Devoir surveillé — Fonctions polynômes du second degré

La courbe ci-dessous représente une fonction polynôme du second degré $g$ définie sur $[-5;3]$.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucun calcul n'est demandé.

1. ($\mathrm{0,5}$ pt) La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Que peut-on en déduire sur le signe du coefficient $a$ de $x^2$ ?

2. ($1$ pt) Lire les racines de $g$.

3. ($1$ pt) Lire les coordonnées du sommet $S$ de la parabole.

4. ($\mathrm{0,5}$ pt) En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole.

5. ($1$ pt) Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[-5;3]$.

6. ($1$ pt) Donner, selon les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$ sur $[-5;3]$.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par :

$$f(x)=-2(x-1)(x-5)\mathrm{.}$$

1. ($\mathrm{0,5}$ pt) La parabole représentant $f$ est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Justifier.

2. ($1$ pt) Déterminer les racines de $f$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Justifier que l'abscisse du sommet de la parabole est $3$, puis calculer les coordonnées du sommet.

4. ($1$ pt) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

5. ($1$ pt) Dresser le tableau de signes de $f(x)$ (une ligne par facteur, y compris le facteur constant $-2$), puis donner les intervalles sur lesquels $f(x)\ge 0$ et ceux sur lesquels $f(x)\le 0$.

On considère la fonction $h$ définie pour tout réel $x$ par :

$$h(x)=x^2+3x-10.$$

1. ($1$ pt) Vérifier que $2$ est une racine de $h$.

2. ($1$ pt) On admet que $h(x)$ peut s'écrire sous la forme $h(x)=(x-2)(x+a)$, où $a$ est un nombre réel. Déterminer la valeur de $a$, puis vérifier en développant que $h(x)=(x-2)(x+5)$.

3. ($1$ pt) Résoudre l'équation $h(x)=0$.

4. ($1$ pt) En déduire l'équation de l'axe de symétrie de la parabole représentant $h$, puis calculer $h(-\mathrm{1,5})$.

La mini-entreprise d'un lycée vend des gourdes personnalisées. Une étude de marché montre que si le prix d'une gourde est fixé à $x$ euros, alors la boutique en vend $90-3x$ par mois. La recette mensuelle, en euros, est alors donnée par :

$$R(x)=x(90-3x)\mathrm{.}$$

1. ($1$ pt) Montrer que $R(x)=3x(30-x)$, puis expliquer pourquoi on étudie $R$ sur l'intervalle $[0;30]$.

2. ($1$ pt) Résoudre l'équation $R(x)=0$ et interpréter concrètement les deux solutions.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) En utilisant la symétrie de la parabole, déterminer le prix qui rend la recette maximale, puis calculer cette recette maximale.

4. ($1$ pt) Dresser le tableau de variations de $R$ sur $[0;30]$.

5. ($\mathrm{1,5}$ pt) Le trésorier souhaite une recette mensuelle d'au moins $600$ €.

a. Montrer que l'inéquation $R(x)\ge 600$ équivaut à $-3(x-10)(x-20)\ge 0$.

b. En déduire la fourchette de prix qui permet d'atteindre cet objectif.