Exercices — Calcul vectoriel et produit scalaire

Dans chaque cas, calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$ à l'aide de la formule $\vec{u}\cdot \vec{v}=\parallel \vec{u}\parallel \times \parallel \vec{v}\parallel \times \cos (\vec{u};\vec{v})$. On donnera la valeur exacte.

$ABCD$ est un carré de côté $4$ et $I$ est le milieu du segment $[BC]$.

Calculer les produits scalaires suivants en utilisant une projection orthogonale.

Le plan est muni d'une base orthonormée. Dans chaque cas, calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Dans chaque cas, dire si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Justifier.

   a. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\end{array}\right)$

   b. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)$

   c. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)$

   d. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 7\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

   e. $\vec{u}\left(\begin{array}{c}6\\ -4\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$

2. On donne les points $A(1;2)$, $B(4;3)$, $C(2;-1)$ et $D(3;-4)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-1;2)$, $B(3;-1)$ et $C(6;3)$.

1. Calculer les distances $AB$, $BC$ et $AC$. On donnera les valeurs exactes.
2. Le triangle $ABC$ est-il isocèle ?
3. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier de deux façons : avec la réciproque du théorème de Pythagore, puis avec le critère d'orthogonalité.

Dans chacune des situations suivantes, calculer le produit scalaire demandé en choisissant la méthode la plus adaptée aux données (formule avec le cosinus, coordonnées, normes seules, projection orthogonale).

a. $\parallel \vec{u}\parallel =4$, $\parallel \vec{v}\parallel =6$ et $(\vec{u};\vec{v})={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

b. Dans une base orthonormée, $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

c. $\parallel \vec{u}\parallel =3$, $\parallel \vec{v}\parallel =5$ et $\parallel \vec{u}+\vec{v}\parallel =7$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

d. $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $6$ et $I$ est le milieu de $[BC]$. Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs tels que $\parallel \vec{u}\parallel =2$, $\parallel \vec{v}\parallel =3$ et $\vec{u}\cdot \vec{v}=-4$.

Calculer les quantités suivantes.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs tels que $\parallel \vec{u}\parallel =4$, $\parallel \vec{v}\parallel =5$ et $\parallel \vec{u}+\vec{v}\parallel =6$.

1. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.
2. En déduire $\cos (\vec{u};\vec{v})$, puis une valeur approchée au degré près de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$.
3. Calculer $\parallel \vec{u}-\vec{v}\parallel$. On donnera la valeur exacte.

Sur la figure ci-dessous, quatre vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et $\vec{t}$ sont dessinés sur un quadrillage dont chaque carreau mesure une unité de côté. Le repère associé est orthonormé.

1. Lire sur la figure les coordonnées de chacun des quatre vecteurs.
2. Calculer les produits scalaires $\vec{u}\cdot \vec{v}$, $\vec{u}\cdot \vec{w}$, $\vec{v}\cdot \vec{t}$ et $\vec{w}\cdot \vec{t}$.
3. Quels couples de vecteurs sont orthogonaux ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. On considère les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)$.

a. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$, $\parallel \vec{u}\parallel$ et $\parallel \vec{v}\parallel$.

b. En déduire la valeur exacte de $\cos (\vec{u};\vec{v})$, puis une mesure de l'angle $(\vec{u};\vec{v})$.

2. On considère les points $A(-1;2)$, $B(3;1)$ et $C(1;5)$.

a. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

b. En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ au degré près.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Dans chaque question, $m$ désigne un nombre réel.

1. Déterminer $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}m\\ 2\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}3\\ -4\end{array}\right)$ soient orthogonaux.

2. Déterminer les valeurs de $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}m\\ m-1\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}m\\ 4\end{array}\right)$ soient orthogonaux.

3. Question ouverte : existe-t-il une valeur de $m$ telle que les vecteurs $\vec{u}\left(\begin{array}{c}m\\ 1\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}m\\ m\end{array}\right)$ soient orthogonaux, avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tous deux non nuls ?

1. Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5$, $AC=8$ et $\widehat{A}={60}^{\circ }$. Calculer la longueur $BC$.

2. Dans le même triangle, calculer $\cos \widehat{B}$, puis donner une valeur approchée de l'angle $\widehat{B}$ au degré près.

3. Soit $DEF$ un triangle tel que $DE=4$, $DF=6$ et $EF=9$. Calculer $\cos \widehat{D}$ et en déduire si l'angle $\widehat{D}$ est aigu ou obtus.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-2;1)$, $B(4;3)$ et $C(0;5)$.

1. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

2. Calculer l'aire du triangle $ABC$.

3. Calculer $\cos \widehat{A}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{A}$.

4. Vérifier que $\widehat{A}+\widehat{B}={90}^{\circ }$. Ce résultat était-il prévisible ?

Soit $ABCD$ un carré de côté $a$. On note $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$. On ne se place dans aucun repère : tout se traite avec le calcul vectoriel.

1. Justifier les décompositions $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BJ}$.

2. Développer $\overrightarrow{DI}\cdot \overrightarrow{AJ}$ à l'aide de la bilinéarité, puis calculer chacun des quatre produits scalaires obtenus en fonction de $a$.

3. Conclure : que peut-on dire des droites $(DI)$ et $(AJ)$ ?

Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$. $M$ désigne un point quelconque du plan.

1. En insérant le point $I$ par la relation de Chasles et en remarquant que $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$, démontrer que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-I{A}^2$.

2. Application : on suppose $AB=6$ et $MI=5$. Calculer $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$.

3. En développant $M{A}^2=\parallel \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}{\parallel }^2$ et $M{B}^2=\parallel \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}{\parallel }^2$, démontrer la formule de la médiane : $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+{\displaystyle \frac{A{B}^2}{2}}$.

4. Application : on suppose $AB=4$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M{A}^2+M{B}^2=40$.

1. Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB=10$, et $I$ le milieu de $[AB]$. Décrire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$.

2. Le plan est muni d'un repère orthonormé. On donne $A(1;-2)$ et $B(5;4)$. Le point $C(5;-2)$ appartient-il à l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ ? Et le point $D(6;0)$ ?

3. On revient à la situation de la question 1 ($AB=10$). Caractériser l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-9$.

4. Toujours avec $AB=10$ : que dire de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-25$ ? Et de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}<-25$ ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera démontrée ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple.

a. Si $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, alors $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$.

b. Si $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}$ avec $\vec{u}\mathrm{\ne }\vec{0}$, alors $\vec{v}=\vec{w}$.

c. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\mathrm{\mid }\vec{u}\cdot \vec{v}\mathrm{\mid }⩽\parallel \vec{u}\parallel \times \parallel \vec{v}\parallel$.

d. Si $\parallel \vec{u}+\vec{v}{\parallel }^2=\parallel \vec{u}{\parallel }^2+\parallel \vec{v}{\parallel }^2$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

e. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $(\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\parallel \vec{u}{\parallel }^2-\parallel \vec{v}{\parallel }^2$.

f. Si $\vec{u}\cdot \vec{v}>0$, alors l'angle $(\vec{u};\vec{v})$ est aigu.

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=4$ et $\widehat{A}={60}^{\circ }$. On note $I$ le milieu de $[BC]$.

1. Calculer la valeur exacte de $BC$.

2. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

3. À l'aide de la formule de la médiane $A{B}^2+A{C}^2=2A{I}^2+{\displaystyle \frac{B{C}^2}{2}}$, calculer la valeur exacte de $AI$.

4. Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=0$. Le point $A$ appartient-il à $E$ ?

5. L'angle $\widehat{A}$ est-il le plus grand angle du triangle $ABC$ ? Justifier sans calculer les autres angles.