Exercices — Fonctions polynômes du second degré

On rappelle qu'une fonction polynôme de degré 2 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $f(x)=a{x}^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a\mathrm{\ne }0$.

Pour chacune des fonctions suivantes, dire si c'est une fonction polynôme de degré 2. Si oui, donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$ (développer et réordonner l'expression si nécessaire).

La figure ci-dessous représente quatre paraboles ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$, ${\mathcal{C}}_3$ et ${\mathcal{C}}_4$.

Chacune de ces courbes représente l'une des quatre fonctions suivantes, données dans le désordre :

Associer chaque courbe à son expression, en justifiant chaque choix par au moins un argument graphique : orientation de la parabole (signe du coefficient de $x^2$), coordonnées du sommet, racines visibles, ouverture plus ou moins resserrée.

La courbe ci-dessous représente une fonction polynôme de degré 2 $f$ définie sur $[-2;4]$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Que peut-on en déduire sur le signe du coefficient $a$ de $x^2$ ?

2. Donner les coordonnées du sommet $S$ de la parabole.

3. En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-2;4]$.

5. Quel est le maximum de $f$ sur $[-2;4]$ ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

6. Donner, selon les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ sur $[-2;4]$.

On considère les quatre fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

1. Pour chacune des quatre fonctions, dire si sa parabole est tournée vers le haut ou vers le bas. Justifier.

2. Sans aucun calcul, donner les coordonnées du sommet et l'équation de l'axe de symétrie de chacune des quatre paraboles. On pourra remarquer que remplacer $x$ par $-x$ ne change pas la valeur de ces expressions.

3. Calculer les images suivantes :

   a. $f(3)$

   b. $g(-2)$

   c. $h(-1)$

   d. $k(1)$

4. Vérifier par le calcul que $2$ et $-2$ sont des racines de $k$.

5. Retrouver l'abscisse du sommet de la parabole de $k$ comme milieu des deux racines. Est-ce cohérent avec la réponse à la question 2 ?

Une parabole est symétrique : deux points de même ordonnée sont toujours placés de part et d'autre de l'axe de symétrie, à égale distance. On exploite cette propriété pour trouver le sommet sans aucune formule.

Partie A. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x+2$.

1. Calculer $f(0)$.

2. Résoudre l'équation $f(x)=f(0)$. On pourra se ramener à une équation produit nul en factorisant par $x$.

3. Les deux solutions trouvées correspondent à deux points de la parabole de même ordonnée. En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole, puis les coordonnées du sommet $S$.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B. Reprendre les questions 1 à 4 avec la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-2x^2+8x-3$.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs prises par une fonction polynôme de degré 2 $h$ pour les valeurs entières de $x$ comprises entre $-1$ et $7$. On ne connaît pas l'expression de $h$.

1. Repérer dans le tableau les paires de valeurs de $x$ qui ont la même image par $h$.

2. En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole représentant $h$, puis les coordonnées de son sommet $S$.

3. La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier à l'aide des valeurs du tableau.

4. Donner les racines de $h$ lisibles dans le tableau.

5. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $[-1;7]$.

On rappelle qu'un nombre $x_0$ est une racine d'une fonction polynôme $f$ lorsque $f(x_0)=0$.

On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

Pour chaque question, vérifier par un calcul d'image si le nombre proposé est une racine de la fonction indiquée.

On considère les quatre fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

Pour chacune de ces quatre fonctions :

1. Déterminer les racines de la fonction, en résolvant l'équation correspondante ($f(x)=0$, $g(x)=0$, etc.) à l'aide de l'équation produit nul.

2. En déduire l'abscisse du sommet de la parabole qui représente la fonction. On rappelle que, par symétrie, le sommet a pour abscisse le milieu des racines.

3. Calculer l'ordonnée du sommet.

4. Préciser si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, en justifiant.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x-12$.

   a. Vérifier par le calcul que $4$ est une racine de $f$.

   b. On admet alors que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=(x-4)(x+c)$, où $c$ est un nombre à déterminer. Trouver la valeur de $c$, puis vérifier en développant que la factorisation obtenue redonne bien $x^2-x-12$.

   c. Donner la seconde racine de $f$.

2. Factoriser $g(x)=x^2-49$ à l'aide d'une identité remarquable, puis donner les racines de $g$.

3. Factoriser $h(x)=3x^2-12x$ à l'aide d'un facteur commun, puis donner les racines de $h$.

4. On considère la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=2x^2+x-6$.

   a. Vérifier par le calcul que $-2$ est une racine de $k$.

   b. Déterminer le nombre $d$ tel que $k(x)=(x+2)(2x-d)$, en vérifiant par un développement.

   c. En déduire les racines de $k$.

On considère les trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

Pour chacune de ces trois fonctions :

1. Donner les racines.

2. Dresser le tableau de signes complet sur $\mathbb{R}$, avec une ligne par facteur (sans oublier la constante $-2$ pour la fonction $g$) puis la ligne du produit.

3. En déduire l'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)\ge 0$, puis $g(x)\ge 0$, puis $h(x)\ge 0$. On répondra à l'aide d'intervalles.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes. Chaque résolution s'appuiera sur un tableau de signes.

   a. $(x-1)(x+5)\le 0$

   b. $-3(x-2)(x-8)>0$

   c. $x^2-16\ge 0$ (on commencera par factoriser le membre de gauche)

2. Une PME fabrique et vend des objets décoratifs. Son bénéfice quotidien, en euros, lorsqu'elle produit $x$ objets ($0\le x\le 60$), est modélisé par :

   $$B(x)=-(x-10)(x-50)$$

   Déterminer, à l'aide d'un tableau de signes sur $[0;60]$, pour quelles productions le bénéfice est positif ou nul.

Pour chacune des six affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être démontrée par un calcul ou un argument du cours ; une affirmation fausse doit être réfutée par un calcul ou un contre-exemple.

1. « La parabole d'équation $y=-2x^2+7$ est tournée vers le haut. »

2. « La fonction $f$ définie par $f(x)=(x-3)(x+3)$ a pour racines $3$ et $-3$. »

3. « Le sommet de la parabole représentant $g(x)=(x-1)(x-5)$ a pour abscisse $3$. »

4. « Si $a<0$, la fonction $x\mapsto a{x}^2+bx+c$ admet un minimum. »

5. « Pour tout nombre réel $x$, on a $(x-2{)}^2-9=(x+1)(x-5)$. »

6. « La parabole représentant $h(x)=x^2+3$ coupe l'axe des abscisses en deux points. »

Un atelier fabrique des objets en bois vendus à des boutiques de décoration. Lorsqu'il produit $x$ objets par jour, avec $0\le x\le 40$, son bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par :

1. Calculer $B(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Vérifier, en développant, que pour tout $x$ de $[0;40]$ :

   $$B(x)=-2(x-5)(x-35)$$

3. Déterminer les racines de $B$ et interpréter concrètement ces deux valeurs pour l'atelier.

4. Dresser le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0;40]$. En déduire la plage de production pour laquelle l'atelier est rentable (bénéfice positif ou nul).

5. Déterminer l'abscisse du sommet de la parabole représentant $B$, puis le bénéfice maximal de l'atelier. Dresser enfin le tableau de variations de $B$ sur $[0;40]$.

En TP de physique, un groupe d'élèves lance verticalement une fusée à eau. La hauteur de la fusée au-dessus du sol, en mètres, est modélisée en fonction du temps $t$, en secondes, par :

La courbe représentative de $h$ est donnée ci-dessous.

1. Vérifier, en développant, que pour tout $t\ge 0$ :

   $$h(t)=5t(6-t)$$

2. Résoudre l'équation $h(t)=0$ et interpréter les deux solutions dans le contexte du TP. En déduire l'intervalle de temps sur lequel il est pertinent d'étudier la fonction $h$.

3. Déterminer la hauteur maximale atteinte par la fusée et l'instant auquel elle est atteinte. On utilisera la symétrie de la parabole.

4. Dresser le tableau de variations de $h$ sur l'intervalle trouvé à la question 2.

5. Les élèves veulent savoir pendant combien de temps la fusée reste à $25$ mètres du sol ou plus.

   a. Montrer, en développant, que $-5(t-1)(t-5)=h(t)-25$. En déduire que l'inéquation $h(t)\ge 25$ équivaut à $-5(t-1)(t-5)\ge 0$.

   b. Résoudre cette inéquation à l'aide d'un tableau de signes, puis répondre à la question des élèves.