Devoir surveillé — Trigonométrie

1. ($2$ pts) Convertir en radians les mesures d'angles suivantes :

Convertir en degrés les mesures d'angles suivantes :

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, les graduations sont placées tous les ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Placer les points images des réels ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ et $-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. On remarquera que le point image de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ se place entre deux graduations.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Déterminer la mesure principale (c'est-à-dire la mesure appartenant à $]-\pi ;\pi ]$) des angles orientés dont une mesure est :

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Donner les valeurs exactes de :

2. ($2$ pts) En utilisant les angles associés, calculer les valeurs exactes de :

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) On sait que $\sin x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et que $x\in [{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi ]$. Calculer la valeur exacte de $\cos x$.

Sur la figure ci-dessous, on a tracé le cercle trigonométrique ainsi que la droite verticale d'abscisse $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ (en pointillés). Cette droite coupe le cercle en deux points : $M_1$ (en haut) et $M_2$ (en bas).

1. ($2$ pts) En s'appuyant sur la figure, résoudre l'équation $\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$.

2. ($1$ pt) En déduire les solutions de cette même équation sur l'intervalle $[0;2\pi [$.

3. ($1$ pt) Résoudre l'équation $\sin x=0$ sur l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$.

Un signal électrique est modélisé par la fonction $s$ définie pour tout $t\ge 0$ (en secondes) par $s(t)=3\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}t\right)\mathrm{.}$

La courbe représentative de $s$ sur l'intervalle $[0;8]$ est donnée ci-dessous.

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Lire sur la courbe l'amplitude $A$ et la période $T$ du signal.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Retrouver la valeur de la période par le calcul, à l'aide de la formule $T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}$, puis calculer la fréquence $f$ du signal.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer les valeurs exactes de $s(0)$, $s\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ et $s(3)$.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) On cherche les instants $t$ de l'intervalle $[0;8[$ pour lesquels le signal atteint sa valeur minimale, c'est-à-dire les solutions de l'équation $s(t)=-3$.

a. En posant $X={\displaystyle \frac{\pi t}{2}}$, montrer que l'équation revient à résoudre $\cos X=-1$ avec $X\in [0;4\pi [$.

b. Résoudre cette équation, puis en déduire les valeurs de $t$ cherchées. Vérifier la cohérence du résultat avec la courbe.