Exercices — Géométrie repérée

1. Pour chacune des droites suivantes, données par une équation cartésienne, donner un vecteur normal et un vecteur directeur. Si l'équation n'est pas sous la forme $ax+by+c=0$, commencer par l'y mettre.

   a. $2x-5y+1=0$

   b. $y=3x-4$

   c. $x=2$

   d. $-x+4y=0$

   e. $x+y-3=0$

   f. $4x+6y-5=0$

2. On considère la droite $d$ d'équation $3x-2y+6=0$ et les quatre vecteurs :

   a. $\overrightarrow{v_1}\left(\begin{array}{c}6\\ -4\end{array}\right)$

   b. $\overrightarrow{v_2}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$

   c. $\overrightarrow{v_3}\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right)$

   d. $\overrightarrow{v_4}\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$

   Lesquels de ces vecteurs sont normaux à $d$ ? Justifier chaque réponse.

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$. On utilisera la caractérisation : $M(x;y)\in d⟺\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$.

   a. $A(1;2)$ et $\vec{n}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$

   b. $A(-2;3)$ et $\vec{n}\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$

   c. $A(0;-1)$ et $\vec{n}\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right)$

   d. $A(4;0)$ et $\vec{n}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$

2. La droite obtenue à la question 1.a. passe-t-elle par le point $P(2;5)$ ? Et par le point $Q(-1;3)$ ? Justifier.

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Écrire une équation de chacun des cercles suivants :

   a. ${\mathcal{C}}_1$ de centre $O(0;0)$ et de rayon $3$

   b. ${\mathcal{C}}_2$ de centre $A(2;-1)$ et de rayon $4$

   c. ${\mathcal{C}}_3$ de centre $B(-3;0)$ et de rayon $\sqrt{5}$

   d. ${\mathcal{C}}_4$ de centre $C(1;5)$ et de rayon $2$

2. Les points $P(2;3)$ et $Q(5;1)$ appartiennent-ils au cercle ${\mathcal{C}}_2$ ? Justifier par le calcul.

3. Donner le centre et le rayon des cercles d'équations suivantes (attention aux signes) :

   a. $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=25$

   b. $x^2+(y+4{)}^2=7$

La figure ci-dessous représente deux cercles ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$ dans un repère orthonormé.

1. Lire sur la figure le centre et le rayon de chacun des deux cercles.
2. En déduire une équation de ${\mathcal{C}}_1$ et une équation de ${\mathcal{C}}_2$.
3. Vérifier par le calcul que le point $E(0;-2)$ appartient à ${\mathcal{C}}_2$.
4. Le point $F(2;4)$ est-il sur le cercle ${\mathcal{C}}_1$, à l'intérieur ou à l'extérieur ? Justifier par un calcul de distance.

1. Dans chacun des cas suivants, dire si les droites $d$ et $d^{\mathrm{\prime }}$ sont parallèles, perpendiculaires, ou ni l'un ni l'autre. Justifier à l'aide de leurs vecteurs normaux.

   a. $d:2x-3y+1=0$ et $d^{\mathrm{\prime }}:4x-6y+5=0$

   b. $d:3x+2y-5=0$ et $d^{\mathrm{\prime }}:2x-3y+4=0$

   c. $d:x+2y-1=0$ et $d^{\mathrm{\prime }}:3x-y+2=0$

2. On considère la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $2x+y-3=0$ et le point $A(1;-1)$.

   a. Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de $\mathrm{\Delta }$.

   b. Expliquer pourquoi $\vec{u}$ est un vecteur normal de toute droite perpendiculaire à $\mathrm{\Delta }$.

   c. En déduire une équation cartésienne de la droite ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{\prime }}$ perpendiculaire à $\mathrm{\Delta }$ passant par $A$.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1;2)$ et $B(3;4)$. On note $\mathrm{\Delta }$ la médiatrice du segment $[AB]$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et celles du milieu $I$ de $[AB]$.
2. Justifier que $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal de $\mathrm{\Delta }$, puis en déduire une équation cartésienne de $\mathrm{\Delta }$.
3. On rappelle que la médiatrice de $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $MA=MB$. En élevant cette égalité au carré et en développant, retrouver l'équation obtenue à la question 2.
4. Le point $P(4;-3)$ appartient-il à $\mathrm{\Delta }$ ? Répondre de deux façons : avec l'équation de $\mathrm{\Delta }$, puis en comparant $PA$ et $PB$.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $x+2y-5=0$ et le point $A(5;5)$.

1. Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la droite $d$, puis donner un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$.

2. On note $\mathrm{\Delta }$ la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $d$.

   a. Justifier que $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\mathrm{\Delta }$.

   b. En déduire une équation cartésienne de $\mathrm{\Delta }$.

3. Déterminer les coordonnées du point $H$, point d'intersection des droites $d$ et $\mathrm{\Delta }$. Le point $H$ est appelé projeté orthogonal de $A$ sur $d$.

4. Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de $d$, puis vérifier par un calcul de produit scalaire que $\overrightarrow{AH}\cdot \vec{u}=0$.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $3x+4y-12=0$ et le point $A(3;7)$.

1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur la droite $d$. On pourra suivre la méthode suivante : donner un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$, déterminer une équation de la droite $\mathrm{\Delta }$ passant par $A$ et dirigée par $\vec{n}$, puis résoudre le système formé par les équations de $d$ et $\mathrm{\Delta }$.

2. En déduire la distance $AH$.

3. Soit $M$ un point quelconque de la droite $d$, distinct de $H$. En considérant le triangle $AHM$, expliquer pourquoi $AM>AH$. Que peut-on en conclure sur la distance $AH$ ? On dit que $AH$ est la distance du point $A$ à la droite $d$.

4. Application. Sur une carte munie d'un repère orthonormé où une unité représente $100$ mètres, la droite $d$ modélise une route rectiligne et le point $A$ la position d'une maison. À quelle distance réelle de la route se trouve la maison ?

Dans un repère orthonormé, on considère les ensembles de points $M(x;y)$ définis par les équations suivantes. Pour chacune des équations 1 à 4, mettre l'équation sous la forme $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=k$ à l'aide de complétions du carré, puis conclure : s'agit-il d'un cercle (préciser alors son centre et son rayon), d'un point unique, ou de l'ensemble vide ?

1. $x^2+y^2-4x+6y-12=0$

2. $x^2+y^2+2x-4y-2=0$

3. $x^2+y^2-6x+8y+25=0$

4. $x^2+y^2+4x-2y+9=0$

5. Un élève affirme que l'équation $2x^2+y^2-4x+2y-3=0$ est aussi une équation de cercle. Sans faire de calcul, expliquer pourquoi il a tort.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1;2)$ et $B(5;4)$. On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$.

1. a. Déterminer les coordonnées du centre $\mathrm{\Omega }$ du cercle $\mathcal{C}$.

   b. Calculer la longueur $AB$, puis en déduire le rayon de $\mathcal{C}$.

   c. En déduire une équation du cercle $\mathcal{C}$.

2. On rappelle qu'un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. En utilisant cette caractérisation, montrer qu'une équation de $\mathcal{C}$ est :

Développer cette équation et vérifier la cohérence avec la question 1.

3. Le point $C(3;6)$ appartient-il au cercle $\mathcal{C}$ ? Que peut-on en déduire pour le triangle $ABC$ ?

Dans un repère orthonormé, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x;y)$ vérifiant :

1. Montrer que $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre $\mathrm{\Omega }$ et le rayon $r$.

2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et de la droite $d_1$ d'équation $x=5$.

3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle $\mathcal{C}$ et de la droite $d_2$ d'équation $y=6$. Comment appelle-t-on une telle droite ?

4. Montrer que le cercle $\mathcal{C}$ et la droite $d_3$ d'équation $y=-5$ n'ont aucun point commun.

5. Récapituler : combien de points communs une droite et un cercle peuvent-ils avoir ? Illustrer chaque cas par l'une des droites précédentes.

Dans un repère orthonormé, on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $\mathrm{\Omega }(1;-2)$ et de rayon $5$, ainsi que le point $A(4;2)$.

On rappelle que la tangente au cercle $\mathcal{C}$ en un point $A$ de $\mathcal{C}$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire au rayon $[\mathrm{\Omega }A]$ : c'est donc la droite passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }A}$.

1. Donner une équation du cercle $\mathcal{C}$, puis vérifier que le point $A$ appartient à $\mathcal{C}$.
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }A}$.
3. En déduire une équation cartésienne de la tangente $T$ au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$.
4. La tangente $T$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection.

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle $ABC$ avec $A(3;4)$, $B(-4;3)$ et $C(0;-5)$.

On rappelle que la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$ : c'est donc la droite passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{BC}$.

1. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur $h_A$ issue de $A$.
2. Déterminer de même une équation cartésienne de la hauteur $h_B$ issue de $B$.
3. Calculer les coordonnées du point d'intersection $H$ des droites $h_A$ et $h_B$.
4. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur $h_C$ issue de $C$, puis vérifier que $H$ appartient à $h_C$. Que peut-on en conclure pour les trois hauteurs du triangle $ABC$ ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement : une affirmation vraie doit être démontrée, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite ou un calcul.

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Le vecteur $\vec{u}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ est un vecteur normal à la droite d'équation $3x-2y+1=0$.
2. Toute équation de la forme $x^2+y^2+ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels, est l'équation d'un cercle.
3. Si $H$ est le projeté orthogonal d'un point $A$ sur une droite $d$, alors pour tout point $M$ de $d$, on a $AM⩾AH$.
4. Les droites d'équations $2x-y+3=0$ et $x+2y-1=0$ sont perpendiculaires.
5. On donne $A(-2;1)$ et $B(4;3)$. Le point $M(2;5)$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.

Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on considère les points $A(3;4)$, $B(-4;3)$ et $C(0;-5)$.

1. Calculer les distances $OA$, $OB$ et $OC$. En déduire que $O$ est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle $ABC$, et donner une équation de $\mathcal{C}$.

2. Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier par des calculs de produits scalaires.

3. On s'intéresse à la distance du point $O$ à la droite $(AB)$.

   a. Vérifier que la droite $(AB)$ admet pour équation cartésienne $x-7y+25=0$.

   b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $O$ sur la droite $(AB)$.

   c. En déduire la distance de $O$ à la droite $(AB)$.

4. Déterminer une équation cartésienne de la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$.

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation $3x+4y-15=0$ et le point $\mathrm{\Omega }(4;7)$, qui n'appartient pas à $d$.

On cherche le cercle de centre $\mathrm{\Omega }$ tangent à la droite $d$, c'est-à-dire ayant exactement un point commun avec $d$.

1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $\mathrm{\Omega }$ sur la droite $d$, puis calculer la distance $\mathrm{\Omega }H$.
2. En déduire une équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $\mathrm{\Omega }$ tangent à $d$, et préciser les coordonnées du point de tangence.
3. Démontrer que ce point de tangence est le seul point commun au cercle $\mathcal{C}$ et à la droite $d$.