOH}={36}^{\circ }$.

2. Dans le triangle $AOH$ rectangle en $H$, exprimer $AH$ en fonction de $\sin {36}^{\circ }$, puis en déduire la longueur du côté $AB$ (valeur approchée au centième de centimètre).

3. Calculer de même l'apothème $OH$ (valeur approchée au centième de centimètre).

4. En déduire le périmètre du vitrail, puis son aire à l'aide de la formule $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{P\times a}{2}}$ (arrondir les deux résultats au dixième).

Un motif de carrelage ancien est obtenu en coupant les quatre coins d'un carreau carré de $10$ cm de côté, de façon à faire apparaître un octogone régulier. On note $x$ la longueur, en centimètres, coupée sur chaque côté à partir de chaque coin : les quatre triangles retirés sont rectangles et isocèles, de côtés de l'angle droit de longueur $x$.

1. Exprimer en fonction de $x$ :

   a. la longueur de l'hypoténuse d'un coin coupé (on utilisera le théorème de Pythagore) ;

   b. la longueur du côté de l'octogone porté par un côté du carré.

2. L'octogone est régulier : ses huit côtés ont la même longueur. Traduire cette condition par une équation d'inconnue $x$, puis montrer qu'elle équivaut à $x={\displaystyle \frac{10}{2+\sqrt{2}}}$. Donner une valeur approchée de $x$ au centième de centimètre.

3. En déduire la longueur du côté de l'octogone (au centième de centimètre).

4. Calculer l'aire de l'octogone, arrondie au dixième de cm².

Une grille de ferronnerie est décorée d'une rosace formée de $8$ pétales identiques, régulièrement répartis autour d'un point $O$. Le pétale mis en évidence sur la figure est le motif élémentaire de la rosace.

1. Par quelle transformation du plan passe-t-on d'un pétale au pétale voisin ? Préciser tous ses éléments (centre, angle, sens).

2. Combien de fois faut-il appliquer cette transformation au pétale mis en évidence pour reconstruire la rosace complète et revenir au pétale de départ ?

3. La rosace a-t-elle des axes de symétrie ? Si oui, décrire leur position et donner leur nombre.

Une céramiste dessine sur un quadrillage le motif d'un carreau de ciment. Le motif élémentaire est le triangle rectangle $OMN$ représenté ci-dessous : le point $M$ est situé $2$ carreaux à droite de $O$, le point $N$ est situé $2$ carreaux au-dessus de $O$, et le triangle est rectangle en $O$. Les points $A$ et $B$ sont deux nœuds du quadrillage marqués sur la figure.

1. Reproduire la figure. Construire l'image du triangle $OMN$ par la rotation de centre $O$, d'angle ${90}^{\circ }$, dans le sens des aiguilles d'une montre, puis appliquer encore deux fois cette même rotation de façon à compléter le tour : on obtient en tout quatre triangles.

2. Construire l'image de la figure obtenue par la translation qui envoie le point $A$ sur le point $B$.

3. Quelle figure globale les quatre triangles de la question 1. dessinent-ils ? Si l'on répétait plusieurs fois la translation de la question 2., quel type de décor obtiendrait-on ?

Une styliste borde un tissu d'un galon brodé : des triangles isocèles identiques, alternativement pointe en haut et pointe en bas, remplissent entièrement une bande de $3$ cm de haut. Chaque triangle a une base de $5$ cm et une hauteur de $3$ cm.

Sur la figure, trois triangles consécutifs sont numérotés : le triangle 1 (pointe en haut), le triangle 2 (pointe en bas) et le triangle 3 (pointe en haut). Les points $A$ et $B$ sont les sommets en bas à gauche des triangles 1 et 3, et $I$ est le milieu du côté commun aux triangles 1 et 2.

1. Quelle est la plus petite partie du galon qui suffit à reconstruire toute la frise en la répétant par des transformations ? Cette partie s'appelle un motif élémentaire.

2. a. Décrire une transformation qui transforme le triangle 1 en le triangle 2. On pourra utiliser le point $I$.

   b. Décrire une transformation qui transforme le triangle 1 en le triangle 3.

3. La période de la frise est la longueur au bout de laquelle le décor se répète à l'identique. Donner la période de ce galon, puis le nombre de répétitions complètes du motif sur un galon de $60$ cm de long.

Une mosaïque murale est constituée de parallélogrammes tous identiques, assemblés bord à bord, sans trou ni chevauchement. Sur la figure, $ABCD$ est l'un de ces parallélogrammes ; on a tracé sa diagonale $[BD]$ et marqué le point $I$, milieu de $[BD]$.

1. Donner un motif élémentaire de ce pavage, c'est-à-dire une pièce qui suffit à reconstruire tout le pavage en la répétant par des transformations.

2. Décrire, à l'aide de points de la figure, deux translations qui permettent d'engendrer tout le pavage à partir du parallélogramme $ABCD$.

3. La diagonale $[BD]$ partage le parallélogramme en deux triangles.

   a. Quelle est l'image du triangle $ABD$ par la symétrie centrale de centre $I$ ? Justifier en donnant l'image de chacun de ses sommets.

   b. Expliquer pourquoi le triangle $ABD$ peut lui aussi servir de motif élémentaire du pavage, à condition d'ajouter cette symétrie centrale aux deux translations de la question 2.

Un céramiste veut carreler un sol avec des carreaux tous identiques, en forme de polygone régulier, assemblés bord à bord. Pour qu'un tel pavage soit possible, sans trou ni chevauchement, les angles des carreaux qui se rejoignent autour d'un même sommet doivent totaliser exactement ${360}^{\circ }$.

On rappelle que l'angle intérieur d'un polygone régulier à $n$ côtés mesure ${180}^{\circ }-{\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}$.

1. Calculer l'angle intérieur de chacun des polygones réguliers suivants :

   a. le triangle équilatéral

   b. le carré

   c. l'hexagone régulier

2. Vérifier que chacun de ces trois polygones peut paver le plan à lui seul : préciser à chaque fois le nombre de carreaux qui se rejoignent autour d'un sommet.

3. Montrer que le pentagone régulier ne peut pas paver le plan à lui seul.

4. a. Montrer que l'octogone régulier ne peut pas non plus paver le plan à lui seul.

   b. Le céramiste assemble alors, autour de chaque sommet, deux octogones réguliers et un carré, comme sur les carrelages anciens représentés ci-dessous. Vérifier par un calcul d'angles que cet assemblage est possible.

   

Un designer dessine le profil du dossier d'une chaise : une partie rectiligne doit se raccorder « sans cassure » à une partie courbe. La partie courbe est un arc du cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm, et le raccordement se fait au point $A$ de ce cercle. Pour que le raccord soit sans cassure, la partie rectiligne doit être tangente au cercle en $A$.

1. Rappeler la propriété de la tangente à un cercle en un point de ce cercle.

2. Quelle condition la partie rectiligne doit-elle vérifier au point $A$ pour que le raccordement soit sans cassure ?

3. La partie rectiligne relie le point $A$ à un point $B$ tel que $OB=5$ cm. Calculer la longueur $AB$ du segment rectiligne.

Le profil d'un vase est formé de deux arcs de cercle qui se raccordent « sans cassure » en un point $M$ : un arc du cercle ${\mathcal{C}}_1$ de centre $O_1$ et de rayon $2$ cm, et un arc du cercle ${\mathcal{C}}_2$ de centre $O_2$ et de rayon $5$ cm. Dire que le raccordement est sans cassure signifie que les deux arcs admettent la même tangente au point $M$.

1. Soit $d$ la tangente commune aux deux arcs au point $M$.

   a. Justifier que la droite $d$ est perpendiculaire au rayon $[O_{1}M]$, et qu'elle est aussi perpendiculaire au rayon $[O_{2}M]$.

   b. En déduire que les points $O_1$, $M$ et $O_2$ sont alignés.

2. Calculer la distance $O_1{O}_2$ dans chacun des deux cas suivants :

   a. les centres $O_1$ et $O_2$ sont situés de part et d'autre de $M$ (les deux arcs sont de part et d'autre de la tangente, comme sur la figure) ;

   b. les centres $O_1$ et $O_2$ sont situés du même côté de $M$ (le petit arc s'enroule à l'intérieur du grand).

3. Le designer a déjà tracé le cercle ${\mathcal{C}}_1$ et choisi le point $M$ sur ce cercle. Sur quelle droite doit-il placer le centre $O_2$ pour que le raccordement en $M$ soit sans cassure ? Préciser à quelle distance de $M$.

Un carreleur pose une crédence de cuisine en carreaux hexagonaux : chaque carreau est un hexagone régulier de côté $10$ cm. Sur la figure, les points $A$, $B$ et $C$ sont les centres de trois carreaux voisins.

1. Calculer l'angle intérieur de l'hexagone régulier, puis justifier que des carreaux hexagonaux peuvent recouvrir la crédence sans trou ni chevauchement.

2. L'apothème d'un carreau est la distance de son centre au milieu d'un côté.

   a. Justifier qu'un carreau se découpe en six triangles équilatéraux de côté $10$ cm, puis montrer que l'apothème vaut $5\sqrt{3}$ cm, soit environ $\mathrm{8,66}$ cm.

   b. En déduire l'aire exacte d'un carreau, puis une valeur approchée au dixième de cm² près.

3. La crédence a une aire de $\mathrm{1,5}$ m². Combien de carreaux entiers le carreleur doit-il prévoir au minimum pour la couvrir ? (On néglige les joints et les découpes.)

4. Décrire, à l'aide des points $A$, $B$ et $C$ de la figure, deux translations qui permettent d'engendrer tout le pavage à partir d'un seul carreau.