Exercices — Produit scalaire

On rappelle que, pour deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a $\vec{u}\cdot \vec{v}=\parallel \vec{u}\parallel \times \parallel \vec{v}\parallel \times \cos \theta$, où $\theta$ désigne l'angle non orienté entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur exacte de $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

a. On considère un vecteur $\vec{u}$ tel que $\parallel \vec{u}\parallel =5$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{u}$.

b. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et de même sens, avec $\parallel \vec{u}\parallel =2$ et $\parallel \vec{v}\parallel =7$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

c. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et de sens contraires, avec $\parallel \vec{u}\parallel =3$ et $\parallel \vec{v}\parallel =4$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

d. Vrai ou faux ? Justifier : « si $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, alors $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ ».

La figure ci-dessus représente, dans un repère orthonormé d'origine $O$ muni d'une grille unitaire, trois vecteurs partant de l'origine : $\vec{u}$ en bleu, $\vec{v}$ en rouge et $\vec{w}$ en vert. On note $\vec{i}$ le vecteur unitaire de l'axe des abscisses.

1. Lire graphiquement la projection orthogonale de chacun des trois vecteurs sur l'axe des abscisses (c'est-à-dire la longueur du projeté, comptée positivement dans le sens de $\vec{i}$ et négativement dans le sens contraire).

2. En déduire les produits scalaires $\vec{u}\cdot \vec{i}$, $\vec{v}\cdot \vec{i}$ et $\vec{w}\cdot \vec{i}$.

3. Lire graphiquement les coordonnées des trois vecteurs, puis vérifier les résultats de la question 2 à l'aide de la formule $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }}$.

$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6$ et $BC=4$. Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$.

Calculer chacun des produits scalaires suivants en utilisant une projection orthogonale (sans repère ni coordonnées).

Dans un repère orthonormé, calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$ dans chacun des cas suivants.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1;2)$, $B(3;5)$ et $C(4;-2)$.

1. Calculer les valeurs exactes des longueurs $AB$, $AC$ et $BC$ (on simplifiera les racines carrées lorsque c'est possible).

2. En déduire la valeur exacte du périmètre du triangle $ABC$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.

3. Le triangle $ABC$ est-il isocèle ? Justifier.

Dans un repère orthonormé, dire pour chaque paire si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Justifier par un calcul.

Dans un repère orthonormé, $m$ désigne un nombre réel.

1. On donne $\vec{u}(3;m)$ et $\vec{v}(2;-1)$. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

2. On donne $\vec{u}(m;2)$ et $\vec{v}(m;-8)$. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

3. On donne $\vec{u}(m;1)$ et $\vec{v}(m-3;4)$. Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont orthogonaux pour aucune valeur de $m$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que :

$$\parallel \vec{u}\parallel =3,\parallel \vec{v}\parallel =2,\vec{u}\cdot \vec{v}=4.$$

En utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire, calculer :

1. $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})$

2. $(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})$

3. $\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2$

4. $\parallel 2\vec{u}-3\vec{v}{\parallel }^2$

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan tels que :

$$\parallel \vec{u}\parallel =5,\parallel \vec{v}\parallel =3,\parallel \vec{u}+\vec{v}\parallel =7.$$

1. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$, puis en déduire la valeur exacte de $\parallel \vec{u}-\vec{v}\parallel$.

2. Vérifier sur ces valeurs l'égalité du parallélogramme :

$$\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2+\parallel \vec{u}-\vec{v}{\parallel }^2=2\parallel \vec{u}{\parallel }^2+2\parallel \vec{v}{\parallel }^2\mathrm{.}$$

3. Un parallélogramme $ABCD$ a pour côtés $AB=4$ et $BC=6$, et sa diagonale $[AC]$ mesure $AC=8$. Calculer la longueur exacte de l'autre diagonale $BD$. On pourra poser $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$, puis appliquer l'égalité du parallélogramme.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. On considère les vecteurs $\vec{u}(3;1)$ et $\vec{v}(2;4)$.

a. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

b. Calculer $\parallel \vec{u}\parallel$ et $\parallel \vec{v}\parallel$ (valeurs exactes).

c. En déduire la valeur exacte de $\cos (\vec{u},\vec{v})$, puis la mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en degrés.

2. On considère les points $A(1;1)$, $B(4;3)$ et $C(-1;4)$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au degré près. Que remarque-t-on ?

1. Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=5$, $AC=8$ et $\widehat{A}={60}^{\circ }$. Calculer la longueur exacte du côté $BC$.

2. Dans un autre triangle $ABC$, on donne $AB=4$, $AC=6$ et $\widehat{A}={120}^{\circ }$. Calculer la valeur exacte de $BC$, puis un arrondi au dixième.

Dans un triangle $ABC$, on note comme d'habitude $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$. On donne :

$$a=7,b=5,c=8.$$

1. À l'aide du théorème d'Al-Kashi, calculer la valeur exacte de $\cos \widehat{A}$, puis en déduire la mesure exacte de l'angle $\widehat{A}$.

2. Calculer de même $\cos \widehat{B}$, puis la mesure de l'angle $\widehat{B}$ au degré près.

3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{C}$ au degré près, sans utiliser Al-Kashi.

Une caisse est tirée sur un sol horizontal, du point $A$ au point $B$, par une corde qui exerce une force $\vec{F}$ d'intensité $F=80$ N. La corde fait un angle de ${30}^{\circ }$ au-dessus de l'horizontale et le déplacement $\overrightarrow{AB}$ est horizontal, de longueur $AB=12$ m.

1. Rappeler la formule du travail d'une force constante $\vec{F}$ le long du déplacement $\overrightarrow{AB}$, puis l'exprimer à l'aide des normes et de l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$.

2. Calculer le travail $W(\vec{F})$ en joules : donner la valeur exacte, puis un arrondi à l'unité.

3. Que devient le travail si la corde est tenue horizontalement (même intensité, même déplacement) ? Commenter.

Un palet glisse vers le bas le long d'un plan incliné faisant un angle de ${20}^{\circ }$ avec l'horizontale. Il parcourt une distance $L=5$ m le long de la pente. Trois forces s'exercent sur lui pendant ce déplacement :

• son poids $\vec{P}$, vertical et dirigé vers le bas, d'intensité $P=20$ N ;
• la réaction normale du plan $\vec{N}$, perpendiculaire au plan, d'intensité $N=\mathrm{18,8}$ N ;
• les frottements $\vec{f}$, opposés au mouvement, d'intensité $f=4$ N.

1. Justifier, sans aucun calcul, que $W(\vec{N})=0$ J.

2. Calculer $W(\vec{f})$. Quel est le signe de ce travail ? Interpréter.

3. Justifier que l'angle entre le poids $\vec{P}$ et le vecteur déplacement vaut ${90}^{\circ }-{20}^{\circ }={70}^{\circ }$, puis calculer $W(\vec{P})$ arrondi au dixième de joule.

4. La force résultante est $\vec{R}=\vec{P}+\vec{N}+\vec{f}$. En utilisant la bilinéarité du produit scalaire, justifier que $W(\vec{R})=W(\vec{P})+W(\vec{N})+W(\vec{f})$, puis calculer $W(\vec{R})$.

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points :

$$A(-2;1),B(4;3),C(0;5)\mathrm{.}$$

1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

2. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier.

3. Calculer les longueurs exactes $AB$ et $AC$ (simplifier les racines).

4. En déduire la valeur exacte de $\cos \widehat{A}$, puis la mesure de l'angle $\widehat{A}$ en degrés.

5. Calculer $BC$, puis vérifier la cohérence du résultat de la question 4 à l'aide du théorème d'Al-Kashi.

Un remonte-pente tracte un skieur le long d'une pente rectiligne inclinée de ${15}^{\circ }$ par rapport à l'horizontale, sur une distance $L=600$ m. La perche exerce sur le skieur une force de traction $\vec{T}$ d'intensité $T=250$ N, qui fait un angle de ${25}^{\circ }$ avec la ligne de pente.

1. Calculer le travail $W(\vec{T})$ de la force de traction le long de la montée. Donner le résultat en joules arrondi à l'unité, puis en kilojoules.

2. Calculer la projection orthogonale de $\vec{T}$ sur l'axe de la pente, c'est-à-dire l'intensité $T^{\mathrm{\prime }}=T\cos {25}^{\circ }$ (arrondir au dixième de newton). Vérifier que $W(\vec{T})=T^{\mathrm{\prime }}\times L$ et expliquer pourquoi ce n'est pas une coïncidence.

3. Le poids du skieur est $\vec{P}$, vertical et dirigé vers le bas, d'intensité $P=800$ N. Justifier que l'angle entre $\vec{P}$ et le vecteur déplacement (qui monte la pente) vaut ${90}^{\circ }+{15}^{\circ }={105}^{\circ }$, puis calculer $W(\vec{P})$ en kilojoules.

4. Comparer $W(\vec{T})$ et $W(\vec{P})$ et interpréter physiquement le résultat.