Exercices — Probabilités conditionnelles et indépendance

Un lycée compte $800$ élèves. On s'intéresse à deux caractères : le régime de l'élève (interne ou externe) et le choix ou non de la spécialité mathématiques. Les effectifs sont donnés dans le tableau ci-dessous.

On choisit un élève au hasard dans le lycée, chaque élève ayant la même probabilité d'être choisi. On note $I$ l'événement « l'élève est interne » et $S$ l'événement « l'élève a choisi la spécialité mathématiques ».

1. Calculer $P(I)$ et $P(S)$.

2. Calculer $P(I\cap S)$. À quelle case du tableau correspond cette probabilité ?

3. On choisit maintenant un élève au hasard parmi les internes. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi la spécialité mathématiques ? Exprimer cette probabilité avec la notation du cours, puis la calculer.

4. On choisit un élève au hasard parmi ceux qui ont choisi la spécialité mathématiques. Quelle est la probabilité qu'il soit interne ? Exprimer cette probabilité avec la notation du cours, puis la calculer.

5. Comparer les résultats des questions 3 et 4. Que peut-on en conclure sur $P_I(S)$ et $P_S(I)$ ?

$A$ et $B$ sont deux événements d'un même univers tels que :

$$P(A)=\mathrm{0,6}P(B)=\mathrm{0,45}P(A\cap B)=\mathrm{0,36}$$

1. Calculer les probabilités suivantes.

   a. $P_A(B)$

   b. $P_B(A)$

2. Justifier que $P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$, puis calculer $P(\bar{A}\cap B)$.

3. En déduire $P_{\bar{A}}(B)$.

Dans une salle de sport, on interroge un adhérent choisi au hasard. On note $C$ l'événement « l'adhérent suit des cours collectifs » et $M$ l'événement « l'adhérent vient le matin ». La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Lire sur l'arbre les probabilités $P(C)$, $P_C(M)$ et $P_{\bar{C}}(M)$. Traduire chacune par une phrase en français.

2. Calculer $P(C\cap M)$. Quelle règle de l'arbre utilise-t-on ?

3. Calculer $P(\bar{C}\cap M)$.

4. En déduire $P(M)$. Quelle règle de l'arbre utilise-t-on ?

Une exploitation agricole produit des œufs dans deux poulaillers. Le poulailler 1 fournit $80\mathrm{\%}$ des œufs de l'exploitation, le poulailler 2 fournit le reste. Au calibrage, $5\mathrm{\%}$ des œufs issus du poulailler 1 sont déclassés (coquille fêlée ou calibre insuffisant), contre $15\mathrm{\%}$ des œufs issus du poulailler 2.

On prélève un œuf au hasard dans la production de l'exploitation. On note $A$ l'événement « l'œuf provient du poulailler 1 » et $D$ l'événement « l'œuf est déclassé ».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide des notations $P(A)$, $P_A(D)$ et $P_{\bar{A}}(D)$.

2. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

3. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(\bar{A}\cap D)$. Interpréter chacun de ces résultats par une phrase.

4. En déduire la probabilité que l'œuf prélevé soit déclassé.

Un salarié se rend au travail soit à vélo, soit en voiture. On note $V$ l'événement « le salarié va au travail à vélo » et $R$ l'événement « le salarié est en retard ». On sait que :

• il prend son vélo avec la probabilité $\mathrm{0,7}$ ;
• lorsqu'il est à vélo, il est en retard avec la probabilité $\mathrm{0,05}$ ;
• lorsqu'il est en voiture, il est en retard avec la probabilité $\mathrm{0,2}$.

La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous, dans lequel trois pondérations ont été remplacées par un « ? ».

1. Déterminer les trois pondérations manquantes, en justifiant chaque valeur.

2. Justifier que les événements $V\cap R$ et $\bar{V}\cap R$ forment une partition de l'événement $R$, puis calculer $P(R)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

3. En déduire $P(\bar{R})$. Interpréter ce résultat par une phrase.

Lors d'un festival de musique, $30\mathrm{\%}$ des festivaliers sont mineurs. Les mineurs doivent porter un bracelet de couleur, mais certains festivaliers majeurs en portent également un (bracelet d'accès à un espace réservé). On choisit un festivalier au hasard. On note $M$ l'événement « le festivalier est mineur » et $B$ l'événement « le festivalier porte un bracelet ».

1. Traduire chacune des phrases suivantes par une écriture symbolique parmi $P(M)$, $P(B)$, $P(M\cap B)$, $P_M(B)$, $P_B(M)$ (une même écriture peut servir plusieurs fois, ou pas du tout).

   a. La probabilité qu'un festivalier soit mineur et porte un bracelet.

   b. La probabilité qu'un mineur porte un bracelet.

   c. La probabilité qu'un porteur de bracelet soit mineur.

   d. La probabilité qu'un festivalier porte un bracelet.

   e. Parmi les festivaliers qui portent un bracelet, la proportion de mineurs.

2. On donne maintenant les valeurs suivantes : parmi les mineurs, $90\mathrm{\%}$ portent effectivement leur bracelet, et $P(B)=\mathrm{0,45}$.

   a. Calculer $P(M\cap B)$.

   b. Calculer $P_B(M)$. Un agent de sécurité affirme : « puisque 90 % des mineurs portent un bracelet, une personne qui porte un bracelet a 90 % de chances d'être mineure ». Que penser de cette affirmation ?

Une plateforme de streaming vidéo compte deux types de comptes : les comptes premium (avec abonnement payant) et les comptes gratuits (avec publicité). On sait que $60\mathrm{\%}$ des comptes sont des comptes premium.

Une étude interne montre que $70\mathrm{\%}$ des détenteurs d'un compte premium regardent au moins une série chaque semaine, contre seulement $20\mathrm{\%}$ des détenteurs d'un compte gratuit.

On choisit un compte au hasard parmi tous les comptes de la plateforme. On note :

• $A$ l'événement « le compte est un compte premium » ;
• $B$ l'événement « le détenteur du compte regarde au moins une série chaque semaine ».

1. Donner, à partir de l'énoncé, les valeurs de $P(A)$, $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$.

2. Représenter la situation par un arbre pondéré (préciser la pondération de chacune des quatre branches finales).

3. Calculer $P(A\cap B)$ et $P(\bar{A}\cap B)$.

4. En déduire, à l'aide de la formule des probabilités totales, la probabilité que le détenteur du compte choisi regarde au moins une série chaque semaine.

5. Le compte choisi appartient à une personne qui regarde au moins une série chaque semaine. Quelle est la probabilité que ce soit un compte premium ?

Une usine d'assemblage de trottinettes électriques reçoit ses batteries de trois fournisseurs. Le fournisseur $1$ livre $50\mathrm{\%}$ des batteries, le fournisseur $2$ en livre $30\mathrm{\%}$ et le fournisseur $3$ en livre $20\mathrm{\%}$.

Le service qualité a établi que $2\mathrm{\%}$ des batteries du fournisseur $1$ sont défectueuses, contre $3\mathrm{\%}$ pour le fournisseur $2$ et $5\mathrm{\%}$ pour le fournisseur $3$.

On prélève une batterie au hasard dans le stock de l'usine. Pour $i\in \{1;2;3\}$, on note $F_i$ l'événement « la batterie provient du fournisseur $i$ », et $D$ l'événement « la batterie est défectueuse ».

1. Justifier que les événements $F_1$, $F_2$ et $F_3$ forment une partition de l'univers.

2. Représenter la situation par un arbre pondéré à trois branches au premier niveau, chaque branche se prolongeant par $D$ et $\bar{D}$.

3. Calculer $P(F_1\cap D)$, $P(F_2\cap D)$ et $P(F_3\cap D)$, puis en déduire $P(D)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

4. La batterie prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur $1$ ? On donnera la valeur exacte sous forme de fraction, puis une valeur approchée au millième.

5. Comparer $P_D(F_1)$ et $P(F_1)$. Comment expliquer, en une phrase, le sens de cette évolution ?

Dans une population, une maladie touche $1\mathrm{\%}$ des individus. Un laboratoire commercialise un test de dépistage dont les performances sont les suivantes :

• lorsqu'un individu est malade, le test est positif dans $95\mathrm{\%}$ des cas (on parle de sensibilité du test) ;
• lorsqu'un individu est sain, le test est négatif dans $90\mathrm{\%}$ des cas (on parle de spécificité du test).

On choisit un individu au hasard dans la population et on lui fait passer le test. On note $M$ l'événement « l'individu est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide des notations $P(M)$, $P_M(T)$ et $P_{\bar{M}}(\bar{T})$. En déduire $P_{\bar{M}}(T)$, la probabilité d'un « faux positif ».

2. Représenter la situation par un arbre pondéré.

3. Montrer que $P(T)=\mathrm{0,1085}$.

4. L'individu choisi obtient un test positif. Calculer la probabilité qu'il soit réellement malade. On donnera la valeur exacte sous forme de fraction, puis une valeur approchée au dixième de pour cent.

5. Ce résultat vous surprend-il ? Expliquer, en s'appuyant sur les effectifs d'une population fictive de $10000$ individus, pourquoi cette probabilité est si faible alors que le test semble très performant.

Partie A. $A$ et $B$ sont deux événements d'un même univers tels que :

$$P(A)=\mathrm{0,4}P(B)=\mathrm{0,5}P(A\cap B)=\mathrm{0,2}$$

1. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants.

2. Calculer $P_A(B)$ et vérifier que $P_A(B)=P(B)$. Interpréter cette égalité par une phrase.

3. Les événements $A$ et $\bar{B}$ sont-ils indépendants ? Justifier à l'aide d'une propriété du cours, puis vérifier par le calcul de $P(A\cap \bar{B})$.

Partie B. $C$ et $D$ sont deux événements d'un même univers tels que :

$$P(C)=\mathrm{0,4}P(D)=\mathrm{0,5}P(C\cap D)=\mathrm{0,15}$$

4. Les événements $C$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier.

5. Calculer $P_C(D)$ et comparer avec $P(D)$. La réalisation de $C$ rend-elle $D$ plus probable ou moins probable ?

On rappelle qu'un jeu de $32$ cartes contient $4$ couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) de $8$ cartes chacune, et que chaque couleur contient exactement un roi.

Partie A. On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. On note $A$ l'événement « la carte tirée est un roi » et $B$ l'événement « la carte tirée est un cœur ».

1. Donner $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

2. Montrer que les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

3. Calculer $P_B(A)$ et commenter : apprendre que la carte est un cœur change-t-il la probabilité que ce soit un roi ?

Partie B. On retire le valet de pique du jeu, puis on tire une carte au hasard dans le jeu de $31$ cartes restant. On garde les mêmes événements $A$ et $B$.

4. Donner les nouvelles valeurs de $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.

5. Les événements $A$ et $B$ sont-ils encore indépendants ? Justifier par le calcul.

6. Le valet de pique n'est ni un roi ni un cœur : son retrait semble donc « sans rapport » avec $A$ et $B$. Que retenir de cet exercice sur la notion d'indépendance ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être démontrée dans le cas général ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple chiffré.

Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ désignent deux événements d'un même univers tels que $0<P(A)<1$ et $0<P(B)<1$.

1. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $A$ et $B$ ne peuvent pas être indépendants.

2. Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.

3. On a toujours $P_A(B)+P_A(\bar{B})=1$.

4. On a toujours $P_A(B)+P_{\bar{A}}(B)=1$.

5. Si $P_A(B)=P_B(A)$, alors $P(A)=P(B)$.

On réalise l'expérience suivante : on lance d'abord un dé équilibré à six faces, puis on lance une pièce équilibrée. On note le résultat sous la forme d'un couple : par exemple, $(3;\text{P})$ signifie « le dé a donné $3$ et la pièce a donné pile ».

On note P le côté pile et F le côté face.

1. Représenter l'ensemble des issues de cette expérience par un tableau à double entrée (une ligne par côté de la pièce, une colonne par face du dé). Combien y a-t-il d'issues au total ?

2. Justifier que les deux épreuves (lancer du dé, lancer de la pièce) sont indépendantes, puis expliquer comment cette indépendance permet de calculer la probabilité d'un couple d'issues.

3. Calculer la probabilité de l'événement $S$ : « obtenir un six et pile ».

4. Calculer la probabilité de l'événement $E$ : « obtenir un nombre pair et face ».

5. Les $12$ couples d'issues sont-ils équiprobables ? Justifier.

Une basketteuse réussit chacun de ses lancers francs avec une probabilité de $\mathrm{0,6}$. Elle effectue trois lancers francs successifs. On suppose que les résultats des trois lancers sont indépendants (la réussite ou l'échec d'un lancer n'influence pas les suivants).

Pour chaque lancer, on note $R$ l'événement « le lancer est réussi » et $\bar{R}$ l'événement « le lancer est manqué ».

1. Expliquer pourquoi chaque lancer franc est une épreuve de Bernoulli. Préciser ce qu'on appelle « succès », ce qu'on appelle « échec », et donner la probabilité $p$ du succès.

2. Représenter les trois lancers par un arbre pondéré. Combien de chemins cet arbre comporte-t-il ?

3. Calculer la probabilité que la basketteuse réussisse ses trois lancers.

4. Calculer la probabilité qu'elle réussisse exactement deux lancers sur les trois. On listera les chemins de l'arbre correspondant à cet événement.

5. Calculer la probabilité qu'elle réussisse au moins un lancer. On pourra passer par l'événement contraire.

Un archer touche la cible avec une probabilité de $\mathrm{0,7}$ à chaque tir. Il effectue quatre tirs successifs, supposés indépendants les uns des autres.

Pour chaque tir, on note $T$ l'événement « la cible est touchée » (succès) et $\bar{T}$ l'événement « la cible est manquée » (échec).

On raisonnera uniquement à l'aide de l'arbre représentant les quatre tirs : pour chaque événement étudié, on comptera à la main les chemins de l'arbre qui le réalisent, en les listant explicitement. Aucune formule générale n'est attendue (ni au programme).

1. Combien de chemins comporte l'arbre des quatre tirs ?

2. Calculer la probabilité que l'archer touche la cible aux quatre tirs.

3. Calculer la probabilité qu'il touche la cible exactement trois fois. On listera les chemins concernés (on pourra les repérer par la position du tir manqué).

4. En déduire la probabilité qu'il touche la cible au moins trois fois.

5. Calculer la probabilité qu'il touche la cible au moins une fois. On pourra passer par l'événement contraire.

On cherche à estimer la valeur de $\pi$ à l'aide d'une simulation. On tire au hasard un grand nombre de points dans le carré de côté $1$ délimité par les points de coordonnées $(0;0)$, $(1;0)$, $(1;1)$ et $(0;1)$, et on regarde quelle proportion de ces points tombe dans le quart de disque de centre $(0;0)$ et de rayon $1$.

On admet que, lorsqu'un point est tiré au hasard uniformément dans le carré, la probabilité qu'il tombe dans une zone donnée du carré est égale au rapport de l'aire de cette zone par l'aire du carré. On admet également que l'aire du quart de disque de rayon $1$ vaut ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

On considère le script Python suivant :

from random import random

def estimation_pi(n):
    compteur = 0
    for i in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            compteur = compteur + 1
    return 4 * compteur / n

On rappelle que random() renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $[0;1[$, chaque appel étant indépendant des précédents.

1. Justifier que la probabilité qu'un point tiré au hasard dans le carré tombe dans le quart de disque vaut ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

2. Expliquer le rôle du test x**2 + y**2 <= 1 dans le script : que compte la variable compteur à la fin de la boucle ?

3. Que représente le quotient compteur / n ? En déduire pourquoi la fonction estimation_pi(n) renvoie une estimation de $\pi$.

4. Vers quelle valeur le résultat renvoyé se stabilise-t-il lorsque $n$ devient très grand ? Quel principe, vu en classe de seconde, justifie cette stabilisation ?

Une usine fabrique des pièces métalliques à l'aide de deux machines. La machine A produit $65\mathrm{\%}$ des pièces et la machine B produit les $35\mathrm{\%}$ restants. Le service de contrôle qualité a établi que $4\mathrm{\%}$ des pièces produites par la machine A sont défectueuses, contre $9\mathrm{\%}$ des pièces produites par la machine B.

On prélève une pièce au hasard dans la production totale. On note :

• $A$ l'événement « la pièce provient de la machine A » ;
• $B$ l'événement « la pièce provient de la machine B » ;
• $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Donner, à partir de l'énoncé, les valeurs de $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P_B(D)$.

2. Représenter la situation par un arbre pondéré complet.

3. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $P(D)=\mathrm{0,0575}$.

4. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A. On arrondira au millième.

5. Les événements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier en comparant $P_A(D)$ et $P(D)$.

6. Interpréter le résultat de la question précédente : que peut dire le responsable qualité au sujet de la machine A ?

Un pion est placé sur la graduation $0$ d'un axe gradué. À chaque étape, on lance une pièce équilibrée : si elle donne pile, le pion avance d'une graduation ($+1$) ; si elle donne face, il recule d'une graduation ($-1$). Les lancers sont indépendants les uns des autres.

On fait effectuer quatre étapes au pion et on s'intéresse à sa position finale. On appelle chemin une suite de quatre déplacements, notée par exemple $+-++$ (avancer, reculer, avancer, avancer).

Toutes les questions se traitent en dénombrant les chemins sur l'arbre des quatre étapes (on pourra lister les chemins ou utiliser un argument de symétrie), sans aucune formule générale.

1. Justifier que cette expérience est la répétition de quatre épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On précisera le succès choisi et sa probabilité.

2. Combien y a-t-il de chemins possibles ? Quelle est la probabilité de chacun d'eux ?

3. Quelles sont les positions possibles du pion après quatre étapes ? Que remarque-t-on sur la parité de ces positions ?

4. Calculer la probabilité que le pion soit revenu à la position $0$ après quatre étapes. On listera les chemins correspondants.

5. Calculer la probabilité que le pion se trouve à la position $4$.

6. Calculer la probabilité que le pion se trouve à une position strictement positive.