Devoir surveillé — Géométrie repérée

Le plan est muni d'un repère orthonormé. Les quatre questions sont indépendantes.

1. Pour chacune des droites suivantes, donner un vecteur normal et un vecteur directeur. Si l'équation n'est pas sous la forme $ax+by+c=0$, commencer par l'y mettre.

   a. $5x-3y+7=0$

   b. $y=-2x+7$

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point $B(2;-3)$ et de vecteur normal $\vec{n}\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$.

3. Écrire une équation du cercle de centre $\mathrm{\Omega }(-1;4)$ et de rayon $6$.

4. Donner le centre et le rayon de chacun des cercles suivants (attention aux signes) :

   a. $(x-2{)}^2+(y+5{)}^2=49$

   b. $(x+7{)}^2+y^2=13$

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ d'équation cartésienne $x-3y+6=0$ et le point $A(7;1)$.

1. Vérifier que le point $A$ n'appartient pas à la droite $d$, puis donner un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$.

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $\mathrm{\Delta }$ passant par $A$ et perpendiculaire à $d$.

3. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $d$.

4. Calculer la distance $AH$. On donnera la valeur exacte.

5. Soit $M$ un point quelconque de $d$, distinct de $H$. Justifier que $AM>AH$. Que représente donc la distance $AH$ pour le point $A$ et la droite $d$ ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. On considère l'ensemble ${\mathcal{C}}_1$ des points $M(x;y)$ tels que :

$$x^2+y^2-6x+4y-12=0.$$

Montrer que ${\mathcal{C}}_1$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2. On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M(x;y)$ tels que :

$$x^2+y^2+2x-8y+20=0.$$

L'ensemble $\mathcal{E}$ est-il un cercle ? Justifier.

3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle ${\mathcal{C}}_1$ avec la droite d'équation $x=6$.

4. On donne les points $E(1;6)$ et $F(5;-2)$. Déterminer une équation du cercle ${\mathcal{C}}_2$ de diamètre $[EF]$.

Dans un repère orthonormé, on considère les points $R(-1;5)$, $S(5;-3)$ et $T(6;4)$.

1. Démontrer, à l'aide d'un produit scalaire, que le triangle $RST$ est rectangle en $T$.

2. En déduire que le cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle $RST$ a pour centre le milieu $\mathrm{\Omega }$ de $[RS]$, puis déterminer une équation de $\mathcal{C}$.

3. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur du triangle $RST$ issue de $T$.

4. La tangente à $\mathcal{C}$ au point $T$ est la droite passant par $T$ et perpendiculaire au rayon $[\mathrm{\Omega }T]$. En déterminer une équation cartésienne.

5. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $T$ (c'est-à-dire le projeté orthogonal de $T$ sur la droite $(RS)$).

   a. Déterminer les coordonnées de $H$, puis calculer la distance $TH$.

   b. En déduire l'aire du triangle $RST$, et vérifier ce résultat en calculant l'aire d'une seconde façon.