Devoir surveillé — Trigonométrie

1. (1 point) Convertir chaque mesure : en radians si elle est donnée en degrés, en degrés si elle est donnée en radians. Les résultats en radians seront donnés en fonction de $\pi$.

   a. $150\mathrm{°}$

   b. $240\mathrm{°}$

   c. ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$

   d. ${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$

2. (2 points) Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$, images respectives des réels suivants :

   a. ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   b. $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   c. ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$

   d. ${\displaystyle \frac{13\pi }{6}}$

   

3. (1 point) Déterminer la mesure principale, c'est-à-dire l'unique mesure appartenant à l'intervalle $]-\pi ;\pi ]$, de chacun des réels suivants :

   a. ${\displaystyle \frac{29\pi }{6}}$

   b. $-{\displaystyle \frac{17\pi }{3}}$

Soit $x$ un réel de l'intervalle $]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi [$ tel que $\sin x={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

1. (1,5 point) Calculer la valeur exacte de $\cos x$. On justifiera soigneusement le signe du résultat.

2. (2 points) En déduire, sans calculatrice, la valeur exacte de chacun des nombres suivants :

   a. $\cos (-x)$

   b. $\sin (\pi -x)$

   c. $\cos (\pi +x)$

   d. $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$

3. (1,5 point) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier.

   Affirmation A. « Il existe un réel $x$ tel que $\cos x={\displaystyle \frac{5}{4}}$. »

   Affirmation B. « Pour tout réel $x$, on a ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. »

Partie A — Retrouver les valeurs de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. (démonstration du cours)

Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, on note $M$ le point du cercle trigonométrique image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, et $H$ le pied de la hauteur issue de $M$ dans le triangle $OIM$.

1. (1 point) Justifier que le triangle $OIM$ est équilatéral de côté $1$.
2. (1 point) En déduire que $H$ est le milieu du segment $[OI]$, puis la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
3. (1 point) À l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$, déterminer la valeur exacte de $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

Partie B — Valeurs exactes par angles associés.

4. (2 points) En utilisant les valeurs remarquables et les angles associés, donner la valeur exacte de chacun des nombres suivants (on citera à chaque fois la formule utilisée) :

   a. $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   b. $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   c. $\cos (-{\displaystyle \frac{4\pi }{3}})$

   d. $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{3}}$

Partie A — Équations.

1. On considère l'équation $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

   a. (0,75 point) Résoudre cette équation dans $]-\pi ;\pi ]$, à l'aide du cercle trigonométrique.

   b. (0,75 point) En déduire l'ensemble des solutions de cette équation dans $\mathbb{R}$.

2. (1 point) Résoudre dans $]-\pi ;\pi ]$ l'équation $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Partie B — La grande roue.

Une grande roue de rayon $30$ mètres tourne dans le sens direct. Son axe de rotation passe par le centre $C$ de la roue, situé à $30$ mètres du sol : le point le plus bas de la roue touche donc le sol. Une nacelle $N$ part du point le plus bas.

On note $\theta$ (en radians) l'angle au centre dont la roue a tourné depuis le départ, c'est-à-dire l'angle entre la verticale descendante issue de $C$ et le segment $[CN]$.

3. (1 point) Au début du tour, la nacelle parcourt un arc de cercle de longueur $10\pi$ mètres. De quel angle $\theta$ la roue a-t-elle tourné ?

4. (1,5 point) Montrer que la hauteur de la nacelle au-dessus du sol, en mètres, est donnée par $h(\theta )=30-30\cos \theta$, puis calculer la hauteur de la nacelle après l'arc de $10\pi$ mètres de la question précédente.

5. (1 point) Déterminer toutes les valeurs de $\theta$ pour lesquelles la nacelle se trouve à exactement $45$ mètres au-dessus du sol.