Devoir surveillé — Produit scalaire

Les quatre questions sont indépendantes.

1. ($1$ pt) On donne $\parallel \vec{u}\parallel =6$, $\parallel \vec{v}\parallel =5$, et l'angle entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vaut ${60}^{\circ }$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

2. ($1$ pt) On donne $\parallel \vec{u}\parallel =2\sqrt{2}$, $\parallel \vec{v}\parallel =3$, et l'angle entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vaut ${135}^{\circ }$. Calculer la valeur exacte de $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Dans un repère orthonormé, on donne les vecteurs $\vec{u}(4;-3)$ et $\vec{v}(2;5)$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$, puis $\parallel \vec{u}\parallel$.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) Déterminer le réel $m$ tel que le vecteur $\vec{w}(m;6)$ soit orthogonal au vecteur $\vec{u}(4;-3)$ de la question 3.

$EFGH$ est un rectangle tel que $EF=8$ et $FG=3$. Le point $M$ est le milieu du segment $[EF]$.

Calculer les produits scalaires suivants en utilisant la projection orthogonale (ou une propriété du cours), en justifiant chaque réponse ($1$ pt par question).

Un géomètre doit borner un terrain triangulaire $ABC$. Il a mesuré : $AB=60$ m, $AC=90$ m et $\widehat{A}={50}^{\circ }$.

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Calculer la longueur $BC$, arrondie au mètre.

2. ($2$ pts) À l'aide du théorème d'Al-Kashi, calculer la mesure de l'angle $\widehat{B}$, arrondie au degré. On utilisera la valeur arrondie $BC\approx 69$ m.

3. ($\mathrm{0,5}$ pt) En déduire la mesure de l'angle $\widehat{C}$, arrondie au degré.

4. ($1$ pt) Vérifier la cohérence des résultats : calculer $\widehat{C}$ directement à l'aide du théorème d'Al-Kashi, puis contrôler que la somme des trois angles du triangle vaut bien environ ${180}^{\circ }$.

Dans un atelier, un chariot est tracté vers le haut le long d'une rampe inclinée de ${10}^{\circ }$ par rapport à l'horizontale. Le déplacement, noté $\overrightarrow{AB}$, se fait le long de la rampe sur une longueur $L=AB=15$ m. Le chariot est soumis à trois forces :

• la force de traction $\vec{T}$, parallèle à la rampe et dirigée dans le sens du déplacement, d'intensité $T=400$ N ;
• son poids $\vec{P}$, vertical et dirigé vers le bas, d'intensité $P=1200$ N ;
• la réaction du support $\vec{N}$, perpendiculaire à la rampe.

Rappel : le travail d'une force $\vec{F}$ sur le déplacement $\overrightarrow{AB}$ est $W(\vec{F})=\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}$. Il s'exprime en joules (J) lorsque la force est en newtons (N) et la longueur en mètres (m).

1. ($1$ pt) Justifier que l'angle entre $\vec{T}$ et $\overrightarrow{AB}$ vaut $0^{\circ }$, puis calculer $W(\vec{T})$.

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) Justifier que l'angle entre $\vec{P}$ et $\overrightarrow{AB}$ vaut ${100}^{\circ }$, puis calculer $W(\vec{P})$, arrondi au joule.

3. ($1$ pt) Que vaut le travail $W(\vec{N})$ de la réaction du support ? Justifier.

4. ($\mathrm{1,5}$ pt) On admet que les frottements sont négligeables et que la résultante des forces exercées sur le chariot est $\vec{R}=\vec{T}+\vec{P}+\vec{N}$. Calculer $W(\vec{R})$ en citant la propriété du produit scalaire utilisée, puis interpréter le signe du résultat.