Exercices — Trigonométrie

On rappelle qu'un angle de $180\mathrm{°}$ mesure $\pi$ radians.

1. Convertir en radians les mesures suivantes, données en degrés. On donnera les résultats sous forme de fractions de $\pi$ simplifiées.

   a. $30\mathrm{°}$

   b. $45\mathrm{°}$

   c. $120\mathrm{°}$

   d. $135\mathrm{°}$

   e. $210\mathrm{°}$

   f. $330\mathrm{°}$

2. Convertir en degrés les mesures suivantes, données en radians.

   g. ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$

   h. ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

   i. ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   j. ${\displaystyle \frac{7\pi }{2}}$

   k. ${\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$

   l. ${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$

Une grande roue de fête foraine a un rayon de $20$ mètres. Une nacelle est fixée sur le bord de la roue. On rappelle que, sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de $\alpha$ radians intercepte un arc de longueur $L=R\alpha$.

1. La roue tourne d'un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ radians. Quelle distance la nacelle a-t-elle parcourue ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième de mètre.
2. Lors d'une autre phase de rotation, la nacelle parcourt un arc de longueur $15\pi$ mètres. De quel angle, en radians, la roue a-t-elle tourné ? Quelle fraction de tour complet cela représente-t-il ?
3. Un petit manège voisin a un rayon de $4$ mètres. Il tourne lui aussi d'un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ radians. Quelle distance parcourt un cheval de bois placé sur son bord ? Combien de fois cette distance est-elle plus petite que celle de la question 1 ?
4. Convertir en degrés l'angle trouvé à la question 2. Ce résultat était-il prévisible sans calcul de conversion ?

Le cercle trigonométrique ci-dessous est gradué tous les ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

1. Placer sur ce cercle les points images des réels suivants (on notera $M_a$, $M_b$, … les points obtenus) :

   a. ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   b. ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

   c. $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   d. ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   e. $-{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$

   f. ${\displaystyle \frac{7\pi }{3}}$

2. Certains réels de la question 1 ont le même point image. Lesquels ? Justifier par un calcul.

3. Le réel ${\displaystyle \frac{7\pi }{3}}$ a le même point image qu'un réel de l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ qui n'est pas dans la liste. Lequel ? Justifier.

On rappelle que deux réels $x$ et $y$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de $2\pi$, c'est-à-dire $x-y=2k\pi$ avec $k$ entier relatif.

1. Pour chacune des paires suivantes, dire si les deux réels ont le même point image sur le cercle trigonométrique. Justifier par un calcul.

   a. ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et ${\displaystyle \frac{9\pi }{4}}$

   b. ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$

   c. $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et ${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$

   d. ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

2. Soit $M$ le point image du réel ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Donner deux autres réels, l'un positif et l'autre négatif, dont le point image est aussi $M$.

Parmi tous les réels associés à un même point du cercle trigonométrique, un seul appartient à l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$ : c'est la mesure principale.

Déterminer la mesure principale de chacun des réels suivants. On détaillera le raisonnement (ajout ou retrait de multiples de $2\pi$).

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont placés. Les pointillés indiquent leurs projections sur les axes, et les graduations $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ sont marquées sur les axes.

Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont les points images des réels ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$, $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, $\pi$ et $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ respectivement.

1. Par lecture graphique, donner le cosinus et le sinus de chacun de ces quatre réels.
2. Retrouver ces valeurs exactes à l'aide des valeurs remarquables du cours.

On rappelle que, pour tout réel $x$, on a ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

1. Soit $x\in [0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$ tel que $\cos x={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Calculer la valeur exacte de $\sin x$.

2. Soit $x\in ]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi [$ tel que $\sin x={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Calculer la valeur exacte de $\cos x$. On fera attention au signe.

3. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.

   a. Il existe un réel $x$ tel que $\cos x=\mathrm{0,6}$ et $\sin x=\mathrm{0,7}$.

   b. Il existe un réel $x$ tel que $\cos x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$ et $\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$.

1. Sans calculatrice, donner les valeurs exactes suivantes.

   a. $\cos 0$

   b. $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   c. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   d. $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   e. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   f. $\sin 0$

   g. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   h. $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   i. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   j. $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   k. $\cos \pi$

   l. $\sin \pi$

2. En utilisant les valeurs de la question 1, calculer la valeur exacte de :

   a. ${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   b. $2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

L'objectif de cet exercice est de démontrer les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, et non de les admettre.

Rappel. Pour un réel $x\in ]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$, $\cos x$ et $\sin x$ coïncident avec les quotients vus au collège dans un triangle rectangle dont un angle aigu mesure $x$ radians :

Partie A : le triangle rectangle isocèle et l'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

On considère un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$, avec $AB=AC=1$.

1. Calculer la longueur exacte de l'hypoténuse $BC$.
2. Justifier que les deux angles aigus du triangle mesurent chacun ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ radian.
3. En déduire que $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$, puis écrire cette valeur avec un dénominateur entier.

Partie B : le triangle équilatéral et les angles ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

On considère un triangle $ABC$ équilatéral de côté $1$, et $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.

1. Justifier que $H$ est le milieu de $[BC]$, puis donner $BH$.
2. Quelle est la mesure en radians de l'angle $\widehat{ABH}$ ? En travaillant dans le triangle $ABH$, rectangle en $H$, en déduire la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
3. Calculer la longueur exacte de la hauteur $AH$, puis en déduire la valeur exacte de $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
4. Les angles ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ sont complémentaires : ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. À l'aide des formules $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$ et $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\cos x$ (lecture sur le cercle), en déduire les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

Soit $x$ un réel quelconque. On note $M$ le point du cercle trigonométrique associé à $x$.

1. Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\cos x$ et $\sin x$. Pour chaque famille d'angles, justifier la formule en précisant la symétrie du cercle utilisée (symétrie par rapport à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées, au centre $O$, ou à la droite d'équation $y=x$).

   a. $\cos (-x)$

   b. $\sin (-x)$

   c. $\cos (\pi -x)$

   d. $\sin (\pi -x)$

   e. $\cos (\pi +x)$

   f. $\sin (\pi +x)$

   g. $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$

   h. $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$

2. Application numérique. À l'aide des valeurs remarquables de ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et des formules de la question 1, calculer les valeurs exactes de :

   a. $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   b. $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, $M$ est le point associé à un réel $x\in ]0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}[$ tel que $\cos x=\mathrm{0,8}$ et $\sin x=\mathrm{0,6}$. Les points $P$, $Q$ et $R$ sont les points associés respectivement aux réels $-x$, $\pi -x$ et $\pi +x$.

1. Vérifier par le calcul que le point de coordonnées $(\mathrm{0,8};\mathrm{0,6})$ appartient bien au cercle trigonométrique.
2. Pour chacun des points $P$, $Q$ et $R$, donner le cosinus et le sinus du réel associé, en précisant la symétrie du cercle utilisée.
3. Donner les valeurs de $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$ et $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$.

Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants. On pourra commencer par déterminer la mesure principale (dans $]-\pi ;\pi ]$) lorsque le réel n'y appartient pas, puis se ramener à une valeur remarquable à l'aide d'un angle associé.

Toutes les résolutions se font par lecture du cercle trigonométrique : les solutions de $\cos x=a$ sont les réels associés aux points d'intersection du cercle avec la droite verticale d'abscisse $a$.

1. Sur la figure ci-dessus, la droite d'équation « abscisse $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ » coupe le cercle aux points $M_1$ et $M_2$. Résoudre l'équation $\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ :

   a. sur $]-\pi ;\pi ]$ ;

   b. sur $[0;2\pi [$ ;

   c. sur $\mathbb{R}$ (on écrira les solutions sous la forme $x=\dots +2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$).

2. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

3. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ les équations $\cos x=1$ et $\cos x=0$.

Toutes les résolutions se font par lecture du cercle trigonométrique : les solutions de $\sin x=a$ sont les réels associés aux points d'intersection du cercle avec la droite horizontale d'ordonnée $a$. On pourra faire un schéma pour chaque équation.

1. Résoudre l'équation $\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ :

   a. sur $]-\pi ;\pi ]$ ;

   b. sur $\mathbb{R}$ (solutions sous la forme $x=\dots +2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$).

2. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

3. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=-1$.

4. Résoudre sur $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$. Le réel ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ n'est pas une valeur remarquable : on cherchera, sur le cercle, tous les points ayant la même ordonnée que le point associé à ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$.

Soit $x$ un réel quelconque. On pose :

1. Simplifier chacune des expressions $A$, $B$ et $C$ à l'aide des formules des angles associés (le résultat doit s'écrire uniquement avec $\cos x$, $\sin x$ ou une constante).
2. Vérification numérique. Calculer la valeur exacte de chaque expression pour $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, de deux façons : en remplaçant dans l'expression de départ, puis dans l'expression simplifiée. Vérifier la cohérence.

Il y a plus de 2 000 ans, Archimède a encadré $\pi$ en comparant le cercle à des polygones réguliers. On reprend ici son idée avec des polygones inscrits dans le cercle trigonométrique (rayon $1$).

On inscrit dans le cercle un polygone régulier à $n$ côtés ($n⩾3$). Ses $n$ sommets découpent le cercle en $n$ arcs égaux, chacun correspondant à un angle au centre de ${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$ radians.

Résultat admis (illustré par la figure : la corde d'un arc et le triangle isocèle formé avec le centre) : la longueur d'un côté du polygone est

Le périmètre du polygone, $n\times c_n$, est proche du périmètre du cercle, $2\pi$. Le demi-périmètre

est donc une valeur approchée de $\pi$, d'autant meilleure que $n$ est grand.

1. À la main. Pour $n=6$ (hexagone régulier), justifier à l'aide de la formule admise que chaque côté mesure exactement $1$, puis calculer $p(6)$. Comparer à $\pi$.
2. Avec Python. Compléter le script ci-dessous pour qu'il affiche $p(n)$ pour chaque valeur de $n$ de la liste. (L'utilisation de sin et pi du module math est autorisée ici : on s'en sert comme d'une calculatrice pour expérimenter.)

from math import sin, pi

valeurs_n = [6, 12, 24, 48, 96, 1000]
for n in valeurs_n:
    p = ...
    print(n, p)

3. Voici les affichages obtenus (arrondis) : $p(6)=\mathrm{3,0}$ ; $p(12)\approx \mathrm{3,1058}$ ; $p(24)\approx \mathrm{3,1326}$ ; $p(48)\approx \mathrm{3,1394}$ ; $p(96)\approx \mathrm{3,1410}$ ; $p(1000)\approx \mathrm{3,14159}$. Que peut-on conjecturer sur le comportement de $p(n)$ lorsque $n$ devient grand ? Pourquoi est-ce cohérent avec la construction géométrique ?
4. Les valeurs $p(n)$ sont-elles inférieures ou supérieures à $\pi$ ? Proposer une explication géométrique (aucun calcul demandé).

On s'intéresse aux réels $x\in ]-\pi ;\pi ]$ vérifiant l'équation

1. Montrer que pour tout réel $x$ :

2. Vérifier par un calcul direct que $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ est solution de l'équation.

3. Montrer que $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ est aussi solution.

4. Question ouverte guidée. Sur le cercle trigonométrique, la symétrie par rapport à la droite d'équation $y=x$ transforme le point associé à $x$ en le point associé à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x$, et échange l'abscisse et l'ordonnée du point.

   a. Que vaut $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)+\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$ en fonction de $\cos x+\sin x$ ?

   b. Expliquer pourquoi, si un réel $x$ est solution de l'équation, alors ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x$ l'est aussi. Vérifier que ce raisonnement relie bien les deux solutions trouvées aux questions 2 et 3.

5. Vrai ou faux ? « L'équation $\cos x+\sin x=2$ admet au moins une solution réelle. » Justifier soigneusement, en s'appuyant sur la relation ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.