Exercices — Primitives

Pour vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle, il suffit de dériver $F$ et de comparer le résultat à $f$.

1. La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(t)=t^3-2t^2+5$ est-elle une primitive de la fonction $f$ définie par $f(t)=3t^2-4t$ ?

2. La fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(t)=t^2+3t$ est-elle une primitive de la fonction $g$ définie par $g(t)=2t+1$ ?

3. La fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par $H(t)={\displaystyle \frac{t^4}{4}}-t^2+7$ est-elle une primitive de la fonction $h$ définie par $h(t)=t^3-2t$ ?

4. Dans la question 3, la constante $7$ n'a joué aucun rôle dans la vérification. Expliquer pourquoi la valeur de cette constante n'intervient pas.

On rappelle les formules de dérivation d'un produit et d'un quotient : $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ et ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}$.

1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(t)=t\sin (t)+\cos (t)$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(t)=t\cos (t)$.

2. Montrer que la fonction $G$ définie sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$ par $G(t)={\displaystyle \frac{t}{t+1}}$ est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(t)={\displaystyle \frac{1}{(t+1{)}^2}}$.

3. En déduire une primitive de $g$ sur $]-1;+\mathrm{\infty }[$ qui s'annule en $t=0$.

Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de chacune des fonctions suivantes :

1. Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de chacune des fonctions suivantes :

   a. $f_1(t)=6t^2-4t+3$

   b. $f_2(t)={\displaystyle \frac{t^3}{2}}-t$

   c. $f_3(t)=7-2t-9t^2$

   d. $f_4(t)={\displaystyle \frac{2t^2}{3}}+{\displaystyle \frac{t}{2}}$

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=(2t-1)(t+3)$. Développer $f(t)$, puis donner une primitive de $f$.

3. Donner toutes les primitives de $f_1$ sur $\mathbb{R}$.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=3t^2-4t+1$.

   a. Donner toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.

   b. Déterminer la primitive $F$ de $f$ vérifiant $F(1)=3$.

2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t)=2t+3$. Déterminer la primitive $G$ de $g$ vérifiant $G(-1)=0$.

3. Combien la fonction $f$ admet-elle de primitives sur $\mathbb{R}$ ? Combien d'entre elles vérifient $F(1)=3$ ? Justifier.

La figure ci-dessous représente trois courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$.

La courbe ${\mathcal{C}}_1$ représente la fonction $g_1(t)={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-t$, la courbe ${\mathcal{C}}_2$ représente la fonction $g_2(t)={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-t+2$ et la courbe ${\mathcal{C}}_3$ représente la fonction $g_3(t)=-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+t+1$, toutes trois définies sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer $g_1^{\mathrm{\prime }}(t)$, $g_2^{\mathrm{\prime }}(t)$ et $g_3^{\mathrm{\prime }}(t)$.

2. En déduire que $g_1$ et $g_2$ sont deux primitives d'une même fonction $f$, que l'on précisera. Comment ce lien entre $g_1$ et $g_2$ se voit-il sur la figure ?

3. La fonction $g_3$ est-elle aussi une primitive de $f$ ? Justifier.

4. Donner la primitive de $f$ qui prend la valeur $2$ en $t=0$.

Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de chacune des fonctions suivantes :

On rappelle qu'une primitive de $t\mapsto A\cos (\omega t+\phi )$ est $t\mapsto {\displaystyle \frac{A}{\omega }}\sin (\omega t+\phi )$, et qu'une primitive de $t\mapsto A\sin (\omega t+\phi )$ est $t\mapsto -{\displaystyle \frac{A}{\omega }}\cos (\omega t+\phi )$.

1. Donner une primitive sur $\mathbb{R}$ de chacun des signaux suivants :

   a. $f_1(t)=2\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

   b. $f_2(t)=5\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}(2t-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

   c. $f_3(t)=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}(\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

   d. $f_4(t)=6\sin \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi t}{2}}\right)$

2. On considère le signal $u(t)=4\cos (2t)$. Déterminer la primitive $F$ de $u$ vérifiant $F(0)=1$.

3. Vérifier le résultat de la question 2 en dérivant la fonction $F$ obtenue.

On considère le problème de Cauchy suivant :

On cherche à construire une approximation de la solution sur l'intervalle $[0;3]$ à l'aide de la méthode d'Euler, avec un pas $h=1$. On rappelle les formules d'itération de la méthode : en partant du point $(t_0;y_0)$, on construit les points suivants par

où $f$ est la fonction définie par $f(t)={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$.

1. Pourquoi ne peut-on pas résoudre ce problème par un calcul de primitive, comme dans les exercices précédents ?

2. Construire les points d'Euler $(t_1;y_1)$, $(t_2;y_2)$ et $(t_3;y_3)$. Présenter les calculs dans un tableau de valeurs donnant $t_k$, $f(t_k)$ et $y_k$.

3. Sur un graphique, on relie les points d'Euler consécutifs par des segments. Que représente géométriquement chacun de ces segments par rapport à la courbe de la solution ?

On reprend le problème de Cauchy de l'exercice précédent :

avec $f(t)={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$, mais cette fois sur l'intervalle $[0;2]$ et avec un pas $h=\mathrm{0,5}$.

1. Construire le tableau des points d'Euler pour $h=\mathrm{0,5}$ (colonnes $t_k$, $f(t_k)$, $y_k$). On arrondira les valeurs au centième si nécessaire.

2. La figure ci-dessus montre les deux lignes brisées d'Euler (pas $1$ et pas $\mathrm{0,5}$) ainsi que la courbe de la solution exacte. Laquelle des deux lignes brisées est la plus proche de la solution exacte ? Pourquoi ?

3. On observe que les deux lignes brisées sont au-dessus de la courbe exacte. Proposer une explication, en étudiant le sens de variation de $f$ sur $[0;2]$.

4. Quel est le prix à payer quand on choisit un pas plus petit ? Quel outil rend ce prix supportable ?

On souhaite programmer la méthode d'Euler pour le problème de Cauchy $y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{1+t^2}}$, $y(0)=0$. Voici un script Python incomplet :

def euler(f, t0, y0, h, n):
    t, y = t0, y0
    temps, valeurs = [t0], [y0]
    for k in range(n):
        y = y + ...      # ligne (1)
        t = t + ...      # ligne (2)
        temps.append(t)
        valeurs.append(y)
    return temps, valeurs

def f(t):
    return 1 / (1 + t**2)

temps, valeurs = euler(f, 0, 0, 0.5, 4)

Attention : dans la boucle, la variable y doit être mise à jour avant la variable t (ou alors en utilisant l'ancienne valeur de t), sinon on utiliserait $f(t_{k+1})$ au lieu de $f(t_k)$.

1. Compléter la ligne (1) et la ligne (2).

2. Pourquoi l'ordre de ces deux lignes est-il important ? Que calculerait le programme si on les échangeait ?

3. Que contient la liste valeurs après l'exécution du script ?

4. Quelle modification de la dernière ligne faut-il faire pour utiliser un pas $h=\mathrm{0,1}$ jusqu'à $t=2$ ?

Un objet est lâché sans vitesse initiale du haut d'une tour de $45$ m. On note $d(t)$ la distance parcourue depuis le sommet (en mètres) et $v(t)$ la vitesse de l'objet (en m/s) à l'instant $t$ (en secondes). En négligeant les frottements de l'air, l'accélération est constante : $a(t)=g$, avec $g=10{\text{m/s}}^2$ (valeur simplifiée).

1. Justifier que $v$ est une primitive de $a$, puis déterminer $v(t)$ sachant que $v(0)=0$.

2. Déterminer $d(t)$ sachant que $d(0)=0$.

3. Au bout de combien de temps l'objet touche-t-il le sol ?

4. À quelle vitesse arrive-t-il au sol, en m/s puis en km/h ?

5. En physique, la loi horaire de la chute libre est $d(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$. Retrouve-t-on ce résultat avec l'expression obtenue à la question 2 ?

Un mobile se déplace sur un axe gradué en mètres. Sa vitesse (en m/s) à l'instant $t$ (en secondes) est donnée par

À l'instant $t=0$, le mobile se trouve à l'abscisse $x(0)=3$.

1. Déterminer l'expression de la position $x(t)$ du mobile.

2. À quel instant le mobile s'arrête-t-il ?

3. Quelle est l'abscisse maximale atteinte par le mobile ? Justifier à l'aide du signe de $v$.

4. Où se trouve le mobile à l'instant $t=6$ ? A-t-il rebroussé chemin ?

Dans un mécanisme, un piston oscille autour de sa position d'équilibre. Sa vitesse (en cm/s) à l'instant $t$ (en secondes) est donnée par

Sa position (en cm, repérée par rapport à la position d'équilibre) est notée $x(t)$ et vérifie $x(0)=0$.

1. Déterminer l'expression de $x(t)$.

2. Quelle est l'amplitude du mouvement du piston ?

3. Quelle est la période du mouvement ?

4. Calculer la position et la vitesse du piston à l'instant $t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Interpréter physiquement ces deux résultats.

5. Vérifier par dérivation que $x^{\mathrm{\prime }}(t)=v(t)$.

L'accélération d'un oscillateur (en ${\text{m/s}}^2$) à l'instant $t$ (en secondes) est donnée par

À l'instant $t=0$, on a $v(0)=4$ m/s et $x(0)=0$ m, où $v$ désigne la vitesse (en m/s) et $x$ la position (en m).

1. Déterminer l'expression de $v(t)$.

2. Déterminer l'expression de $x(t)$.

3. Quelle est la vitesse maximale de l'oscillateur ? À quels instants est-elle atteinte ?

4. Vérifier que pour tout $t$, on a $a(t)=-4x(t)$. Ce lien entre accélération et position (l'accélération est proportionnelle à la position, avec un coefficient négatif, comme pour une force de rappel) est caractéristique des oscillateurs.

5. Calculer $x\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$.

Jusqu'ici, la méthode d'Euler servait quand on ne savait pas calculer de primitive. Cette fois, on choisit exprès une fonction dont on sait calculer une primitive, pour mesurer l'erreur commise par la méthode. On pose

et on considère le problème de Cauchy $y^{\mathrm{\prime }}=f(t)$, $y(0)=0$.

1. Déterminer la solution exacte $F$, c'est-à-dire la primitive de $f$ vérifiant $F(0)=0$, puis calculer $F(2)$.

2. Construire les points d'Euler avec un pas $h=\mathrm{0,5}$ sur $[0;2]$. Présenter les résultats dans un tableau de valeurs ($t_k$, $f(t_k)$, $y_k$).

3. Comparer $y_4$ et $F(2)$ : quelle est l'erreur commise ? La méthode d'Euler surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle ici ? Proposer une explication à l'aide du sens de variation de $f$ sur $[\mathrm{0,5};2]$.

4. Sans faire le calcul complet, l'erreur obtenue avec un pas $h=\mathrm{0,25}$ serait-elle plus grande ou plus petite ?

5. Question ouverte : pourquoi utilise-t-on quand même la méthode d'Euler alors qu'on sait parfois calculer la primitive ?