Devoir surveillé — Calcul vectoriel et produit scalaire

Les quatre questions sont indépendantes. Dans chaque cas, on choisira la méthode de calcul la plus adaptée aux données.

1. (1 pt) Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\parallel \vec{u}\parallel =6$, $\parallel \vec{v}\parallel =2$ et $(\vec{u};\vec{v})={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

2. (1 pt) Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}\left(\begin{array}{c}5\\ -3\end{array}\right)$ et $\vec{v}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

3. (1,5 pt) Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\parallel \vec{u}\parallel =3$, $\parallel \vec{v}\parallel =4$ et $\parallel \vec{u}-\vec{v}\parallel =5$. Calculer $\vec{u}\cdot \vec{v}$. Que peut-on en déduire pour les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

4. (1,5 pt) Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB=8$ et $BC=5$. En utilisant une projection orthogonale, calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ puis $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}$.

Deux bateaux quittent un port $O$ au même instant. Le premier suit un cap rectiligne et se trouve, au bout d'une heure, en un point $A$ tel que $OA=12$ km. Le second suit un autre cap rectiligne et se trouve, au même instant, en un point $B$ tel que $OB=8$ km. L'angle entre les deux caps vaut $\widehat{AOB}={60}^{\circ }$.

1. (2 pts) Calculer la distance $AB$ séparant les deux bateaux au bout d'une heure. On donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers, puis une valeur approchée au dixième de kilomètre près.

2. (2 pts) Calculer la valeur exacte de $\cos \widehat{OAB}$, puis en déduire une mesure de l'angle $\widehat{OAB}$ au degré près.

3. (1 pt) Expliquer pourquoi la formule d'Al-Kashi peut être vue comme une généralisation du théorème de Pythagore. On précisera ce que devient la formule lorsque l'angle considéré est droit.

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $4$ et soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. Aucun repère n'est utilisé dans cet exercice : tous les calculs se font avec les propriétés du produit scalaire.

1. (1 pt) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.

2. (2 pts) Justifier que $\overrightarrow{AI}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ et que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. En déduire la valeur de $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BC}$, puis ce que l'on peut affirmer sur les droites $(AI)$ et $(BC)$.

3. (1 pt) Calculer $\parallel \overrightarrow{AI}{\parallel }^2$, puis en déduire la valeur exacte de la longueur $AI$.

4. (1 pt) En reprenant le calcul de la question 3 avec un triangle équilatéral de côté $a$ quelconque, démontrer que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut ${\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}})$. On considère les points $A(-1;2)$ et $B(5;2)$, et on note $I$ le milieu du segment $[AB]$.

1. (1 pt) Vérifier que $I$ a pour coordonnées $(2;2)$, puis calculer $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ pour le point $M(2;6)$.

2. (1,5 pt) Question de cours. Démontrer que, pour tout point $M$ du plan, $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-9$.

3. (1,5 pt) Déterminer l'ensemble $E_0$ des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Le point $C(2;5)$ appartient-il à $E_0$ ? Justifier.

4. (1 pt) Déterminer, en justifiant, l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=16$, puis l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-9$, et enfin l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=-10$.