Exercices — Trigonométrie

On rappelle qu'un angle plat mesure ${180}^{\circ }$, soit $\pi$ rad.

1. Convertir chaque mesure en radians. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction de $\pi$.

   a. ${30}^{\circ }$

   b. ${45}^{\circ }$

   c. ${60}^{\circ }$

   d. ${90}^{\circ }$

   e. ${120}^{\circ }$

   f. ${135}^{\circ }$

   g. ${150}^{\circ }$

   h. ${180}^{\circ }$

   i. ${270}^{\circ }$

   j. ${360}^{\circ }$

2. Convertir chaque mesure en degrés.

   a. ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   b. ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   c. ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   d. ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   e. ${\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$

   f. ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

Dans un cercle de rayon $R$, un arc intercepté par un angle au centre de $\theta$ radians a pour longueur $L=R\theta$.

Partie A — L'essuie-glace

Le balai d'un essuie-glace de voiture mesure $R=60$ cm. Lors d'un aller, son extrémité balaye un angle de ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ rad.

1. Calculer la longueur exacte de l'arc décrit par l'extrémité du balai, en cm.
2. En donner une valeur arrondie au cm.

Partie B — La piste circulaire

Un coureur s'entraîne sur une piste circulaire de rayon $40$ m. Il parcourt un arc de longueur $100$ m.

3. Calculer la mesure, en radians, de l'angle au centre correspondant à cet arc.
4. Convertir cet angle en degrés, arrondi au degré.
5. Le coureur affirme : « un angle de ${225}^{\circ }$, c'est ${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$ rad ». A-t-il raison ? Justifier par un calcul.

On considère le cercle trigonométrique ci-dessous, gradué tous les ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. À chaque réel $x$ on associe un unique point image $M(x)$ sur le cercle, obtenu en « enroulant » la droite des réels à partir du point $I$ de coordonnées $(1;0)$.

1. Reproduire la figure et placer les points images des réels suivants (on placera ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ le plus précisément possible entre deux graduations) :

   a. ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   b. ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

   c. $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   d. ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$

   e. $-{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$

   f. $2\pi$

2. Parmi les réels suivants, repérer les paires qui ont le même point image sur le cercle. Justifier chaque paire trouvée.

   a. ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   b. $-{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$

   c. $0$

   d. $2\pi$

   e. ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   f. ${\displaystyle \frac{9\pi }{4}}$

   g. $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   h. ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

Un angle orienté admet une infinité de mesures, qui diffèrent toutes d'un multiple de $2\pi$. Sa mesure principale est l'unique mesure appartenant à l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$.

1. Déterminer la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure est :

   a. ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}$

   b. ${\displaystyle \frac{17\pi }{6}}$

   c. $-{\displaystyle \frac{13\pi }{4}}$

   d. ${\displaystyle \frac{11\pi }{3}}$

   e. ${\displaystyle \frac{27\pi }{4}}$

   f. $-{\displaystyle \frac{23\pi }{6}}$

2. Deux angles orientés ont pour mesures respectives ${\displaystyle \frac{47\pi }{6}}$ et $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Les points images de ces deux réels sur le cercle trigonométrique sont-ils confondus ? Justifier.

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, on a placé quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$. Pour le point $A$, les pointillés montrent comment lire son cosinus (sur l'axe des abscisses) et son sinus (sur l'axe des ordonnées).

1. Pour chacun des points $A$, $B$, $C$ et $D$, donner le réel $x$ de l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ dont il est le point image.
2. En s'aidant de la figure et des valeurs remarquables, donner les valeurs exactes de $\cos x$ et $\sin x$ pour chacun de ces quatre réels.
3. Pour le point $A$, vérifier par le calcul que ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

On rappelle le tableau des valeurs remarquables :

1. Calculer la valeur exacte de chacune des expressions suivantes. Pour l'expression f., on développera à l'aide d'une identité remarquable.

   a. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   b. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\times \sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   c. ${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   d. $2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   e. $\cos 0-\cos \pi +\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   f. ${(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}})}^2$

2. Montrer, par un calcul détaillé, que ${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Pour tout réel $x$, on rappelle la relation fondamentale de la trigonométrie :

$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$$

a. On sait que $\cos x={\displaystyle \frac{3}{5}}$ et que $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0]$. Calculer la valeur exacte de $\sin x$. On justifiera le signe de $\sin x$ à l'aide de la position du point image sur le cercle trigonométrique.

b. On sait que $\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ et que $x\in [-\pi ;-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$. Calculer la valeur exacte de $\cos x$.

c. Existe-t-il un réel $x$ tel que $\cos x={\displaystyle \frac{4}{5}}$ et $\sin x={\displaystyle \frac{2}{5}}$ ? Justifier la réponse à l'aide de la relation fondamentale.

a. Exprimer chacune des expressions suivantes en fonction de $\cos x$ ou de $\sin x$.

b. On pose $\cos x=\mathrm{0,8}$ avec $x\in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$. En déduire les valeurs de $\cos (\pi -x)$, de $\cos (-x)$ et de $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$.

c. Simplifier l'expression suivante, définie pour tout réel $x$ :

$$A=\cos (\pi +x)+\cos (-x)+\sin (\pi -x)+\sin (-x)$$

Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants. La méthode est toujours la même : se ramener, à l'aide de la périodicité et des angles associés, à un angle de l'intervalle $[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ dont on connaît le cosinus et le sinus.

1. À l'aide des angles associés :

2. À l'aide de la périodicité (on commencera par écrire l'angle sous la forme $\alpha +2k\pi$ avec $k$ entier) :

a. Rappeler la relation entre $\cos (-x)$ et $\cos x$. Qu'en déduit-on pour la parité de la fonction cosinus ? Quelle propriété de symétrie sa courbe représentative possède-t-elle ?

b. Répondre aux mêmes questions pour la fonction sinus.

c. Justifier que pour tout réel $x$, on a $\cos (x+2\pi )=\cos x$. On pourra s'appuyer sur les points images de $x$ et de $x+2\pi$ sur le cercle trigonométrique. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction cosinus ?

d. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

i. « La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=\sin (t)+\cos (t)$ est périodique de période $2\pi$. »

ii. « La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. »

On a tracé ci-dessous, sur l'intervalle $[-\pi ;2\pi ]$, les courbes représentatives des fonctions $f(x)=\cos x$ et $g(x)=\sin x$, sans préciser laquelle est laquelle.

a. Identifier la courbe de $f$ et celle de $g$. On justifiera à l'aide des valeurs de $\cos 0$ et de $\sin 0$.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction cosinus sur $[0;\pi ]$, puis celui de la fonction sinus sur $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

c. Par lecture graphique, donner le nombre de solutions de l'équation $\cos x=\mathrm{0,3}$ sur l'intervalle $[-\pi ;2\pi ]$.

d. Même question pour l'équation $\sin x=-1$ sur $[-\pi ;2\pi ]$.

Pour résoudre une équation du type $\cos x=a$, on trace la droite verticale d'abscisse $a$ : les solutions sont les réels dont le point image est à l'intersection de cette droite et du cercle trigonométrique.

1. La figure ci-dessus illustre l'équation $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : la droite verticale d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ coupe le cercle aux points $M_1$ et $M_2$. Résoudre cette équation :

a. sur $]-\pi ;\pi ]$ ;

b. sur $[0;2\pi [$ ;

c. sur $\mathbb{R}$ (on donnera les solutions sous la forme $x=\alpha +2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$).

2. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. On pourra s'aider d'un cercle trigonométrique et de la droite verticale d'abscisse $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

3. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\cos x=1$, puis l'équation $\cos x=0$.

Toutes les résolutions se font par lecture du cercle trigonométrique : les solutions de l'équation $\sin x=a$ sont les réels associés aux points d'intersection du cercle avec la droite horizontale d'ordonnée $a$. La figure ci-dessous illustre le cas $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : la droite coupe le cercle en deux points $M_1$ (à droite) et $M_2$ (à gauche).

1. Résoudre l'équation $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ :

   a. sur $]-\pi ;\pi ]$ ;

   b. sur $[0;2\pi [$ ;

   c. sur $\mathbb{R}$ (solutions sous la forme $x=\alpha +2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$).

2. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. On pourra s'aider d'un schéma du cercle avec la droite horizontale d'ordonnée $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

3. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=1$, puis l'équation $\sin x=-1$.

Un signal est modélisé par la fonction $s(t)=A\cos (\omega t)$, où $t$ est le temps en secondes, $A>0$ est l'amplitude et $\omega$ la pulsation en rad/s. Sa courbe est donnée ci-dessous.

a. Lire sur la courbe l'amplitude $A$ du signal et sa période $T$.

b. En déduire la pulsation $\omega$ (on rappelle que $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$), puis la fréquence $f={\displaystyle \frac{1}{T}}$ du signal.

c. Écrire l'expression de $s(t)$, puis vérifier que la valeur de $s(0)$ ainsi obtenue est cohérente avec la courbe.

d. Calculer la valeur exacte de $s\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{24}}\right)$ et de $s\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{8}}\right)$.

La tension délivrée par une prise du secteur domestique est modélisée par

$$u(t)=325\cos (100\pi t)$$

où $t$ est le temps en secondes et $u(t)$ la tension en volts. Sa courbe est donnée ci-dessous.

a. Donner l'amplitude et la phase à l'origine de ce signal.

b. Calculer la période $T$ du signal, puis sa fréquence $f$. Que reconnaît-on ?

c. Calculer $u(0)$, puis la valeur exacte de $u\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{600}}\right)$ ; en donner l'arrondi au volt.

d. On cherche les instants où la tension s'annule, c'est-à-dire les solutions de l'équation $u(t)=0$.

(i) On pose $X=100\pi t$. Résoudre l'équation $\cos X=0$ sur $[0;2\pi [$ par lecture du cercle trigonométrique.

(ii) En déduire les instants $t\in [0;\mathrm{0,02}[$ où la tension s'annule.

Une grande roue de rayon $20$ m tourne à vitesse constante dans le sens direct et effectue un tour complet en $12$ minutes. Son axe de rotation se trouve à $22$ m du sol. À l'instant $t=0$, une cabine se trouve au point le plus à droite de la roue, c'est-à-dire à la hauteur de l'axe.

a. Quel angle, en radians, la roue balaye-t-elle en $1$ minute ? En $t$ minutes ?

b. Quelle distance la cabine parcourt-elle en $2$ minutes ? Donner la valeur exacte (longueur d'arc), puis l'arrondi au mètre.

c. Justifier que la hauteur de la cabine au-dessus du sol, au bout de $t$ minutes, est donnée par $h(t)=22+20\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi t}{6}}\right)$. On pourra repérer la cabine sur le cercle de rayon $20$ m centré sur l'axe de la roue.

d. Calculer la hauteur exacte de la cabine après :

On donnera un arrondi au décimètre lorsque la valeur exacte n'est pas décimale.

e. À quels instants $t\in [0;12[$ la cabine se trouve-t-elle exactement à $32$ m du sol ? On résoudra l'équation obtenue par lecture du cercle trigonométrique.

On considère les deux signaux définis pour $t⩾0$ ($t$ en secondes) par

$$s_1(t)=2\cos (\pi t)\text{et}{s}_2(t)=2\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\mathrm{.}$$

Leurs courbes sont tracées ci-dessous sur $[0;4]$, sans indication de quel signal correspond à quelle courbe.

a. Donner l'amplitude, la pulsation et la période communes aux deux signaux, puis la phase à l'origine de chacun.

b. Associer chaque courbe à son signal, en justifiant à l'aide des valeurs de $s_1(0)$ et $s_2(0)$.

c. Montrer, à l'aide d'une relation d'angles associés, que pour tout $t⩾0$ : $s_2(t)=2\sin (\pi t)$. On pourra remarquer que $\pi t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=-({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\pi t)$ et utiliser la parité de la fonction cosinus.

d. Interpréter graphiquement le déphasage : par quelle transformation la courbe de $s_2$ se déduit-elle de celle de $s_1$ ? On exprimera le décalage en fonction de la période $T$.

e. Résoudre l'équation $s_2(t)=2$ sur $[0;4]$.