Devoir surveillé — Fonction dérivée et variations

Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction définie sur $\mathbb{R}$. ($1$ pt par fonction)

Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[-3;2]$. La courbe ci-dessous représente la fonction dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$ de $f$, et non la fonction $f$ elle-même.

Toutes les réponses de cet exercice s'obtiennent par lecture graphique de la courbe de $f^{\mathrm{\prime }}$.

1. ($\mathrm{0,5}$ pt) Résoudre graphiquement l'équation $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ sur $[-3;2]$.

2. ($1$ pt) Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[-3;2]$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) En déduire le sens de variation de $f$ sur $[-3;2]$ et dresser son tableau de variations (on ne demande aucune valeur de $f$).

4. ($1$ pt) Donner les abscisses des extremums locaux de $f$, en précisant pour chacun s'il s'agit d'un maximum local ou d'un minimum local.

5. ($1$ pt) Vrai ou faux (justifier) : « le minimum de $f$ est $-2$ ».

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;5]$ par :

$$f(x)=x^3-6x^2+9x+1.$$

1. ($1$ pt) Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. ($1$ pt) Vérifier, en développant, que pour tout $x$ de $[0;5]$ : $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1)(x-3)$.

3. ($1$ pt) Dresser le tableau de signes de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[0;5]$.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $[0;5]$, en faisant figurer les valeurs de $f$ aux bornes et aux extremums.

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) Donner les extremums locaux de $f$ sur $[0;5]$, en précisant en quelles valeurs de $x$ ils sont atteints.

6. ($1$ pt) Quel est le maximum de $f$ sur l'intervalle $[0;5]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

Une entreprise fabrique entre $100$ et $700$ objets par semaine. On note $x$ le nombre de centaines d'objets fabriqués et vendus en une semaine, avec $x\in [1;7]$. Le bénéfice hebdomadaire de l'entreprise, exprimé en centaines d'euros, est modélisé par :

$$B(x)=-x^3+9x^2-15x-10.$$

1. ($1$ pt) Calculer $B^{\mathrm{\prime }}(x)$.

2. ($\mathrm{0,5}$ pt) Vérifier, en développant, que pour tout $x$ de $[1;7]$ : $B^{\mathrm{\prime }}(x)=-3(x-1)(x-5)$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Étudier le signe de $B^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $[1;7]$, puis dresser le tableau de variations de $B$ sur $[1;7]$.

4. ($\mathrm{0,5}$ pt) Combien d'objets l'entreprise doit-elle fabriquer par semaine pour que son bénéfice soit maximal ? Quel est alors ce bénéfice, en euros ?

5. ($\mathrm{0,5}$ pt) L'entreprise est-elle bénéficiaire lorsqu'elle fabrique $100$ objets par semaine ? Et $700$ objets ? Justifier.