Exercices — Variables aléatoires réelles

On lance un dé équilibré à six faces et on observe le numéro obtenu. Un joueur reçoit ou paie de l'argent selon la règle suivante :

• si le dé affiche $6$, le joueur gagne $5$ € ;
• si le dé affiche un numéro pair autre que $6$, le joueur gagne $2$ € ;
• sinon, le joueur perd $3$ €.

On note $X$ le gain algébrique du joueur, en euros (un gain négatif correspond à une perte).

a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ? Pour chacune, préciser les faces du dé correspondantes.

b) Traduire chacun des événements suivants par une phrase en langage courant :

c) Traduire chacune des phrases suivantes en écriture symbolique à l'aide de $X$ :

i. « le joueur gagne de l'argent » ;

ii. « le joueur perd $3$ € » ;

iii. « le joueur ne gagne pas $5$ € ».

d) Décrire l'événement $\{X⩽2\}$ comme réunion d'événements de la forme $\{X=a\}$.

On lance deux pièces de monnaie équilibrées, une pièce de $1$ € puis une pièce de $2$ €, et on note dans l'ordre le côté obtenu pour chacune : P pour « pile », F pour « face ».

On note $X$ le nombre de « pile » obtenus.

a) Donner l'univers $\mathrm{\Omega }$ de cette expérience aléatoire. Pourquoi peut-on affirmer que ses issues sont équiprobables ?

b) La variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur l'univers $\mathrm{\Omega }$. Donner la valeur de $X$ pour chacune des quatre issues.

c) Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.

d) Calculer $P(X⩾1)$ de deux façons :

i. directement, à partir du tableau de la loi ;

ii. en utilisant l'événement contraire de $\{X⩾1\}$.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $5$ boules rouges, $3$ boules vertes et $2$ boules noires. On tire une boule au hasard dans l'urne. Un stand de kermesse remet alors au joueur :

• $1$ € si la boule est rouge ;
• $2$ € si la boule est verte ;
• $5$ € si la boule est noire.

On note $X$ la somme reçue par le joueur, en euros.

a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.

b) Vérifier que la somme des probabilités du tableau vaut $1$.

c) Calculer $P(X⩾2)$ et interpréter le résultat par une phrase.

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-2$, $0$, $1$ et $3$. Sa loi de probabilité est représentée par le diagramme en bâtons ci-dessous : la hauteur de chaque bâton donne la probabilité $P(X=x_i)$.

a) À l'aide du diagramme, dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.

b) Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.

c) Calculer $P(X⩽0)$, $P(X>0)$ et $P(X\mathrm{\ne }1)$.

d) $X$ représente le gain algébrique, en euros, d'un joueur à un jeu de hasard (un gain négatif est une perte). Ce jeu est-il favorable au joueur ? Justifier par un calcul.

a) La loi d'une variable aléatoire $X$ est donnée par le tableau ci-dessous. Calculer $E(X)$.

b) Un fleuriste a relevé, sur un grand nombre de journées, le nombre de bouquets de mariée commandés par jour. On modélise ce nombre par une variable aléatoire $Y$ dont la loi est donnée ci-dessous. Calculer $E(Y)$ et interpréter le résultat par une phrase.

c) La loi d'une variable aléatoire $Z$ est donnée par le tableau ci-dessous. Calculer $E(Z)$.

Lors d'une fête de village, un stand propose le jeu suivant. On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes bien mélangé :

• si la carte est un as, le joueur gagne $5$ € ;
• si la carte est une figure (roi, dame ou valet), le joueur gagne $2$ € ;
• sinon, le joueur perd $2$ €.

Dans un premier temps, la participation au jeu est gratuite. On note $X$ le gain algébrique du joueur, en euros.

On rappelle qu'un jeu de $32$ cartes contient $4$ as et $12$ figures ($4$ rois, $4$ dames et $4$ valets).

a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$ (donner les probabilités sous forme de fractions simplifiées).

b) Calculer $E(X)$.

c) Ce jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

d) L'organisateur décide finalement de faire payer une mise de $m$ euros pour participer (les gains de la règle sont inchangés). On note $Y$ le gain algébrique du joueur, mise déduite. Exprimer $Y$ en fonction de $X$ et de $m$, puis déterminer la valeur de $m$ pour laquelle le jeu est équitable.

On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

a) Calculer l'espérance $E(X)$.

b) Calculer la variance $V(X)$ en utilisant la définition :

$$V(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^{2}P(X=x_i)$$

c) Retrouver $V(X)$ en utilisant la formule de König-Huygens :

$$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$$

d) En déduire l'écart type $\sigma (X)$, arrondi au centième.

e) Les deux méthodes des questions b) et c) donnent-elles toujours le même résultat ? Laquelle des deux limite les calculs lorsque $E(X)$ n'est pas un nombre « simple » ?

Une usine fabrique des pièces cylindriques dans deux ateliers A et B. On prélève au hasard une pièce dans la production de chaque atelier et on note $X_A$ (respectivement $X_B$) le diamètre, en millimètres, de la pièce prélevée dans l'atelier A (respectivement B). Les lois de $X_A$ et $X_B$ sont représentées par les diagrammes en bâtons ci-dessous.

a) À l'aide des diagrammes, dresser le tableau de la loi de probabilité de $X_A$, puis celui de la loi de $X_B$.

b) Calculer $E(X_A)$ et $E(X_B)$. Que constate-t-on ?

c) Calculer la variance et l'écart type de chacune des deux variables aléatoires (on arrondira les écarts types au centième).

d) Le cahier des charges exige des pièces de diamètre aussi proche que possible de $10$ mm. Quel atelier produit les pièces les plus régulières ? Interpréter la réponse à l'aide des résultats de la question c).

Lors d'une séance d'entraînement, un footballeur tire deux penalties. On admet qu'il réussit chaque tir avec la probabilité $\mathrm{0,7}$ et que les deux tirs sont indépendants. On note $X$ le nombre de buts marqués sur les deux tirs.

a) Construire un arbre pondéré représentant cette situation : à chaque tir correspond un niveau de l'arbre, avec deux branches (« but », de probabilité $\mathrm{0,7}$, et « raté », de probabilité $\mathrm{0,3}$).

b) Déterminer la loi de probabilité de $X$ (on présentera les résultats dans un tableau).

c) Calculer $E(X)$.

d) Interpréter la valeur de $E(X)$ dans le contexte de l'exercice.

e) Chaque but marqué rapporte $50$ points au joueur dans le classement de l'entraînement. On note $Y$ le nombre de points obtenus sur les deux tirs. Exprimer $Y$ en fonction de $X$, puis calculer $E(Y)$ sans déterminer la loi de $Y$.

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-2$, $1$, $3$ et $8$. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $p$ et $q$ désignent deux nombres réels :

On sait de plus que $E(X)=\mathrm{1,7}$.

a) Justifier que $p+q=\mathrm{0,5}$.

b) Traduire la condition $E(X)=\mathrm{1,7}$ par une équation d'inconnues $p$ et $q$.

c) Résoudre le système formé par les deux équations précédentes, puis dresser le tableau complet de la loi de $X$.

d) Calculer alors $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis l'écart type $\sigma (X)$ arrondi au centième.

Dans une chambre froide, on relève chaque jour à midi la température $X$, en degrés Celsius. On modélise $X$ par une variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau suivant :

a) Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$.

b) Le fabricant du système de réfrigération, américain, travaille en degrés Fahrenheit. La température en Fahrenheit est donnée par $Y=\mathrm{1,8}X+32$. Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma (Y)$ sans déterminer la loi de $Y$.

c) Énoncer précisément les propriétés du cours utilisées à la question b).

d) Vrai ou faux (justifier) : « pour tous réels $a$ et $b$, $\sigma (aX+b)=a\sigma (X)$ ».

À la fête du village, un stand propose le jeu suivant. Une roue équilibrée est partagée en $10$ secteurs identiques : $1$ secteur « super lot » qui rapporte $20$ €, $2$ secteurs « lot » qui rapportent $5$ € chacun, et $7$ secteurs perdants qui ne rapportent rien. Pour jouer, il faut payer une mise de $m$ euros ($m>0$). On note $G$ le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la valeur reçue diminuée de la mise.

a) Déterminer la loi de probabilité de $G$ (les valeurs prises par $G$ s'exprimeront en fonction de $m$).

b) Montrer que $E(G)=3-m$.

c) Rappeler ce que signifie « le jeu est équitable », puis déterminer la valeur de $m$ pour laquelle c'est le cas.

d) L'organisateur souhaite en réalité gagner en moyenne $\mathrm{0,50}$ € par partie jouée. Quelle mise doit-il fixer ?

e) Avec la mise trouvée à la question d), l'organisateur prévoit $200$ parties jouées pendant la fête. Quelle recette totale peut-il espérer ? Cette recette est-elle garantie ?

Dans tout l'exercice, une loi de probabilité est représentée en Python par deux listes de même longueur : valeurs, la liste des valeurs prises par la variable aléatoire, et probas, la liste des probabilités correspondantes.

On donne la fonction suivante :

def esperance(valeurs, probas):
    e = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        e = e + valeurs[i] * probas[i]
    return e

a) Expliquer ce que calcule cette fonction, puis déterminer à la main (sans ordinateur) la valeur renvoyée par l'appel :

esperance([1, 3, 4, 7], [0.2, 0.4, 0.3, 0.1])

b) Écrire une fonction variance(valeurs, probas) qui renvoie la variance de la variable aléatoire, en utilisant la formule de König-Huygens :

$$V(X)=E(X^2)-(E(X){)}^2$$

On pourra réutiliser la fonction esperance pour calculer $E(X)$, et calculer $E(X^2)$ à l'aide d'une boucle (ou en construisant la liste des carrés des valeurs).

c) Écrire une fonction ecart_type(valeurs, probas) qui renvoie l'écart type. On rappelle que l'instruction from math import sqrt permet d'utiliser la fonction racine carrée sqrt.

d) Déterminer à la main la valeur renvoyée par l'appel :

variance([1, 3, 4, 7], [0.2, 0.4, 0.3, 0.1])

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement : une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite (loi de probabilité chiffrée à l'appui).

Dans tout l'exercice, $X$ désigne une variable aléatoire réelle définie sur un univers fini.

1. Si toutes les valeurs prises par $X$ sont strictement positives, alors $E(X)>0$.
2. L'espérance de $X$ est toujours l'une des valeurs prises par $X$.
3. Si $E(X)=0$, alors $X$ prend la valeur $0$.
4. Pour toute variable aléatoire $X$, on a $V(2X)=2V(X)$.
5. Si $V(X)=0$, alors $X$ ne prend qu'une seule valeur, de probabilité $1$.

On lance deux dés cubiques équilibrés, dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$, et on note $S$ la variable aléatoire égale à la somme des deux résultats.

a) Justifier que l'expérience comporte $36$ issues équiprobables. On pourra construire un tableau à double entrée : les résultats du premier dé en lignes, ceux du second en colonnes, et dans chaque case la somme obtenue.

b) Déterminer la loi de probabilité de $S$ (on présentera les résultats dans un tableau, avec des probabilités écrites en trente-sixièmes).

c) Calculer $P(S⩾10)$.

d) Calculer l'espérance $E(S)$ à partir de la loi.

e) On note $X_1$ le résultat du premier dé et $X_2$ celui du second, de sorte que $S=X_1+X_2$. Calculer $E(X_1)$, puis retrouver la valeur de $E(S)$ sans utiliser la loi de $S$, à l'aide d'une propriété du cours. Quel est l'intérêt de cette méthode ?

f) Calculer $E(S^2)$, puis en déduire la variance $V(S)$ par la formule de König-Huygens et l'écart type $\sigma (S)$ arrondi au centième.

Une association tient un stand de crêpes lors d'une fête de village, un dimanche de printemps. Le bénéfice de la journée dépend fortement de la météo. D'après les prévisions et l'expérience des années précédentes :

• s'il fait beau (probabilité $\mathrm{0,6}$), le bénéfice est de $300$ € ;
• si le temps est mitigé (probabilité $\mathrm{0,3}$), le bénéfice est de $120$ € ;
• s'il pleut (probabilité $\mathrm{0,1}$), le stand est déficitaire : perte de $80$ €.

On note $B$ la variable aléatoire égale au bénéfice de la journée, en euros (une perte est comptée négativement).

a) Donner la loi de probabilité de $B$ sous forme de tableau, puis calculer l'espérance $E(B)$. Interpréter ce résultat.

b) Calculer la variance $V(B)$ par la formule de König-Huygens, puis l'écart type $\sigma (B)$ arrondi au centième. Que mesure cet écart type, concrètement, pour l'association ?

c) Une entreprise de restauration propose à l'association de lui louer l'emplacement du stand pour un montant fixe de $190$ €, quelle que soit la météo. L'association a donc deux options : tenir le stand elle-même, ou accepter la location. Comparer les deux options et donner un avis argumenté (on s'appuiera à la fois sur l'espérance et sur la dispersion).

d) Autre possibilité : l'association peut louer pour $30$ € une grande bâche qui protège le stand. En cas de pluie, la bâche permet alors de dégager un bénéfice de $40$ € au lieu de perdre $80$ € ; les bénéfices par beau temps et temps mitigé sont inchangés. Les $30$ € de location sont payés dans tous les cas, quelle que soit la météo. On note $B^{\mathrm{\prime }}$ le nouveau bénéfice (location de la bâche déduite).

Donner la loi de $B^{\mathrm{\prime }}$, calculer $E(B^{\mathrm{\prime }})$ et $\sigma (B^{\mathrm{\prime }})$ (arrondi au centième), puis comparer avec les résultats de la question a) et b) : la bâche est-elle une bonne idée ? Rédiger un avis argumenté.

On considère une variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

On cherche le réel $x$ qui « prédit le mieux » la valeur que va prendre $X$. Pour mesurer la qualité d'une prévision $x$, on utilise l'erreur quadratique moyenne : c'est le nombre

$$f(x)=E((X-x{)}^2),$$

c'est-à-dire la moyenne, pondérée par les probabilités, des carrés des écarts entre les valeurs de $X$ et la prévision $x$. La meilleure prévision est celle qui rend $f(x)$ minimale.

a) Calculer $E(X)$ et $E(X^2)$.

b) Justifier que pour tout réel $x$ :

$$f(x)=(0-x{)}^2\times \mathrm{0,5}+(2-x{)}^2\times \mathrm{0,3}+(5-x{)}^2\times \mathrm{0,2}$$

puis développer et réduire cette expression pour montrer que $f(x)=x^2-\mathrm{3,2}x+\mathrm{6,2}$.

c) Vérifier que cette expression s'écrit aussi $f(x)=x^2-2E(X)x+E(X^2)$.

d) La fonction $f$ est un trinôme du second degré. Déterminer la valeur de $x$ en laquelle $f$ atteint son minimum (au choix : forme canonique ou sommet de la parabole, ou étude du signe de la dérivée $f^{\mathrm{\prime }}$). Que reconnaît-on ?

e) Calculer la valeur minimale $f(E(X))$. Que reconnaît-on ?

f) Conclusion à rédiger. Reprendre les questions b) à e) avec une variable aléatoire quelconque, de valeurs $x_1,\dots ,x_n$ et de probabilités $p_1,\dots ,p_n$ : montrer que $f(x)=x^2-2E(X)x+E(X^2)$ pour tout réel $x$ (on utilisera $p_1+\cdots +p_n=1$), puis énoncer en une ou deux phrases ce que sont, pour n'importe quelle variable aléatoire, la meilleure prévision au sens de l'erreur quadratique moyenne et la valeur de l'erreur minimale.