Exercices — Suites numériques

1. Chacune des suites ci-dessous est définie de façon explicite : on donne directement l'expression du terme d'indice $n$, pour tout entier naturel $n$. Calculer les quatre premiers termes de chaque suite, c'est-à-dire les termes d'indices $0$, $1$, $2$ et $3$.

   a. $u_n=2n+3$

   b. $v_n=n^2-1$

   c. $w_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$

   d. $t_n=(-1{)}^n\times n$

2. Chacune des suites ci-dessous est définie par récurrence : on donne son premier terme et une relation permettant de passer d'un terme au suivant.

   a. La suite $(a_n)$ est définie par $a_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=a_n-3$. Calculer $a_1$, $a_2$ et $a_3$.

   b. La suite $(b_n)$ est définie par $b_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}=3b_n-4$. Calculer $b_1$, $b_2$ et $b_3$.

3. On reprend la suite $(u_n)$ de la question 1, définie par $u_n=2n+3$.

   a. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$. On donnera une expression développée et réduite.

   b. Contrôler la cohérence du résultat : calculer la valeur de cette expression pour $n=0$ et la comparer à la valeur de $u_1$ obtenue à la question 1.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une réponse vraie sera justifiée par un calcul ou un raisonnement ; une réponse fausse sera corrigée (on donnera l'énoncé exact).

1. $u_4=11$.
2. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3n$.
3. Pour tout entier naturel $n$, $u_{2n}=2u_n$.
4. Le terme de rang $5$ est le cinquième terme de la suite.
5. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=3$.
6. Il existe un entier naturel $n$ tel que $u_n=100$.

Une suite $(u_n)$ est représentée ci-dessous par un nuage de points : chaque point a pour coordonnées $(n;u_n)$, pour $n$ allant de $0$ à $6$. Les pointillés facilitent la lecture des valeurs.

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Lire les valeurs de $u_0$, $u_2$ et $u_5$.
2. Résoudre graphiquement l'équation $u_n=6$ : pour quels rangs $n$ a-t-on $u_n=6$ ?
3. La suite $(u_n)$ est-elle croissante ? Décroissante ? Justifier à l'aide de termes précis du graphique.
4. Sur quels rangs la suite semble-t-elle croître ? Sur quels rangs semble-t-elle décroître ?
5. Quel est le plus grand terme représenté sur le graphique ? Préciser son rang.

Une même suite peut souvent être décrite de deux façons : par une formule explicite (qui donne $u_n$ directement en fonction de $n$) ou par une relation de récurrence (qui donne un terme à partir du précédent). Cet exercice fait passer d'un mode de génération à l'autre.

1. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la formule explicite $u_n=5n-2$.

   a. Calculer $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$.

   b. En déduire une définition de la suite $(u_n)$ par récurrence : préciser le premier terme $u_0$ et la relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$.

2. La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n$.

   a. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

   b. Conjecturer une formule explicite donnant $v_n$ en fonction de $n$.

   c. Vérifier que cette formule redonne bien la valeur de $v_3$ calculée en a.

3. La suite $(w_n)$ est définie par $w_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=w_n+2n+1$.

   a. Calculer $w_1$, $w_2$, $w_3$ et $w_4$.

   b. Que reconnaît-on dans les valeurs obtenues ? Conjecturer une formule explicite donnant $w_n$ en fonction de $n$.

   On rappelle qu'une conjecture est une formule que l'on devine à partir des premiers termes : elle ne constitue pas une démonstration.

1. La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0=7$ et de raison $r=-3$.

   a. Calculer $u_1$ et $u_2$.

   b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{20}$ sans calculer tous les termes intermédiaires.

2. La suite $(v_n)$ est arithmétique. On sait que $v_5=17$ et $v_9=29$.

   a. Déterminer la raison de la suite $(v_n)$.

   b. En déduire $v_0$, puis l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

3. On considère la suite des nombres impairs, rangés dans l'ordre croissant : $1$, $3$, $5$, $7$, $\dots$ On note $i_0=1$ son premier terme.

   Cette suite est-elle arithmétique ? Si oui, préciser sa raison et donner son terme général $i_n$ en fonction de $n$.

On construit une suite de motifs avec des carrés identiques. À chaque étape, le motif est une croix formée d'un carré central et de quatre branches ; à l'étape $n$, chaque branche compte $n$ carrés. Les trois premières étapes sont représentées ci-dessous.

On note $c_n$ le nombre de carrés du motif à l'étape $n$, pour tout entier $n⩾1$.

1. En comptant sur la figure, donner les valeurs de $c_1$, $c_2$ et $c_3$.
2. Combien de carrés ajoute-t-on pour passer d'une étape à la suivante ? En déduire une relation de récurrence entre $c_{n+1}$ et $c_n$.
3. Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ? Préciser ses caractéristiques.
4. Exprimer $c_n$ en fonction de $n$. On prendra garde au fait que le premier terme de la suite est $c_1$ (et non $c_0$).
5. Existe-t-il une étape pour laquelle le motif compte exactement $145$ carrés ? Si oui, laquelle ?
6. Existe-t-il une étape pour laquelle le motif compte exactement $2026$ carrés ? Justifier.

1. La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$.

   a. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

   b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$, puis calculer $u_{10}$.

2. La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=81$ et de raison $q={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

   a. Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.

   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

3. La suite $(w_n)$ est géométrique et tous ses termes sont strictement positifs. On sait que $w_2=12$ et $w_4=48$.

   a. Justifier que la raison $q$ vérifie $q^2=4$, puis déterminer la valeur de $q$.

   b. En déduire la valeur de $w_0$, puis exprimer $w_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

Pour chacune des suites ci-dessous, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre. Justifier soigneusement chaque réponse.

On rappelle la règle du jeu : pour prouver qu'une suite n'est pas arithmétique (ou pas géométrique), il suffit d'exhiber un contre-exemple numérique sur les premiers termes ; mais pour prouver qu'elle l'est, un calcul sur quelques termes ne suffit pas, il faut un calcul de $u_{n+1}-u_n$ (ou du quotient ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$) valable pour tout entier naturel $n$.

a. La suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=7-4n$.

b. La suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=3\times 5^n$.

c. La suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=n^2+1$.

d. La suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n={\displaystyle \frac{2}{3^n}}$.

e. La suite $(s_n)$ définie par $s_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1}=2s_n+1$.

À l'embauche, une entreprise propose à un salarié un salaire annuel initial de $24000$ € et lui laisse le choix entre deux contrats :

• Contrat A : le salaire annuel augmente de $800$ € chaque année ;
• Contrat B : le salaire annuel augmente de $3\mathrm{\%}$ chaque année.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le salaire annuel (en euros) perçu la $n$-ième année après l'embauche avec le contrat A, et $b_n$ le salaire correspondant avec le contrat B. Ainsi $a_0=b_0=24000$.

1. Calculer $a_1$ et $a_2$, puis $b_1$ et $b_2$ (arrondir à l'euro si nécessaire).

2. Donner la nature (arithmétique ou géométrique) de chacune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$, en précisant sa raison. Justifier.

3. Exprimer $a_n$ puis $b_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

4. Calculer $a_{10}$ et une valeur approchée de $b_{10}$ à l'euro près. Lequel des deux contrats donne le meilleur salaire la $10$-ième année après l'embauche ?

5. À l'aide de la calculatrice (tableau de valeurs), déterminer la première année où le salaire du contrat B dépasse strictement celui du contrat A, c'est-à-dire le plus petit entier naturel $n$ tel que $b_n>a_n$. On reproduira les quelques lignes utiles du tableau de valeurs.

6. On s'intéresse maintenant au total perçu avec le contrat A pendant les années $0$ à $n$, c'est-à-dire à la somme $S_n=a_0+a_1+\cdots +a_n$.

   a. En utilisant la formule du cours $1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$, montrer que

b. Calculer $S_9$, c'est-à-dire le total perçu avec le contrat A pendant les $10$ premières années (années $0$ à $9$).

7. Soit $T_9=b_0+b_1+\cdots +b_9$ le total perçu avec le contrat B sur les mêmes $10$ années.

   a. Justifier que $T_9=24000\times (1+\mathrm{1,03}+{\mathrm{1,03}}^2+\cdots +{\mathrm{1,03}}^9)$, puis calculer $T_9$ à l'euro près à l'aide de la formule du cours $1+q+q^2+\cdots +q^n={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$.

   b. Comparer $S_9$ et $T_9$. Quel contrat conseiller à ce salarié ? On nuancera la réponse selon la durée pendant laquelle il compte rester dans l'entreprise.

Étudier le sens de variation d'une suite, c'est choisir la bonne méthode : signe de la différence $u_{n+1}-u_n$, comparaison du quotient ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$ à $1$ (pour une suite à termes strictement positifs), ou utilisation d'une fonction. Chaque question ci-dessous impose sa méthode.

1. Par la différence. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2+4n$. Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, étudier son signe et conclure.

2. Par le quotient. La suite $(v_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n={\displaystyle \frac{5^n}{2^n}}$.

   a. Justifier que $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$.

   b. Calculer le quotient ${\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}}$, le comparer à $1$ et conclure.

3. Au choix. La suite $(w_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$. Étudier son sens de variation par la méthode de son choix : signe de $w_{n+1}-w_n$, ou remarque que $w_n=f(n)$ pour une fonction $f$ dont on connaît les variations sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.

4. Par un contre-exemple. La suite $(t_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n=(-2{)}^n$. Calculer $t_0$, $t_1$, $t_2$ et $t_3$, puis expliquer pourquoi cette suite n'est ni croissante ni décroissante.

5. Avec le cours. Donner, en citant la propriété du cours utilisée, le sens de variation de chacune des suites suivantes :

   a. la suite arithmétique de premier terme $10$ et de raison $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ;

   b. la suite géométrique de premier terme $8$ et de raison ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

La légende raconte que le mathématicien Carl Friedrich Gauss, alors enfant, aurait calculé en quelques secondes la somme des entiers de $1$ à $100$ que son maître pensait occuper la classe une bonne heure. Dans tout l'exercice, on utilisera la formule du cours : pour tout entier naturel $n⩾1$,

1. Calculer $1+2+3+\cdots +100$.

2. Calculer $S=1+2+3+\cdots +250$.

3. Calculer la somme $P$ des entiers pairs de $2$ à $100$, c'est-à-dire $P=2+4+6+\cdots +100$. On pourra commencer par factoriser chaque terme par $2$.

4. En déduire, sans nouveau calcul de somme, la valeur de la somme $I$ des entiers impairs de $1$ à $99$, c'est-à-dire $I=1+3+5+\cdots +99$. Que remarque-t-on sur la valeur obtenue ?

5. Les rangées d'un théâtre comptent $20$ sièges à la rangée $1$, puis chaque rangée compte $3$ sièges de plus que la précédente. La salle comporte $25$ rangées. Pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $25$, on note $u_n$ le nombre de sièges de la rangée $n$.

   a. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer le nombre de sièges de la rangée $25$.

   b. Montrer que la capacité totale de la salle s'écrit $20\times 25+3\times (0+1+2+\cdots +24)$, puis la calculer.

Dans tout l'exercice, on utilisera la formule du cours : pour tout réel $q\mathrm{\ne }1$ et tout entier naturel $n$,

1. Calculer $A=1+2+4+8+\cdots +2^{10}$. On donnera le résultat sous la forme d'une puissance de $2$ diminuée de $1$, puis sa valeur.

2. Calculer $S=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^8}}$. On donnera la valeur exacte sous forme de fraction. Que semble-t-il se passer pour cette somme si l'on ajoute de plus en plus de termes ? Répondre par une phrase.

3. Une légende raconte que l'inventeur du jeu d'échecs demanda comme récompense des grains de riz : $1$ grain le jour $1$, puis $2$ grains le jour $2$, puis $4$ grains le jour $3$, et ainsi de suite en doublant chaque jour, pendant $30$ jours.

   a. Exprimer le nombre de grains reçus le jour $n$ (pour $1⩽n⩽30$), puis donner le nombre de grains reçus le jour $30$ sous forme d'une puissance de $2$.

   b. Calculer le nombre total de grains reçus au bout des $30$ jours, en valeur exacte puis en écriture scientifique arrondie ($a\times {10}^p$). Commenter l'ordre de grandeur obtenu.

4. Calculer $B=3+3\times 2+3\times 2^2+\cdots +3\times 2^{12}$. On commencera par factoriser par le premier terme pour se ramener à une somme de la forme $1+q+q^2+\cdots +q^n$.

1. Suite définie explicitement. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=3n+1$. On la programme en Python :

def u(n):
    return 3*n + 1

Que renvoie l'appel u(10) ? Justifier par un calcul.

2. Suite définie par récurrence. La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=40$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\mathrm{0,9}{v}_n+10$. Cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique, mais Python permet de calculer ses termes de proche en proche.

   a. Calculer à la main $v_1$ et $v_2$.

   b. Recopier et compléter le programme suivant pour qu'il affiche la valeur de $v_{15}$ :

v = ...                 # premier terme v_0
for i in range(...):    # nombre de passages dans la boucle
    v = ...             # on remplace v par le terme suivant
print(v)

c. Donner la valeur affichée par le programme, arrondie au dixième.

3. Construire une liste de termes. On exécute maintenant le programme suivant :

v = 40
L = [v]                 # la liste contient deja v_0
for i in range(19):
    v = 0.9*v + 10
    L.append(v)         # on ajoute le nouveau terme a la liste
print(L)

a. Combien de termes la liste L contient-elle à la fin de l'exécution ? À quels termes de la suite $(v_n)$ correspondent-ils ?

b. Que vaut L[3] ? Justifier par un calcul à la main.

c. L'affichage de la liste montre des valeurs qui augmentent en se tassant : $40$ ; $46$ ; $\mathrm{51,4}$ ; $\mathrm{56,26}$ ; $\dots$ puis des valeurs de plus en plus proches les unes des autres. De quel nombre les termes de la suite semblent-ils se rapprocher ? Répondre par une phrase.

4. Cumuler une somme. On revient à la suite $(u_n)$ de la question 1, définie par $u_n=3n+1$. On veut calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots +u_{50}$.

   a. Recopier et compléter le programme suivant :

S = 0                   # somme cumulee, vide au depart
for n in range(...):    # n prend les valeurs 0, 1, ..., 50
    S = S + ...         # on ajoute le terme u_n a la somme
print(S)

b. Vérifier la valeur affichée par un calcul exact : écrire $S$ sous la forme d'une somme de $51$ termes constants et d'un multiple de $1+2+\cdots +50$, puis utiliser la formule du cours $1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$.

Un capital de $2000$ € est placé sur un livret d'épargne au taux annuel fixe de $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$ : à la fin de chaque année, les intérêts produits sont ajoutés au capital (on parle d'intérêts composés). On note $C_n$ le capital, en euros, disponible au bout de $n$ années de placement. Ainsi $C_0=2000$.

1. Calculer $C_1$ et $C_2$.

2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $C_{n+1}=\mathrm{1,025}{C}_n$. En déduire la nature de la suite $(C_n)$, puis exprimer $C_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer le sens de variation de la suite $(C_n)$, en citant la propriété du cours utilisée. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Quel capital est disponible au bout de $10$ ans ? Arrondir au centime d'euro.

5. À l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse pour la première fois $3000$ €. On justifiera la réponse en donnant les valeurs, arrondies au centime, des deux termes qui encadrent ce seuil.

6. On veut retrouver ce résultat à l'aide du programme Python suivant :

C = 2000            # capital initial en euros
n = 0               # nombre d'annees ecoulees
while ...:          # tant que le capital ne depasse pas le seuil...
    C = ...         # ... une annee de plus : le capital augmente de 2.5 %
    n = n + 1
print(n)

a. Recopier et compléter le programme pour qu'il affiche la réponse de la question 5.

b. Quelle valeur ce programme affiche-t-il ?

c. Que faut-il modifier dans le programme pour déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $4000$ € ? Donner la valeur alors affichée.

Un patient reçoit une injection de $180$ mg d'un médicament. On admet que l'organisme élimine chaque heure $25\mathrm{\%}$ de la quantité de médicament présente. On note $m_n$ la masse de médicament, en mg, encore présente dans l'organisme au bout de $n$ heures. Ainsi $m_0=180$.

1. Calculer $m_1$ et $m_2$.

2. Quelle est la nature de la suite $(m_n)$ ? Justifier, puis exprimer $m_n$ en fonction de $n$.

3. Déterminer le sens de variation de la suite $(m_n)$, en citant la propriété du cours utilisée.

4. Quelle masse de médicament reste-t-il dans l'organisme au bout de $6$ heures ? Arrondir au dixième de mg.

5. Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice (valeurs arrondies au centième) :

   $n$	$10$	$20$	$30$
   $m_n$

   Que semble-t-il se passer pour la masse $m_n$ lorsque $n$ devient très grand ?

6. On considère que le médicament cesse d'être efficace lorsque la masse présente dans l'organisme devient inférieure à $10$ mg. À l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'heures cela se produit. On justifiera la réponse en donnant les valeurs des deux termes qui encadrent ce seuil.

7. La masse de médicament présente dans l'organisme devient-elle exactement nulle au bout d'un certain nombre d'heures ? Expliquer en une phrase.

En 1202, le mathématicien italien Leonardo Fibonacci décrit l'évolution d'une population de couples de lapins : chaque couple adulte engendre un nouveau couple chaque mois, et un couple nouveau-né devient adulte au bout d'un mois. Le nombre de couples présents au mois $n$ est donné par la suite $(F_n)$ définie par :

1. Calculer les termes $F_3$ à $F_{10}$.

2. La suite $(F_n)$ est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifier à l'aide des premiers termes.

3. Cette définition par récurrence diffère de celles rencontrées dans le cours : combien de termes faut-il connaître au départ pour pouvoir calculer tous les suivants ? Expliquer pourquoi.

4. On veut construire la liste des $20$ premiers termes de la suite à l'aide du programme Python suivant :

F = [1, 1]                  # les deux premiers termes
for k in range(18):
    F.append(...)           # ajoute le terme suivant a la liste
print(F)

a. Recopier et compléter la ligne 3, en exprimant le terme ajouté à l'aide d'éléments de la liste F.

b. Après exécution, l'instruction print(F[19]) affiche 6765. En se souvenant que les indices d'une liste Python commencent à $0$, de quel terme de la suite $(F_n)$ s'agit-il ?

5. À l'aide de la liste obtenue à la question 4, calculer les quotients ${\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}}$ pour $n=5$, $n=10$ et $n=15$ (arrondir au millième). Que semble-t-il se passer pour ces quotients lorsque $n$ devient grand ?

1. Pour chacune des quatre suites suivantes, calculer les termes demandés (valeurs exactes ou arrondies au dix-millième), puis conjecturer le comportement de la suite lorsque $n$ devient très grand : les termes semblent-ils se rapprocher d'un nombre ? devenir aussi grands que l'on veut ($+\mathrm{\infty }$) ? aussi négatifs que l'on veut ($-\mathrm{\infty }$) ? ou n'avoir aucun de ces comportements ?

2. Observer les valeurs calculées pour la suite $(v_n)$ : que se passe-t-il pour les premiers termes ? Quelle prudence cela impose-t-il lorsqu'on conjecture le comportement d'une suite à partir d'un tableau de valeurs ?

3. Question de synthèse : une suite croissante devient-elle forcément aussi grande que l'on veut ? On considère la suite $(c_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $c_n=3-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.

   a. Calculer $c_0$, $c_1$, $c_{10}$ et $c_{1000}$ (arrondir au millième si besoin).

   b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}-c_n={\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}}$. En déduire le sens de variation de $(c_n)$.

   c. Conjecturer le comportement de $(c_n)$ lorsque $n$ devient très grand, puis répondre à la question posée.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être démontrée dans le cas général ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite.

On rappelle que la somme des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ est la suite dont le terme d'indice $n$ est $u_n+v_n$.

1. « Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r>0$, alors $(u_n)$ est croissante. »

2. « Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q>1$, alors $(u_n)$ est croissante. »

3. « Si la différence $u_{n+1}-u_n$ est constante, alors $(u_n)$ est une suite arithmétique. »

4. « La somme de deux suites arithmétiques est une suite arithmétique. »

5. « La somme de deux suites géométriques est une suite géométrique. »

6. « Si tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement positifs et si ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}<1$ pour tout entier naturel $n$, alors $(u_n)$ est décroissante. »

Selon la légende, le sage Sissa inventa le jeu d'échecs pour distraire son roi. Ravi, le roi lui proposa de choisir sa récompense. Sissa demanda simplement du blé : $1$ grain sur la première case de l'échiquier, $2$ grains sur la deuxième, $4$ grains sur la troisième, et ainsi de suite en doublant le nombre de grains à chaque case, jusqu'à la ${64}^{\text{e}}$ case. Le roi, amusé par tant de modestie, accepta aussitôt…

On note $g_k$ le nombre de grains posés sur la case numéro $k$, pour $k$ allant de $1$ à $64$. Ainsi $g_1=1$.

1. Quelle est la nature de la suite $(g_k)$ ? Exprimer $g_k$ en fonction de $k$ (attention : la numérotation des cases commence à $k=1$). Vérifier la formule obtenue avec $g_1$, $g_2$ et $g_3$.

2. Combien de grains faut-il poser sur la ${64}^{\text{e}}$ case ? Donner le résultat sous forme d'une puissance de $2$, puis un ordre de grandeur en écriture scientifique à l'aide de la calculatrice.

3. Montrer que le nombre total de grains à poser sur l'échiquier est égal à $2^{64}-1$.

4. Un grain de blé pèse environ $\mathrm{0,05}$ g.

   a. Donner un ordre de grandeur de la masse totale de blé demandée par Sissa, en tonnes ($1$ tonne $={10}^6$ g).

   b. La production mondiale annuelle de blé est d'environ $8\times {10}^8$ tonnes. À combien d'années de production mondiale la demande de Sissa correspond-elle, en ordre de grandeur ?

5. Le roi, effrayé par le résultat, propose une autre récompense : $1000$ grains sur la première case, puis $1000$ grains de plus à chaque nouvelle case ($2000$ grains sur la deuxième, $3000$ sur la troisième, etc.).

   a. Quelle est la nature de la suite des nombres de grains de cette nouvelle proposition ? Calculer le nombre total de grains posés sur les $64$ cases.

   b. Quelle masse de blé cela représente-t-il ? Comparer les deux propositions en une phrase : que retenir de la différence entre une croissance de type arithmétique et une croissance de type géométrique ?

6. On veut calculer la valeur exacte du total demandé par Sissa à l'aide du programme Python suivant :

total = 0               # nombre de grains deja comptes
grains = 1              # grains poses sur la case courante
for k in range(64):
    total = ...         # on ajoute les grains de la case courante
    grains = ...        # la case suivante en recoit deux fois plus
print(total)

a. Recopier et compléter le programme.

b. Donner la valeur exacte affichée par le programme.