Devoir surveillé — Nombres complexes : formes algébrique et trigonométrique

On considère les nombres complexes $z_1=2+3i$ et $z_2=1-i$.

Calculer, puis écrire sous forme algébrique, chacun des nombres complexes suivants.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u},\vec{v})$ d'unité 1 cm. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

$$z_A=-1+2i{z}_B=2+3i{z}_C=3-i$$

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère. (1 point)

2. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis celle du vecteur $\overrightarrow{BC}$. (1,5 point)

3. Déterminer l'affixe du point $I$, milieu du segment $[AC]$. (1 point)

4. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, puis placer $D$ sur la figure. (1,5 point)

1. Déterminer le module, un argument, puis la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants : (2,5 points)

2. Placer les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$ dans un repère orthonormé. On pourra s'aider de cercles centrés à l'origine. (1 point)

3. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe $z_3=4(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$. (1,5 point)

4. Calculer $\mathrm{\mid }{z}_1{z}_2\mathrm{\mid }$ sans déterminer la forme algébrique de $z_1{z}_2$. (1 point)

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(1+i)z=5-3i$. On donnera la solution sous forme algébrique. (2 points)

2. Soit $m$ un nombre réel. On pose $Z=(m+2i)(1-i)$.

a. Écrire $Z$ sous forme algébrique, en fonction de $m$. (1 point)

b. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $Z$ est un imaginaire pur, et vérifier qu'alors $Z=4i$. (1 point)