Devoir surveillé — Probabilités conditionnelles et indépendance

1. (1,5 point) Dans un lycée de $200$ élèves, on a relevé le régime de chacun (demi-pensionnaire ou externe) selon le sexe :

   	Demi-pensionnaires	Externes	Total
   Filles	$60$	$20$	$80$
   Garçons	$60$	$60$	$120$
   Total	$120$	$80$	$200$

   On choisit un élève au hasard et on note $F$ : « l'élève est une fille » et $D$ : « l'élève est demi-pensionnaire ». Calculer les probabilités suivantes :

   a. $P(F\cap D)$

   b. $P_D(F)$

   c. $P_F(D)$

2. (1 point) Avec les notations de la question précédente, traduire chacune des phrases suivantes par une notation symbolique ($P(F\cap D)$, $P_F(D)$ ou $P_D(F)$), sans effectuer de calcul :

   a. « La probabilité que l'élève choisi soit demi-pensionnaire, sachant que c'est une fille. »

   b. « La probabilité que l'élève choisi soit une fille demi-pensionnaire. »

3. (1,5 point) $A$ et $B$ sont deux événements d'un même univers tels que $P(A)=\mathrm{0,4}$ et $P(A\cap B)=\mathrm{0,1}$.

   a. Calculer $P_A(B)$.

   b. Peut-on calculer $P_B(A)$ avec ces seules données ? Justifier.

Une boutique en ligne expédie ses colis par deux transporteurs. Le bilan de l'année montre que :

• $60\mathrm{\%}$ des colis sont confiés au transporteur Alpha, le reste au transporteur Bravo ;
• lorsqu'un colis est confié à Alpha, il arrive en retard avec une probabilité de $\mathrm{0,1}$ ;
• lorsqu'un colis est confié à Bravo, il arrive en retard avec une probabilité de $\mathrm{0,25}$.

On choisit un colis au hasard parmi les expéditions de l'année et on note $A$ : « le colis est confié au transporteur Alpha » et $R$ : « le colis arrive en retard ».

1. (1,5 point) Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant les probabilités sur chaque branche.

2. (1 point) Calculer $P(A\cap R)$ et interpréter le résultat par une phrase.

3. (1,5 point) Montrer que $P(R)=\mathrm{0,16}$. On citera la propriété utilisée.

4. (1 point) Un client signale un colis arrivé en retard. Quelle est la probabilité que ce colis ait été confié au transporteur Alpha ? Interpréter le résultat par une phrase.

Une exploitation agricole compte plusieurs milliers d'oliviers. Une maladie bactérienne touche $2\mathrm{\%}$ des arbres. Un test de dépistage rapide, réalisé sur une feuille, a les caractéristiques suivantes :

• lorsque l'arbre est malade, le test est positif dans $90\mathrm{\%}$ des cas (sensibilité) ;
• lorsque l'arbre est sain, le test est négatif dans $85\mathrm{\%}$ des cas (spécificité).

On choisit un olivier au hasard et on lui fait passer le test. On note $M$ : « l'arbre est malade » et $T$ : « le test est positif ».

1. (1 point) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. (1 point) Montrer que $P(T)=\mathrm{0,165}$.

3. (1,5 point) Le test d'un olivier est positif. Calculer la probabilité que cet arbre soit réellement malade. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$ près.

4. (0,5 point) L'exploitant déclare : « Si le test d'un arbre est positif, il est presque certainement malade, donc je l'arrache immédiatement. » Que penser de cette affirmation ?

1. (1,5 point) On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on note le résultat. On considère les événements $A$ : « le résultat est pair », $B$ : « le résultat est un multiple de $3$ » et $C$ : « le résultat est inférieur ou égal à $3$ ».

   a. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

   b. Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier par un calcul.

2. (1,5 point) $A$ et $B$ sont deux événements indépendants d'un même univers.

   a. Justifier que $P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)$.

   b. En déduire que $P(\bar{A}\cap B)=P(\bar{A})\times P(B)$, puis conclure que $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.

3. (1 point) Vrai ou faux, avec justification : « Si $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles de probabilités non nulles, alors $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. »

Sur le trajet de Malo, trois feux tricolores fonctionnent de façon indépendante. À chacun de ces feux, la probabilité que Malo trouve le feu au vert est de $\mathrm{0,8}$ ; sinon, il doit s'arrêter. On assimile le passage de chaque feu à une épreuve à deux issues, identique pour les trois feux : $S$ : « le feu est vert » et $\bar{S}$ : « Malo doit s'arrêter ».

1. (1 point) Calculer la probabilité que Malo passe les trois feux au vert.

2. (1 point) À l'aide d'un arbre (ou en dénombrant les chemins), calculer la probabilité qu'il trouve exactement deux feux au vert sur les trois.

3. (1 point) Calculer la probabilité qu'il trouve au moins un feu au vert. On pourra raisonner à l'aide de l'événement contraire.