Exercices — Fonction dérivée et variations

1. Dans chaque cas, donner l'expression de la fonction dérivée de la fonction proposée, définie sur $\mathbb{R}$.

   a. $f(x)=x^2$

   b. $g(x)=x^3$

   c. $h(x)=5$

   d. $k(x)=3x+7$

   e. $m(x)=-2x+1$

   f. $n(x)=x$

   g. $p(x)=-4$

   h. $q(x)=6-x$

2. À l'aide des dérivées trouvées à la question 1, calculer $f^{\mathrm{\prime }}(3)$ et $g^{\mathrm{\prime }}(-2)$.

Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction proposée, définie sur $\mathbb{R}$. On rappelle que la dérivée de $\lambda f$ est $\lambda f^{\mathrm{\prime }}$.

Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction proposée, définie sur $\mathbb{R}$. On rappelle que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction proposée, définie sur $\mathbb{R}$. Si l'expression n'est pas ordonnée, on pourra commencer par réécrire les termes du plus haut degré au plus bas.

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $[-4;4]$. Les tangentes horizontales à la courbe sont tracées en pointillés.

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Donner le sens de variation de $f$ sur $[-4;4]$ (préciser les intervalles où $f$ est croissante et ceux où elle est décroissante).

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;4]$, en faisant figurer les valeurs $f(-4)$, $f(-2)$, $f(2)$ et $f(4)$ lues sur le graphique.

3. Donner les extremums locaux de $f$ : préciser leur nature (maximum ou minimum local), leur valeur et en quelle abscisse chacun est atteint.

4. En quels points de la courbe la tangente est-elle horizontale ? Que peut-on en déduire sur la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}$ en ces abscisses ?

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. Pour chacune des deux fonctions, calculer les nombres dérivés $f^{\mathrm{\prime }}(2)$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)$, $f^{\mathrm{\prime }}(-1)$, puis $g^{\mathrm{\prime }}(2)$, $g^{\mathrm{\prime }}(0)$, $g^{\mathrm{\prime }}(-1)$.

3. Pour chaque nombre dérivé calculé à la question 2, interpréter son signe : au voisinage du point considéré, la fonction est-elle en train de monter, de descendre, ou ni l'un ni l'autre ?

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+1$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. La fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est une fonction affine. Étudier son signe sur $\mathbb{R}$ (on pourra résoudre l'inéquation $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$).

3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

4. La fonction $f$ admet-elle un extremum ? Préciser sa nature, sa valeur et l'abscisse en laquelle il est atteint.

5. La courbe représentative de $f$ est une parabole tournée vers le haut. Le résultat de la question 4 est-il cohérent avec ce que vous avez appris dans le chapitre sur les fonctions polynômes de degré 2 ?

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-12x+5$.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. On veut factoriser l'expression de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

   a. Montrer que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2-4)$ en mettant en évidence un facteur commun.

   b. En utilisant l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, en déduire que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-2)(x+2)$.

3. Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire le tableau de variations de $f$.

4. Donner les extremums locaux de $f$ : préciser leur nature, leur valeur et l'abscisse en laquelle chacun est atteint.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-2;4]$. La courbe ci-dessous est celle de sa fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$.

Attention : la courbe représente $f^{\mathrm{\prime }}$, et non $f$. On ne connaît pas la courbe de $f$.

1. Résoudre graphiquement l'équation $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ sur $[-2;4]$.

2. Dresser, par lecture graphique, le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-2;4]$.

3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-2;4]$. On ne cherchera pas à écrire les valeurs de $f$ dans le tableau : elles ne sont pas connues.

4. Préciser les abscisses auxquelles $f$ admet un extremum local, en indiquant à chaque fois s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum local.

5. Vrai ou faux : « $f(0)=3$ ». Justifier.

Les courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_3$ ci-dessous représentent deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ :

• ${\mathcal{C}}_1$ représente la fonction $f$ ;
• ${\mathcal{C}}_3$ représente la fonction $g$.

Les courbes ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_4$ représentent, dans le désordre, les fonctions dérivées $f^{\mathrm{\prime }}$ et $g^{\mathrm{\prime }}$.

1. Décrire les variations de la fonction $f$ à partir de la courbe ${\mathcal{C}}_1$, puis en déduire le signe que doit avoir sa dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ selon les valeurs de $x$.

2. Faire le même travail pour la fonction $g$ à partir de la courbe ${\mathcal{C}}_3$.

3. Associer alors chaque fonction à la courbe de sa dérivée. La justification doit s'appuyer uniquement sur le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation, par lecture des courbes.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Pour une affirmation fausse, un contre-exemple suffit.

1. Si une fonction $f$ est croissante sur $[1;5]$, alors $f^{\mathrm{\prime }}(x)\ge 0$ pour tout $x$ de $[1;5]$.

2. Si $f^{\mathrm{\prime }}(2)=0$, alors la fonction $f$ admet un extremum local en $2$.

3. La dérivée de la fonction $x\mapsto 5x^3$ est la fonction $x\mapsto 15x^2$.

4. Si $f^{\mathrm{\prime }}$ est négative sur $[0;3]$, alors $f(0)\ge f(3)$.

5. Si une fonction $f$ admet un maximum local, alors la valeur de ce maximum local est la plus grande valeur prise par $f$ sur tout son ensemble de définition.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;4]$ par :

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x$ de $[0;4]$.

2. Vérifier, en développant, que pour tout $x$ de $[0;4]$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3(x-1)(x-3)$$

3. Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;4]$.

4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;4]$. On calculera les valeurs de $f$ aux bornes de l'intervalle et aux points où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

5. Préciser les extremums locaux de $f$ sur $[0;4]$ : en quelles valeurs de $x$ sont-ils atteints, et que valent-ils ?

Une entreprise fabrique des objets connectés. Lorsqu'elle produit $x$ objets par jour, avec $x\in [0;300]$, son coût total de production, en euros, est modélisé par :

Partie A — Coût marginal

En économie, le coût marginal pour une production de $x$ objets est la valeur $C^{\mathrm{\prime }}(x)$ de la dérivée du coût total. Il donne une bonne estimation du coût de fabrication d'un objet supplémentaire.

1. Calculer $C^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x$ de $[0;300]$.

2. Calculer le coût marginal pour une production de $100$ objets.

3. Calculer $C(101)-C(100)$. Que représente concrètement ce nombre pour l'entreprise ? Comparer avec le résultat de la question 2.

Partie B — Bénéfice

Chaque objet est vendu $60$ euros. On suppose que toute la production est vendue. La recette pour $x$ objets vendus est donc $R(x)=60x$ (en euros).

1. Montrer que le bénéfice quotidien de l'entreprise est donné, pour tout $x$ de $[0;300]$, par :

   $$B(x)=-\mathrm{0,1}{x}^2+40x-1000$$

2. Calculer $B^{\mathrm{\prime }}(x)$, puis étudier son signe sur $[0;300]$.

3. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0;300]$.

4. En déduire la production quotidienne qui rend le bénéfice maximal, et la valeur de ce bénéfice maximal.

Dans une feuille de carton carrée de $12$ cm de côté, on découpe dans chaque coin un carré de côté $x$ cm (en hachuré sur la figure), puis on relève les quatre bords pour former une boîte sans couvercle.

1. Expliquer pourquoi $x$ doit appartenir à l'intervalle $]0;6[$.

2. Justifier que le volume de la boîte, en ${\text{cm}}^3$, est donné par :

   $$V(x)=x(12-2x{)}^2$$

3. Développer $V(x)$ et vérifier que $V(x)=4x^3-48x^2+144x$.

4. Calculer $V^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x$ de $]0;6[$.

5. Vérifier, en développant, que pour tout $x$ de $]0;6[$ :

   $$V^{\mathrm{\prime }}(x)=12(x-2)(x-6)$$

6. Étudier le signe de $V^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $]0;6[$, puis dresser le tableau de variations de $V$ sur $]0;6[$.

7. En déduire la valeur de $x$ pour laquelle le volume de la boîte est maximal, et calculer ce volume maximal.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;\mathrm{3,5}]$ par :

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour tout $x$ de $[0;\mathrm{3,5}]$.

2. Vérifier, en développant, que pour tout $x$ de $[0;\mathrm{3,5}]$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6(x-1)(x-2)$$

3. Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;\mathrm{3,5}]$.

4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;\mathrm{3,5}]$, en calculant les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule.

5. Préciser les extremums locaux de $f$ sur $[0;\mathrm{3,5}]$.

6. Rappel du chapitre précédent. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.