Devoir surveillé — Second degré

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes, en choisissant à chaque fois la méthode la plus adaptée (discriminant ou factorisation directe) :

   a. $2x^2+5x-3=0$

   b. $x^2-6x=0$

   c. $9x^2-6x+1=0$

   d. $x^2+3x+7=0$

2. Écrire le trinôme $x^2+10x+7$ sous forme canonique.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x-3)(x+1)>0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $f(0)$ et $f(3)$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$.
3. En déduire la forme factorisée de $f(x)$.
4. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=-2(x-1{)}^2+8$. (On pourra développer le membre de droite.)
5. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentative de $f$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
6. Dresser le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis résoudre l'inéquation $f(x)⩾0$.
7. Sans calculatrice, donner la valeur de $x_1+x_2$ et celle de $x_1{x}_2$, où $x_1$ et $x_2$ désignent les deux racines de $f$, de deux façons différentes : à partir des racines trouvées à la question 2, puis directement à partir des coefficients de $f$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie se démontre, une affirmation fausse se réfute par un calcul ou un contre-exemple.

Affirmation A. « L'équation $x^2+bx-5=0$ admet deux solutions distinctes quelle que soit la valeur du réel $b$. »

Affirmation B. « Si un trinôme du second degré n'a pas de racine réelle, alors il garde un signe constant sur $\mathbb{R}$. »

Affirmation C. « Le trinôme $x^2-8x+12$ admet deux racines dont le produit vaut $-8$. »

Affirmation D. « La parabole d'équation $y=3(x-2{)}^2+1$ est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses. »

Un petit théâtre remplit ses $500$ places lorsque le billet coûte $10$ euros. Une étude montre que chaque baisse de $\mathrm{0,50}$ euro du prix du billet attire $50$ spectateurs supplémentaires.

On note $x$ le nombre de baisses de $\mathrm{0,50}$ euro appliquées ($x$ est un nombre entier, mais on étudiera la fonction sur un intervalle réel). Le billet coûte alors $(10-\mathrm{0,5}x)$ euros et $(500+50x)$ spectateurs assistent à la représentation. On note $R(x)$ la recette du théâtre, en euros.

1. Vérifier que la recette pour $x=2$ vaut $5400$ euros.
2. Montrer que $R(x)=-25x^2+250x+5000$.
3. Sur quel intervalle est-il pertinent d'étudier la fonction $R$ ? Justifier. (Le billet doit rester payant.)
4. Vérifier que, pour tout réel $x$, $R(x)=-25(x-5{)}^2+5625$, puis en déduire la recette maximale ainsi que le prix du billet et le nombre de spectateurs correspondants.
5. Le théâtre vise une recette d'au moins $5400$ euros : déterminer toutes les valeurs de $x$ qui conviennent.