Exercices — Second degré

Dans chaque cas, dire si la fonction proposée est une fonction polynôme du second degré. Si oui, donner les coefficients $a$, $b$ et $c$ de sa forme développée réduite $a{x}^2+bx+c$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par ses trois formes :

1. Vérifier, en développant, que les trois expressions sont bien égales.

2. En choisissant à chaque fois la forme la plus adaptée (et en la citant), déterminer sans calculatrice :

   a. $f(0)$ ;

   b. les racines de $f$ ;

   c. le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint ;

   d. $f(1)$ ;

   e. les antécédents de $-6$ par $f$.

À l'aide de l'identité $x^2+2ax=(x+a{)}^2-a^2$, écrire chacune des expressions suivantes sous forme canonique.

La figure ci-dessous représente quatre paraboles ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$, ${\mathcal{C}}_3$ et ${\mathcal{C}}_4$, chacune dans son propre repère.

Ces paraboles représentent, dans le désordre, les quatre fonctions suivantes :

1. Pour chaque courbe, donner le signe du coefficient $a$ du trinôme associé, en justifiant par le sens des branches de la parabole.
2. Pour chaque courbe, lire les racines éventuelles et les coordonnées du sommet.
3. Associer chaque courbe à son expression, en justifiant à l'aide des racines, du sommet ou de la forme de l'expression.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. On calculera à chaque fois le discriminant.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes sans calculer de discriminant : factorisation directe, équation produit nul, équations du type $x^2=a$…

Factoriser chacun des trinômes suivants (lorsque c'est possible) en choisissant la stratégie la plus rapide : racine évidente, coefficient de $x$ nul, identité remarquable, somme et produit des racines, ou formules générales. Indiquer à chaque fois la stratégie utilisée.

1. Rappel de cours : lorsqu'un trinôme $a{x}^2+bx+c$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement confondues), exprimer leur somme $S=x_1+x_2$ et leur produit $P=x_1{x}_2$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.

2. Pour chacun des trinômes suivants, vérifier que le nombre indiqué est bien une racine, puis déterminer l'autre racine sans calculer de discriminant.

   a. $f(x)=x^2-7x+10$, dont $2$ est une racine ;

   b. $g(x)=3x^2+5x-2$, dont $-2$ est une racine ;

   c. $h(x)=-2x^2+9x-4$, dont $4$ est une racine.

3. Calcul mental : déterminer les racines (entières) de $x^2-9x+20$ à partir de leur somme et de leur produit.

1. Écrire chacune des expressions suivantes sous forme canonique. On factorisera d'abord le coefficient de $x^2$ sur les deux premiers termes.

   a. $2x^2-8x+3$

   b. $-x^2+4x-1$

   c. $3x^2+6x+5$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x$

2. En déduire, pour chacune d'elles, les coordonnées du sommet de la parabole associée.

On considère les trois fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, données chacune sous une forme différente :

Pour chacune de ces fonctions :

1. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole qui la représente, ainsi que l'équation de son axe de symétrie. Pour $f$, on pourra compléter le carré ; pour $h$, on utilisera le fait que l'axe de symétrie passe au milieu des racines.

2. Dresser son tableau de variations.

3. Préciser son extremum : s'agit-il d'un minimum ou d'un maximum ? Quelle est sa valeur, et en quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

1. Étudier le signe de chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, à l'aide d'un tableau de signes (une ligne par facteur, une ligne pour le produit).

   a. $f(x)=(x-2)(x+3)$

   b. $g(x)=-2(x-1)(x-5)$

   c. $h(x)=(3-x)(2x+4)$

2. En déduire les solutions des inéquations suivantes :

   a. $f(x)⩽0$

   b. $g(x)>0$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. Méthode : déterminer les racines du trinôme, puis conclure grâce à son signe (du signe du coefficient dominant à l'extérieur des racines) ; on pourra s'appuyer sur un tableau de signes si nécessaire.

1. Déterminer toutes les fonctions polynômes du second degré s'annulant en $-1$ et en $3$.

2. Parmi elles, déterminer celle qui vérifie $f(0)=6$.

3. Déterminer celle dont le minimum vaut $-8$.

4. Existe-t-il une telle fonction dont le maximum vaut $4$ ? Si oui, la déterminer.

Partie A. On considère l'équation $x^2-4x+m=0$, où $m$ désigne un réel.

Discuter, selon les valeurs de $m$, le nombre de solutions de cette équation. Dans le cas où la solution est unique, la préciser.

Partie B. Pour tout réel $m$, on considère l'équation $(E_m)$ : $m{x}^2+(m+1)x+1=0$.

1. Résoudre $(E_0)$. Attention : de quel degré est cette équation ?

2. Pour $m\mathrm{\ne }0$, calculer le discriminant de $(E_m)$ et montrer que $\mathrm{\Delta }=(m-1{)}^2$.

3. En déduire que $-1$ est solution de $(E_m)$ pour tout $m\mathrm{\ne }0$, et exprimer l'autre solution en fonction de $m$.

4. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ l'équation $(E_m)$ admet-elle une solution unique ?

Sur la figure ci-dessous, la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=x^2$ est tracée en pointillés. La courbe $\mathcal{C}$, en trait plein, est l'image de $\mathcal{P}$ par une translation ; son sommet est le point $S(3;-2)$.

$\mathcal{C}$ est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré $f$, de coefficient dominant $a=1$.

1. Par quelle translation passe-t-on de $\mathcal{P}$ à $\mathcal{C}$ ?

2. En déduire la forme canonique de $f(x)$.

3. Développer pour obtenir la forme développée réduite de $f(x)$.

4. La courbe $\mathcal{C}$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quels points ? On donnera les valeurs exactes.

5. Dresser le tableau de variations de $f$.

Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par :

Les trois égalités sont admises : on ne demande aucune vérification. Répondre à chacune des questions suivantes sans calculatrice, en choisissant à chaque fois la forme la plus efficace, et en précisant laquelle et pourquoi.

1. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$.

2. Déterminer l'image de $0$ par $f$.

3. Déterminer le minimum de $f$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

4. Déterminer les antécédents de $-8$ par $f$.

5. Déterminer les antécédents de $10$ par $f$.

6. Résoudre l'inéquation $f(x)<0$.

7. En déduire le signe de $f(2026)$, sans effectuer aucun calcul de valeur.

$f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$, dont la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est donnée ci-dessous. On ne connaît pas l'expression de $f$.

1. Lire graphiquement les racines de $f$.
2. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>0$.
4. Justifier que $f(x)=a(x+2)(x-4)$ pour un certain réel $a\mathrm{\ne }0$, puis déterminer la valeur de $a$ sachant que la courbe passe par le point $(0;-4)$.
5. En déduire par le calcul les coordonnées exactes du sommet de la parabole (on rappelle que l'abscisse du sommet est le milieu des racines).

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier soigneusement : une démonstration si elle est vraie, un contre-exemple si elle est fausse.

A. « Si $\mathrm{\Delta }<0$, alors le trinôme $a{x}^2+bx+c$ est strictement positif pour tout réel $x$. »

B. « Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors le trinôme $a{x}^2+bx+c$ admet deux racines distinctes. »

C. « La somme des racines de $3x^2-5x-7$ vaut ${\displaystyle \frac{5}{3}}$. »

D. « Pour toute valeur du réel $b$, l'équation $x^2+bx-1=0$ admet deux solutions distinctes. »

E. « Deux fonctions polynômes du second degré qui ont les mêmes racines sont égales. »

F. « Si deux réels ont pour somme $7$ et pour produit $12$, alors ce sont les racines de $x^2-7x+12$. »

On dispose de $60$ m de grillage pour clôturer entièrement un potager rectangulaire (les quatre côtés sont grillagés). On note $x$ la largeur du potager, en mètres.

1. Justifier que la longueur du potager vaut $30-x$.
2. Quelles valeurs peut prendre $x$ ? Justifier concrètement l'intervalle d'étude choisi.
3. Montrer que l'aire du potager, en ${\text{m}}^2$, vaut $A(x)=x(30-x)=-x^2+30x$.
4. Écrire $A(x)$ sous forme canonique.
5. Dresser le tableau de variations de $A$ sur l'intervalle d'étude, puis conclure : quelles sont les dimensions du potager d'aire maximale, et que vaut cette aire ?
6. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire du potager est supérieure ou égale à $200$ ${\text{m}}^2$ (on posera soigneusement l'inéquation).

Un bassin rectangulaire de $8$ m sur $6$ m est entouré d'une allée dallée de largeur constante $x$ (en mètres) sur ses quatre côtés. L'aire totale de l'allée vaut $32$ ${\text{m}}^2$.

1. Exprimer en fonction de $x$ les dimensions du grand rectangle formé par le bassin et l'allée.
2. Montrer que le problème se ramène à l'équation $4x^2+28x-32=0$, puis à $x^2+7x-8=0$.
3. Résoudre cette équation (on pourra chercher une racine évidente), puis conclure sur la largeur de l'allée en expliquant pourquoi l'une des deux solutions est écartée.
4. Contrôle : vérifier le résultat obtenu en recalculant l'aire de l'allée.

Dans un repère, $\mathcal{P}$ est la parabole d'équation $y=x^2-2x-1$ et $d$ la droite d'équation $y=x+3$.

1. Montrer que les abscisses des points communs à $\mathcal{P}$ et $d$ sont les solutions de l'équation $x^2-3x-4=0$.
2. Résoudre cette équation.
3. Donner les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $d$.
4. Étudier, selon les valeurs de $x$, la position relative de $\mathcal{P}$ et $d$ (on étudiera le signe de la différence et on présentera le résultat dans un tableau).
5. La droite $d^{\mathrm{\prime }}$ d'équation $y=x-4$ a-t-elle des points communs avec $\mathcal{P}$ ? Que peut-on en déduire sur la position de $\mathcal{P}$ par rapport à $d^{\mathrm{\prime }}$ ?

Une fusée de feu d'artifice est tirée depuis le sol. Sa hauteur, en mètres, après $t$ secondes de vol est modélisée par :

1. Calculer $h(1)$ et interpréter le résultat.
2. Montrer que la fusée retombe au sol à l'instant $t=4$ (on pourra factoriser $h(t)$).
3. Écrire $h(t)$ sous forme canonique, puis en déduire la hauteur maximale atteinte par la fusée et l'instant correspondant.
4. L'étoile de la fusée explose lorsque celle-ci se trouve à au moins $15$ m d'altitude. Déterminer par le calcul pendant combien de temps la fusée reste à $15$ m d'altitude ou plus (on résoudra une inéquation), puis contrôler le résultat sur le graphique.

Chez le mathématicien Al-Khwârizmî (IXe siècle), de nombreux problèmes reviennent à chercher deux nombres dont on connaît la somme et le produit.

Partie A — Le résultat général.

1. On cherche deux réels dont la somme vaut $10$ et le produit vaut $21$. En notant $u$ l'un de ces deux réels, montrer que $u$ vérifie l'équation $u^2-10u+21=0$ ; résoudre cette équation et conclure.
2. Démontrer le résultat général : deux réels $u$ et $v$ ont pour somme $s$ et pour produit $p$ si et seulement si $u$ et $v$ sont les solutions de l'équation $x^2-sx+p=0$ (on pourra développer $(x-u)(x-v)$). À quelle condition sur $s$ et $p$ de tels nombres existent-ils ?

Partie B — Application géométrique.

Un rectangle a pour périmètre $20$ et pour aire $\mathcal{A}$.

1. Montrer que ses dimensions (longueur et largeur) sont solutions de l'équation $x^2-10x+\mathcal{A}=0$.
2. Déterminer les dimensions du rectangle si $\mathcal{A}=21$.
3. Existe-t-il un tel rectangle d'aire $30$ ?
4. En utilisant la condition d'existence établie en partie A, démontrer que l'aire maximale possible pour ce rectangle vaut $25$, et préciser le rectangle correspondant.

On considère la fonction polynôme de degré 3 définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Vérifier que $1$ est une racine de $P$.

2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ :

   $$P(x)=(x-1)(a{x}^2+bx+c)\mathrm{.}$$

   (On développera le membre de droite et on identifiera les coefficients.)

3. Résoudre l'équation $P(x)=0$.

4. Dresser le tableau de signes de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$ (on étudiera le signe de chacun des trois facteurs), puis en déduire les solutions de l'inéquation $P(x)⩾0$.