Exercices — Nombres complexes : formes algébrique et trigonométrique

On rappelle que le nombre $i$ vérifie $i^2=-1$.

1. Calculer les puissances suivantes de $i$, en donnant à chaque fois le résultat sous la forme la plus simple possible.

   a. $i^2$

   b. $i^3$

   c. $i^4$

   d. $i^5$

2. Pour chacun des nombres complexes suivants, donner sa partie réelle et sa partie imaginaire.

   a. $z_1=3-2i$

   b. $z_2=-5+i$

   c. $z_3=7$

   d. $z_4=-4i$

   e. $z_5={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i$

   f. $z_6=2i-6$

3. Parmi les nombres $z_1$ à $z_6$, lesquels sont des nombres réels ? Lesquels sont des imaginaires purs ?

On considère les nombres complexes suivants :

Calculer chacun des nombres suivants et donner le résultat sous forme algébrique $a+ib$.

Dans tout l'exercice, on donnera les résultats sous forme algébrique $a+ib$. On rappelle que $i^2=-1$.

1. Calculer les produits suivants en développant.

   a. $(2+3i)(1+i)$

   b. $(4-i)(2+3i)$

   c. $3i(2-5i)$

   d. $(1-2i)(-3+i)$

2. Calculer les carrés suivants à l'aide des identités remarquables.

   a. $(2+3i{)}^2$

   b. $(1-i{)}^2$

   c. $(3-4i{)}^2$

3. Calculer les produits suivants.

   a. $(2+3i)(2-3i)$

   b. $(5-i)(5+i)$

4. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Développer $(a+ib)(a-ib)$ et vérifier que le résultat est le nombre réel $a^2+b^2$. Retrouver alors les résultats de la question 3 sans développer.

On rappelle que le conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ (avec $a$ et $b$ réels) est $\bar{z}=a-ib$.

1. Donner le conjugué de chacun des nombres suivants.

   a. $z_1=4+3i$

   b. $z_2=-2-5i$

   c. $z_3=7i$

   d. $z_4=-6$

   e. $z_5={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}i$

   f. $z_6=i-1$

2. On pose $z=1+2i$ et $z^{\mathrm{\prime }}=3-i$.

   a. Calculer $z{z}^{\mathrm{\prime }}$, puis $\overline{z{z}^{\mathrm{\prime }}}$.

   b. Calculer $\bar{z}{\bar{z}}^{\mathrm{\prime }}$.

   c. Que constate-t-on ? Énoncer la propriété générale illustrée par ce calcul.

3. Calculer $z\bar{z}$ pour $z=3+4i$, puis pour $z=1-2i$. Que remarque-t-on sur la nature de ces deux résultats ?

Pour écrire un quotient de nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : le nouveau dénominateur est alors un nombre réel.

Mettre chacun des quotients suivants sous forme algébrique $a+ib$.

On rappelle qu'un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle, et imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle.

1. On pose $z=3-5i$.

   a. Calculer $z+\bar{z}$ et $z-\bar{z}$. Quelle est la nature de chacun de ces deux nombres ?

   b. On pose maintenant $z=a+ib$, avec $a$ et $b$ réels quelconques. Montrer que $z+\bar{z}$ est toujours un nombre réel et que $z-\bar{z}$ est toujours un imaginaire pur.

2. Soit $m$ un nombre réel. On pose $Z=(m+2i)(3-i)$.

   a. Développer $Z$ et l'écrire sous forme algébrique (les parties réelle et imaginaire dépendent de $m$).

   b. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $Z$ est un nombre réel.

   c. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $Z$ est un imaginaire pur.

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants. On donnera les valeurs exactes.

On considère les nombres complexes $z_1=3+4i$ et $z_2=1-i$.

1. Calculer $\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }$ et $\mathrm{\mid }{z}_2\mathrm{\mid }$.

2. En utilisant les propriétés du module, et sans calculer les formes algébriques des nombres concernés, déterminer :

   a. $\mathrm{\mid }{z}_1{z}_2\mathrm{\mid }$

   b. $\mid {\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\mid$

   c. $\mathrm{\mid }{z}_1^2\mathrm{\mid }$

   d. $\mathrm{\mid }\overline{z_2}\mathrm{\mid }$

3. En déduire, toujours sans développer le produit, le module de $(3+4i)(1-i)(\sqrt{3}+i)$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$. Sur la figure ci-dessous, on a placé six points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$.

1. Lire sur la figure l'affixe de chacun des six points.
2. Parmi ces affixes, lesquelles sont réelles ? Lesquelles sont imaginaires pures ?
3. Placer le point $A^{\mathrm{\prime }}$, symétrique de $A$ par rapport à l'axe des réels (l'axe des abscisses). Donner son affixe. Que reconnaît-on ?

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives

1. Calculer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis celle du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
2. Calculer l'affixe du milieu $I$ du segment $[BC]$.
3. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
4. Vérifier que $z_D$ est un nombre réel. Que peut-on en déduire pour la position du point $D$ ?

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$, on note $M$ le point d'affixe $z$.

Rappel utile : si $A$ est le point d'affixe $z_A$, alors $\mathrm{\mid }z-z_A\mathrm{\mid }$ est la distance $AM$. Dans chaque question, on commencera donc par interpréter le module comme une distance.

1. Décrire géométriquement, puis représenter, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que

2. Décrire géométriquement, puis représenter, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$, la figure ci-dessous montre le cercle de centre $O$ et de rayon $2$, sur lequel on a placé cinq points $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ et $M_5$. On note $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$ et $z_5$ leurs affixes respectives.

1. Pour chacun des cinq points, donner le module et un argument de son affixe.
2. En déduire la forme algébrique de $z_1$ et de $z_3$.
3. Quel point a une affixe réelle ? Lequel a une affixe imaginaire pure ?

Méthode. Pour mettre un nombre complexe non nul $z=a+ib$ sous forme trigonométrique $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ :

1. on calcule le module $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}$ ;
2. on cherche un argument $\theta$ tel que $\cos \theta ={\displaystyle \frac{a}{r}}$ et $\sin \theta ={\displaystyle \frac{b}{r}}$, en s'aidant des valeurs remarquables du cercle trigonométrique.

Déterminer le module, un argument, puis la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique, en remplaçant le cosinus et le sinus par leurs valeurs exactes.

   a. $z_1=2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

   b. $z_2=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$

   c. $z_3=4(\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})+i\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}))$

   d. $z_4=3(\cos \pi +i\sin \pi )$

   e. $z_5=6(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

2. L'écriture $z_6=-\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$ est-elle une forme trigonométrique ? Justifier, puis écrire $z_6$ sous forme algébrique et en déduire sa véritable forme trigonométrique.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes. On donnera les solutions sous forme algébrique.

1. $(1+i)z=3-i$

2. $2z+1-i=iz+5$

3. $2z-3\bar{z}=5+10i$

Méthode. Pour les équations 1 et 2, on isole $z$ comme dans une équation du premier degré, puis on écrit le quotient obtenu sous forme algébrique (multiplication par le conjugué du dénominateur). Pour l'équation 3, la présence de $\bar{z}$ impose de poser $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, puis d'identifier parties réelles et imaginaires.

En électricité, lorsqu'un circuit est alimenté en régime sinusoïdal, on lui associe un nombre complexe appelé impédance complexe, noté $\underset{‾}{Z}$ et exprimé en ohms (Ω). Ce nombre résume à lui seul le comportement du circuit :

• son module $\mathrm{\mid }\underset{‾}{Z}\mathrm{\mid }$ relie l'amplitude $U$ de la tension à l'amplitude $I$ de l'intensité par la relation $U=\mathrm{\mid }\underset{‾}{Z}\mathrm{\mid }\times I$ ;
• son argument $\theta$ mesure le déphasage de la tension par rapport à l'intensité.

(Les électriciens notent $j$ le nombre dont le carré vaut $-1$, pour ne pas le confondre avec l'intensité $i$ ; dans cet exercice, on garde la notation $i$ des mathématiciens. Aucune connaissance d'électricité n'est nécessaire : tout ce qu'il faut est défini ci-dessus.)

On étudie un circuit constitué d'une résistance et d'une bobine en série, dont l'impédance complexe est

1. Donner la forme algébrique de $\underset{‾}{Z}$.

2. Calculer le module $\mathrm{\mid }\underset{‾}{Z}\mathrm{\mid }$. Que représente-t-il pour le circuit ?

3. Déterminer un argument $\theta$ de $\underset{‾}{Z}$. Que représente-t-il pour le circuit ?

4. L'intensité qui traverse le circuit a pour amplitude $I=2$ A. Calculer l'amplitude $U$ de la tension aux bornes du circuit.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère.

2. Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.

3. En déduire les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.

4. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier soigneusement.

5. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABDC$ (attention à l'ordre des lettres) soit un parallélogramme. Que peut-on dire de plus précis sur ce parallélogramme ?