Devoir surveillé — Géométrie plane : figures régulières

Les trois questions sont indépendantes.

1. Un dodécagone régulier est un polygone régulier à $12$ côtés. Calculer la mesure de son angle au centre, puis celle de son angle intérieur.
2. L'angle au centre d'un polygone régulier mesure ${40}^{\circ }$. Déterminer le nombre de côtés de ce polygone, puis la mesure de son angle intérieur.
3. Existe-t-il un polygone régulier dont l'angle intérieur mesure ${130}^{\circ }$ ? Justifier la réponse.

Une designeuse fabrique un plateau de table en forme d'octogone régulier, découpé dans un panneau de bois. L'octogone est inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon $20$ cm. On note $[AB]$ un côté de l'octogone et $H$ le milieu de $[AB]$, comme sur la figure ci-dessous.

1. Calculer la mesure de l'angle au centre $\widehat{AOB}$ de l'octogone.
2. La droite $(OH)$ est un axe de symétrie du triangle isocèle $OAB$. Justifier que $\widehat{HOB}={\mathrm{22,5}}^{\circ }$, puis calculer la longueur $AB$ d'un côté du plateau (arrondir au dixième de cm).
3. Calculer la longueur $OH$ de l'apothème de l'octogone (arrondir au dixième de cm).
4. En déduire le périmètre $P$ du plateau (arrondir au dixième de cm), puis son aire à l'aide de la formule $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{P\times a}{2}}$, où $a$ désigne l'apothème (arrondir au ${\text{cm}}^2$).

Un céramiste décore le bandeau d'une salle d'exposition avec la frise ci-dessous, réalisée à partir de carreaux ayant tous la forme d'un même triangle rectangle isocèle. L'axe $(d)$ et la flèche de $12$ cm dessinés sur la figure indiquent comment la frise est construite.

1. Un motif élémentaire de la frise est encadré en pointillés sur la figure. Décrire ce motif.
2. Décrire précisément les deux transformations du plan qui permettent d'engendrer toute la frise à partir de ce motif élémentaire.
3. La frise se répète avec une période de $12$ cm. Le bandeau mesure $60$ cm de long : combien de fois la période est-elle répétée sur toute la longueur ?
4. Le céramiste souhaite maintenant carreler entièrement un mur, sans trou ni chevauchement, en utilisant uniquement ce carreau triangulaire. Est-ce possible ? Expliquer la réponse (on pourra s'appuyer sur un assemblage simple de deux carreaux).

Une designeuse dessine le profil d'une console murale. Ce profil est constitué d'un arc de cercle de centre $O$ et de rayon $6$ cm, prolongé par un segment $[AB]$ qui se raccorde sans cassure à l'arc au point $A$ : la droite $(AB)$ est donc tangente en $A$ au cercle de centre $O$. On donne $OB=10$ cm.

1. Rappeler la propriété du cours qui relie la tangente à un cercle en un point et le rayon aboutissant en ce point.
2. En déduire que le triangle $OAB$ est rectangle en $A$.
3. Calculer la longueur $AB$.