Devoir surveillé — Primitives

1. ($3$ pts, soit $\mathrm{0,75}$ pt par fonction) Donner une primitive de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$ :

2. ($\mathrm{1,5}$ pt) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t)=(3t-1)(t+2)$. Développer $g(t)$, puis donner une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) Déterminer la primitive $P$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $p$ définie par $p(t)=6t^2-4t+1$ vérifiant $P(1)=2$.

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Montrer que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(t)=(t+1)\sin (t)$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(t)=\sin (t)+(t+1)\cos (t)$.

2. ($\mathrm{2,5}$ pts) La figure ci-dessous donne trois courbes ${\mathrm{\Gamma }}_1$, ${\mathrm{\Gamma }}_2$ et ${\mathrm{\Gamma }}_3$ :

• ${\mathrm{\Gamma }}_1$ représente la fonction $h_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h_1(t)=3t-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}$ ;
• ${\mathrm{\Gamma }}_2$ représente la fonction $h_2$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h_2(t)=3t-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+2$ ;
• ${\mathrm{\Gamma }}_3$ représente la fonction $h_3$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h_3(t)={\displaystyle \frac{t^2}{2}}-3t+1$.

a. Justifier par le calcul que $h_1$ et $h_2$ sont deux primitives d'une même fonction $h$, que l'on précisera.

b. Comment cela se traduit-il graphiquement sur la figure ?

c. Parmi les trois fonctions $h_1$, $h_2$ et $h_3$, quelle est la primitive de $h$ qui vaut $2$ en $0$ ? Justifier.

Un véhicule roule en ligne droite à la vitesse de $20$ m/s (soit $72$ km/h) lorsque, à l'instant $t=0$ (en secondes), le conducteur déclenche un freinage d'urgence. Le freinage impose au véhicule une accélération constante $a(t)=-5{\text{m/s}}^2$.

On note $v(t)$ la vitesse du véhicule (en m/s) et $x(t)$ la distance parcourue (en mètres) depuis le début du freinage. On a donc $v(0)=20$ et $x(0)=0$.

1. ($\mathrm{1,5}$ pt) Justifier que $v$ est une primitive de $a$, puis déterminer l'expression de $v(t)$.

2. ($1$ pt) À quel instant le véhicule s'arrête-t-il ?

3. ($\mathrm{1,5}$ pt) En procédant de même avec $x$ et $v$, déterminer l'expression de $x(t)$.

4. ($1$ pt) En déduire la distance d'arrêt du véhicule.

5. ($1$ pt) Reprendre le raisonnement avec une vitesse initiale de $30$ m/s (soit $108$ km/h) : calculer la nouvelle distance d'arrêt, puis comparer les deux distances. Que constate-t-on ?

On cherche la fonction $y$, définie sur $[0;\mathrm{1,5}]$, qui est la primitive de la fonction $f:t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+t}}$ vérifiant $y(0)=0$, autrement dit telle que $y^{\mathrm{\prime }}(t)=f(t)$ et $y(0)=0$. La fonction $f$ n'a pas de primitive connue en classe de première : on construit donc une approximation de $y$ par la méthode d'Euler.

En partant de $t_0=0$ et $y_0=0$, la méthode d'Euler de pas $h$ construit des points $(t_k;y_k)$ proches de la courbe de $y$ grâce aux formules :

$$t_{k+1}=t_k+h\text{et}{y}_{k+1}=y_k+h\times f(t_k)$$

1. ($\mathrm{2,5}$ pts) Avec le pas $h=\mathrm{0,5}$, calculer $y_1$, $y_2$ et $y_3$ en détaillant les calculs, puis recopier et compléter le tableau suivant (arrondir au centième si nécessaire) :

2. ($\mathrm{0,5}$ pt) Que représente le point $(\mathrm{1,5};y_3)$ pour la fonction $y$ cherchée ?

3. ($1$ pt) On recommence la construction avec le pas $h=\mathrm{0,1}$. Qu'attend-on du résultat obtenu ? Quel est l'inconvénient de ce choix, et comment y remédie-t-on en pratique ?