Devoir surveillé — Géométrie dans l'espace

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB=6$, $AD=4$ et $AE=3$ (l'unité est le centimètre). On munit l'espace du repère orthonormal d'origine $A$ dont les axes sont portés par les demi-droites $[AB)$, $[AD)$ et $[AE)$. La grande diagonale $[AG]$ est tracée sur la figure.

1. Donner les coordonnées des points $B$, $D$, $E$, $C$, $G$ et $H$. ($\mathrm{1,5}$ pt)
2. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[EG]$. ($1$ pt)
3. Calculer la longueur exacte de la grande diagonale $[AG]$, puis donner son arrondi au dixième. ($\mathrm{1,5}$ pt)
4. Calculer la longueur $BH$ et la comparer à $AG$. Que constate-t-on ? ($1$ pt)

Une designeuse réalise le dessin technique d'une étagère en forme de pavé droit, en perspective cavalière d'angle de fuite $\alpha =45\mathrm{°}$ et de coefficient de réduction $k=\mathrm{0,6}$, à l'échelle $1\mathrm{/}20$.

Sur le dessin, la façade (face frontale) est un rectangle de $5$ cm de large et $4$ cm de haut, et les fuyantes sont dessinées avec une longueur de $\mathrm{2,4}$ cm. Une tablette intermédiaire est dessinée à mi-hauteur : son bord avant passe par le milieu $M$ des montants verticaux de la façade.

1. Donner les dimensions réelles de la façade de l'étagère. ($\mathrm{1,5}$ pt)
2. Calculer la profondeur réelle de l'étagère. ($\mathrm{1,5}$ pt)
3. La tablette est dessinée à mi-hauteur des montants. Est-elle réellement à mi-hauteur du meuble ? Justifier par une propriété de la projection parallèle. ($1$ pt)
4. Sur le dessin, l'angle entre le bord avant et le bord fuyant de la tablette mesure $45\mathrm{°}$. Quelle est sa mesure réelle ? Justifier. ($1$ pt)

On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $6$ (l'unité est le centimètre). On munit l'espace du repère orthonormal d'origine $A$ dont les axes sont portés par les demi-droites $[AB)$, $[AD)$ et $[AE)$.

On coupe le cube par le plan contenant les arêtes $[AE]$ et $[CG]$ : la section obtenue est le quadrilatère $ACGE$, colorié sur la figure.

1. Donner les coordonnées des points $A$, $C$, $G$ et $E$. ($1$ pt)
2. Calculer la longueur exacte $AC$, sous forme simplifiée. ($\mathrm{1,5}$ pt)
3. Justifier que $ACGE$ est un rectangle, puis donner ses dimensions en vraie grandeur. ($\mathrm{1,5}$ pt)
4. Ce rectangle est-il un carré ? Justifier. ($1$ pt)
5. Calculer l'aire exacte de la section, puis donner son arrondi au cm². ($1$ pt)

Un cylindre de révolution a pour rayon $4$ cm et pour hauteur $9$ cm. On le coupe successivement par trois plans, représentés sur la figure : (a) un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre ; (b) un plan contenant l'axe du cylindre ; (c) un plan oblique par rapport à l'axe.

1. Donner la nature de chacune des sections (a), (b) et (c). ($\mathrm{1,5}$ pt)

2. Donner les dimensions en vraie grandeur des sections (a) et (b). ($1$ pt)

3. Pour dessiner la face circulaire du dessus du cylindre en perspective cavalière, on utilise la méthode du carré circonscrit. Les quatre étapes de la méthode sont données ci-dessous dans le désordre : les remettre dans l'ordre. ($\mathrm{1,5}$ pt)

   A. Tracer l'ellipse à main levée, tangente aux quatre côtés en ces points.

   B. Dessiner l'image du carré : un parallélogramme.

   C. Tracer le carré circonscrit au cercle et marquer les points de tangence aux milieux des côtés.

   D. Placer les milieux des côtés du parallélogramme.