Devoir surveillé — Suites numériques

Les quatre questions sont indépendantes.

1. La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=n^2-3n$. Calculer :

   a. $u_0$

   b. $u_1$

   c. $u_4$

2. La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=8$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}={\displaystyle \frac{v_n}{2}}+3$. Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.

3. Pour chacune des suites suivantes, définies pour tout entier naturel $n$, préciser si elle est arithmétique ou géométrique, en justifiant en une ligne :

   a. $a_n=5-2n$

   b. $b_n={\displaystyle \frac{7}{2^n}}$

4. La suite $(w_n)$ est arithmétique de premier terme $w_0=-4$ et de raison $r=3$. Exprimer $w_n$ en fonction de $n$, puis calculer $w_{30}$.

Un amphithéâtre compte $18$ rangées de sièges. La rangée $1$, la plus proche de la scène, compte $14$ sièges, et chaque rangée compte $4$ sièges de plus que la précédente. Pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $18$, on note $s_n$ le nombre de sièges de la rangée $n$ ; ainsi $s_1=14$.

1. Calculer $s_2$ et $s_3$.
2. Quelle est la nature de la suite $(s_n)$ ? Justifier, et préciser sa raison.
3. Exprimer $s_n$ en fonction de $n$, puis vérifier la formule obtenue en calculant $s_1$.
4. Combien de sièges compte la dernière rangée ?
5. Justifier que le nombre total de sièges de l'amphithéâtre vaut $14\times 18+4\times (1+2+\cdots +17)$, puis en déduire la capacité totale de l'amphithéâtre.
6. Pour un spectacle, la billetterie vend $850$ places. Restera-t-il des sièges libres ? Si oui, combien ?

Une suite $(v_n)$ est représentée ci-dessous par un nuage de points pour $n⩽4$ : chaque point a pour coordonnées $(n;v_n)$, et les pointillés facilitent la lecture des valeurs. On admet que le motif observé se poursuit pour les rangs suivants.

1. Lire les valeurs de $v_0$, $v_1$ et $v_2$ sur le graphique.
2. Quelle semble être la nature de la suite $(v_n)$ ? Appuyer cette conjecture en calculant les rapports ${\displaystyle \frac{v_1}{v_0}}$, ${\displaystyle \frac{v_2}{v_1}}$ et ${\displaystyle \frac{v_3}{v_2}}$ (on lira $v_3$ sur le graphique).
3. On admet désormais que $(v_n)$ est géométrique de raison $\mathrm{0,5}$ et de premier terme $v_0=24$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer la valeur exacte de $v_7$.
4. Déterminer le sens de variation de la suite $(v_n)$, en citant la propriété du cours utilisée.
5. Calculer la valeur exacte de la somme $S=v_0+v_1+\cdots +v_7$.
6. Quand $n$ devient très grand, vers quelle valeur les termes $v_n$ semblent-ils se rapprocher ?

Une chaîne de vidéos en ligne compte $2500$ abonnés le 1er janvier 2026. On fait l'hypothèse que le nombre d'abonnés augmente de $6\mathrm{\%}$ par mois. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le nombre d'abonnés $n$ mois après le 1er janvier 2026 ; ainsi $A_0=2500$.

1. Calculer $A_1$ et $A_2$.
2. Justifier que la suite $(A_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
3. Exprimer $A_n$ en fonction de $n$, puis estimer le nombre d'abonnés au bout d'un an (arrondir à l'unité).
4. Déterminer le sens de variation de la suite $(A_n)$. Justifier.
5. On considère le script Python incomplet ci-dessous, où les deux ... sont à compléter.

A = 2500
n = 0
while ... :
    A = ...
    n = n + 1
print(n)

a. Recopier et compléter le script pour qu'il affiche le premier mois où le nombre d'abonnés dépasse $10000$.

b. Quelle valeur ce script affiche-t-il ? On pourra s'aider du tableau de valeurs de la calculatrice.

c. Interpréter concrètement cette valeur, en précisant le mois et l'année.

6. La croissance de $6\mathrm{\%}$ par mois peut-elle se poursuivre indéfiniment ? Commenter en une phrase.