Exercices — Géométrie dans l'espace

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous, de base $ABCD$, avec $AB=5$, $AD=3$ et $AE=2$. La face du dessus est $EFGH$, avec $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$.

On munit l'espace du repère orthonormal d'origine $A$ dont les axes sont portés par les demi-droites $[AB)$, $[AD)$ et $[AE)$, gradués avec $1$ comme unité.

1. Donner les coordonnées des huit sommets du pavé.

   a. $A$

   b. $B$

   c. $C$

   d. $D$

   e. $E$

   f. $F$

   g. $G$

   h. $H$

2. Le point $M$, milieu de $[FG]$, est marqué sur la figure. Donner ses coordonnées.

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $2$ ci-dessous, de base $ABCD$ et de face du dessus $EFGH$, avec $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$.

On munit l'espace du repère orthonormal d'origine $A$ dont les axes sont portés par les demi-droites $[AB)$, $[AD)$ et $[AE)$, gradués avec $1$ comme unité.

Trois points sont marqués sur la figure :

• $P$, le centre de la face du dessus $EFGH$ ;
• $N$, le milieu de l'arête $[BC]$ ;
• $T$, le centre du cube.

1. Donner les coordonnées des sommets $G$ et $H$.

2. Donner les coordonnées des points $P$, $N$ et $T$, en justifiant brièvement chaque réponse (par exemple, $P$ est le milieu de la diagonale $[EG]$).

Dans un repère orthonormal de l'espace, on considère un pavé droit $ABCDEFGH$ de base $ABCD$, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$. On sait que :

$$A(0;0;0)B(4;0;0)D(0;2;0)E(0;0;3)$$

1. Déterminer les coordonnées des quatre autres sommets $C$, $F$, $G$ et $H$.

2. Calculer les coordonnées du milieu de la diagonale $[AG]$, puis celles du milieu de la diagonale $[EC]$. Que constate-t-on ? Interpréter ce résultat pour le pavé.

Rappel. Dans un repère orthonormal de l'espace, $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$.

Calculer les quatre distances suivantes.

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $6$ ci-dessous, de base $ABCD$ et de face du dessus $EFGH$, avec $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$. On munit l'espace du repère orthonormal d'origine $A$ dont les axes sont portés par les demi-droites $[AB)$, $[AD)$ et $[AE)$, gradués avec $1$ comme unité.

Sur la figure sont tracées la diagonale de face $[AC]$ et la grande diagonale $[AG]$.

Rappel. Dans un repère orthonormal, $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$.

1. Donner les coordonnées des points $A$, $C$ et $G$.

2. Calculer $AC$, la longueur de la diagonale d'une face du cube. Donner la valeur exacte simplifiée, puis l'arrondi au dixième.

3. Calculer $AG$, la longueur de la grande diagonale du cube. Donner la valeur exacte simplifiée, puis l'arrondi au dixième.

4. Pour un cube d'arête $a$, conjecturer les expressions de la longueur de la diagonale d'une face et de la longueur de la grande diagonale.

Pour une suspension luminaire à structure filaire, une designeuse repère les trois points d'accroche des câbles dans un repère orthonormal de l'espace (unité : le décimètre) :

$$A(2;1;3)B(5;1;7)C(2;6;3)$$

Rappel. Dans un repère orthonormal, $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$.

1. Calculer les longueurs exactes $AB$, $AC$ et $BC$ (on simplifiera l'écriture de $BC$).

2. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle.

3. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle, et préciser en quel sommet.

4. En déduire l'aire du triangle $ABC$.

Pour chacune des affirmations suivantes, à propos d'une représentation en perspective cavalière (projection parallèle), dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse en une ou deux phrases, et corriger l'affirmation si elle est fausse.

a. « Le milieu d'un segment est représenté par le milieu du segment image. »

b. « Toutes les longueurs du solide sont représentées en vraie grandeur. »

c. « Deux arêtes parallèles sur le solide sont représentées par deux segments parallèles. »

d. « Un angle droit du solide est toujours représenté par un angle droit. »

e. « Un cercle tracé sur une face de dessus d'un cube est représenté par un cercle. »

f. « Si un cercle est tangent à une droite, son image reste tangente à l'image de la droite. »

On veut représenter en perspective cavalière un pavé droit de $6$ cm de largeur (face frontale), $3$ cm de hauteur et $4$ cm de profondeur. On choisit un angle de fuite $\alpha =45\mathrm{°}$ et un coefficient de réduction $k=\mathrm{0,5}$.

1. Quelles dimensions la face frontale a-t-elle sur le dessin ? Justifier.

2. Quelle longueur les fuyantes ont-elles sur le dessin ?

3. Décrire les étapes du tracé, puis réaliser le dessin sur papier quadrillé.

4. Sur le dessin, la grande diagonale du pavé semble-t-elle en vraie grandeur ? Expliquer pourquoi on ne peut pas mesurer sa longueur réelle directement sur le dessin.

Le dessin ci-dessous représente un buffet (un pavé droit) en perspective cavalière, avec un angle de fuite $\alpha =45\mathrm{°}$ et un coefficient de réduction $k=\mathrm{0,7}$. Le dessin est réalisé à l'échelle $1\mathrm{/}10$.

Sur le dessin, la façade mesure $8$ cm de large et $4$ cm de haut, et la fuyante dessinée mesure $\mathrm{2,1}$ cm. Une porte coulissante partage la façade en deux moitiés : sa glissière s'arrête au milieu de la largeur, marqué $M$ sur le dessin.

1. La façade est dessinée en vraie grandeur (à l'échelle du dessin). Donner les dimensions réelles de la façade du meuble.

2. La profondeur dessinée est de $\mathrm{2,1}$ cm. En tenant compte du coefficient $k=\mathrm{0,7}$ puis de l'échelle $1\mathrm{/}10$, calculer la profondeur réelle du buffet.

3. Le point $M$ est le milieu du côté haut de la façade sur le dessin. Peut-on affirmer qu'il correspond au milieu réel du meuble ? Justifier.

4. L'angle entre la façade et la fuyante mesure $45\mathrm{°}$ sur le dessin. Quel est l'angle réel entre la façade et le côté du meuble ?

Deux cubes $ABCDEFGH$ d'arête $6$ cm sont représentés ci-dessous. À gauche, le cube est coupé par un plan parallèle à la face $ABFE$, passant à $2$ cm de celle-ci. À droite, le cube est coupé par le plan diagonal contenant les arêtes $[AE]$ et $[CG]$ : la section est le quadrilatère $ACGE$.

1. Section de gauche : donner sans justifier sa nature et ses dimensions en vraie grandeur.

2. Section de droite : quelle est la nature du quadrilatère $ACGE$ ? Justifier.

3. Calculer $AC$, en donner la valeur exacte simplifiée, puis donner les dimensions en vraie grandeur de la section $ACGE$.

4. Cette section est-elle un carré ?

Pour adoucir l'angle d'un présentoir cubique, un designer décide de scier le coin d'un cube $ABCDEFGH$ d'arête $4$ (unité : le cm). La coupe passe par les milieux $I$, $J$ et $L$ de trois arêtes issues de $A$ : $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ le milieu de $[AD]$ et $L$ le milieu de $[AE]$.

On munit l'espace d'un repère orthonormal d'origine $A$, dont les axes sont portés par $[AB)$, $[AD)$ et $[AE)$.

1. Donner les coordonnées de $I$, $J$ et $L$.

2. Calculer les longueurs exactes $IJ$, $IL$ et $JL$.

3. En déduire la nature du triangle $IJL$ (la section), puis calculer son périmètre exact et sa valeur arrondie au mm.

4. Sur le dessin en perspective, le triangle $IJL$ paraît-il équilatéral ? Pourquoi ?

Un cylindre de révolution a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $8$ cm. La figure ci-dessous montre trois copies de ce cylindre, coupées par trois plans différents : (a) un plan perpendiculaire à l'axe, (b) un plan contenant l'axe, (c) un plan oblique qui coupe toute la surface latérale.

1. Pour chacune des trois sections (a), (b) et (c) : donner sa nature.

2. Section (a) : donner sa dimension en vraie grandeur.

3. Section (b) : donner ses dimensions en vraie grandeur et calculer son aire.

4. Section (c) : donner la longueur du petit axe de l'ellipse et expliquer pourquoi le grand axe mesure plus de $6$ cm.

Un designer doit dessiner un logo circulaire sur la face du dessus d'un cube représenté en perspective. En vraie grandeur, le logo est un cercle de rayon $3$ cm inscrit dans un carré de côté $6$ cm.

1. En vraie grandeur, en quels points le cercle touche-t-il le carré ?

2. On dessine la face du dessus du cube en perspective cavalière, avec un angle de fuite $\alpha =45\mathrm{°}$ et un coefficient $k=\mathrm{0,5}$. Quelle figure l'image du carré est-elle ? Donner les longueurs de ses côtés sur le dessin.

3. Expliquer, en citant les propriétés de la projection parallèle, pourquoi l'image du cercle est tangente aux quatre côtés du parallélogramme en leurs milieux.

4. Décrire les étapes de construction de l'image du cercle (la méthode du carré circonscrit), puis réaliser la construction.

5. Quelle est la nature de la courbe obtenue ?

Un designer conçoit un vase cylindrique de rayon $6$ cm, coupé en biseau par un plan oblique : le bord haut du vase est une ellipse. La génératrice la plus courte du vase mesure $10$ cm et la plus longue $18$ cm (elles sont situées sur des côtés opposés du cylindre).

On munit l'espace d'un repère orthonormal (unité : le cm) dont l'origine $O$ est le centre du disque de base. Le point $L$, point le plus bas du bord, est situé au-dessus du point $(6;0;0)$ ; le point $H$, point le plus haut du bord, est situé au-dessus du point $(-6;0;0)$.

1. Justifier que $L$ a pour coordonnées $(6;0;10)$ et $H$ pour coordonnées $(-6;0;18)$.

2. Le segment $[LH]$ est le grand axe de l'ellipse du bord. Calculer sa longueur exacte, puis sa valeur arrondie au mm.

3. Donner la longueur du petit axe de l'ellipse et justifier.

4. Le designer veut vérifier son dessin : il représente le bord du vase en vraie grandeur par une ellipse de grand axe $[LH]$ et de petit axe $12$ cm, tracée grâce à un parallélogramme circonscrit. En vraie grandeur, le parallélogramme circonscrit « droit » est un rectangle : donner ses dimensions.

5. Question ouverte. Pourquoi le bord du vase, vu exactement dans l'axe du biseau (perpendiculairement au plan de coupe), apparaît-il comme une ellipse en vraie grandeur, alors que vu de dessus il apparaît comme un cercle de rayon $6$ ?