Exercices — Fonction exponentielle

Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une seule puissance de $\mathrm{e}$, c'est-à-dire sous la forme ${\mathrm{e}}^n$ avec $n$ entier relatif.

1. Première série :

   a. ${\mathrm{e}}^2\times {\mathrm{e}}^5$

   b. ${\mathrm{e}}^{-3}\times {\mathrm{e}}^3$

   c. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^7}{{\mathrm{e}}^4}}$

   d. ${\left({\mathrm{e}}^2\right)}^3$

   e. ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{-2}}}$

   f. ${\displaystyle \frac{\mathrm{e}\times {\mathrm{e}}^4}{{\mathrm{e}}^{-2}}}$

2. Deuxième série :

   a. ${\mathrm{e}}^{-5}\times {\mathrm{e}}^8$

   b. ${\left({\mathrm{e}}^{-1}\right)}^4$

   c. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3}{{\mathrm{e}}^{-2}}}$

   d. ${\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^3\right)}^2}{{\mathrm{e}}^5}}$

   e. ${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2\times {\mathrm{e}}^3}}$

   f. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2\times {\mathrm{e}}^{-7}}{{\left({\mathrm{e}}^{-3}\right)}^2}}$

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier : une affirmation vraie doit être justifiée à l'aide du cours, une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite ou une propriété du cours.

On rappelle que $\exp$ désigne la fonction exponentielle.

1. $\exp (0)=1$.
2. Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp (a+b)=\exp (a)+\exp (b)$.
3. La courbe représentative de la fonction $\exp$ passe par le point de coordonnées $(1;\mathrm{e})$.
4. Il existe un réel $x$ tel que ${\mathrm{e}}^x=0$.
5. La fonction $\exp$ est sa propre dérivée.
6. Pour tout réel $x>0$, le nombre ${\mathrm{e}}^{-x}$ est négatif.

1. Simplifier au maximum chacune des expressions suivantes, définies pour tout réel $x$.

   a. ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-2x+1}$

   b. ${\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^3}{{\mathrm{e}}^{2x}}}$

   c. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^{-3x+2}}}$

   d. ${\mathrm{e}}^{x+1}\times {\mathrm{e}}^{x-1}$

   e. ${\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2\times {\mathrm{e}}^{3x}$

   f. ${({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})}^2-{({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x})}^2$

2. Démontrer que pour tout réel $x$ :

$${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x}-1}{{\mathrm{e}}^x}}={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes. On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$ :

$${\mathrm{e}}^a={\mathrm{e}}^b⟺a=b$$

1. ${\mathrm{e}}^{2x+1}={\mathrm{e}}^{x-3}$
2. ${\mathrm{e}}^{x^2}={\mathrm{e}}^{3x-2}$
3. ${\mathrm{e}}^x=1$
4. ${\mathrm{e}}^{3x}=\mathrm{e}$
5. ${\mathrm{e}}^{x^2-3}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{2x}}}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes. On donnera les solutions sous forme d'intervalles ou de réunions d'intervalles. On rappelle que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : pour tous réels $a$ et $b$,

$${\mathrm{e}}^a<{\mathrm{e}}^b⟺a<b$$

1. ${\mathrm{e}}^{3x-5}⩽{\mathrm{e}}^{x+1}$
2. ${\mathrm{e}}^{-2x}>1$
3. ${\mathrm{e}}^{x^2}⩽{\mathrm{e}}^4$
4. ${\mathrm{e}}^x⩾{\mathrm{e}}^{-x+6}$

Dans tout l'exercice, on utilisera la propriété clé : pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x>0$ ; en particulier, une exponentielle n'est jamais nulle.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

   a. $(2x-6){\mathrm{e}}^{-x}=0$

   b. $x{\mathrm{e}}^x+3{\mathrm{e}}^x=0$

   c. ${\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x=0$

   d. $(x^2-5x+6){\mathrm{e}}^x=0$

2. Étudier, selon les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression $(3-x){\mathrm{e}}^x$. On présentera les résultats dans un tableau de signes.

Cet exercice propose de démontrer, en deux étapes guidées, une propriété fondamentale du cours : pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x>0$.

On rappelle la propriété fonctionnelle de l'exponentielle : pour tous réels $a$ et $b$, ${\mathrm{e}}^{a+b}={\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b$, ainsi que ${\mathrm{e}}^0=1$.

Partie A — L'exponentielle ne s'annule jamais

1. Soit $a$ un réel quelconque. En calculant ${\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^{-a}$ à l'aide de la propriété fonctionnelle, montrer que :

$${\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^{-a}=1$$

2. On raisonne par l'absurde : on suppose qu'il existe un réel $a$ tel que ${\mathrm{e}}^a=0$.

   a. Que vaudrait alors le produit ${\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^{-a}$ ?

   b. En quoi ce résultat contredit-il la question 1 ?

   c. Conclure : pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x\mathrm{\ne }0$.

Partie B — L'exponentielle est strictement positive

3. Soit $x$ un réel quelconque. En remarquant que $x={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}$, montrer que :

$${\mathrm{e}}^x={\left({\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2}\right)}^2$$

4. a. Quel est le signe d'un carré ? En déduire que ${\mathrm{e}}^x⩾0$.

   b. À l'aide de la partie A, expliquer pourquoi le cas ${\mathrm{e}}^x=0$ est impossible.

   c. Conclure : pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^x>0$.

Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. Pour chaque item, préciser la formule d'opération utilisée (somme, produit par un réel, produit, quotient…).

1. Sur $\mathbb{R}$ :

   a. $f(x)={\mathrm{e}}^x+x^2$

   b. $f(x)=3{\mathrm{e}}^x-5x$

   c. $f(x)=x{\mathrm{e}}^x$

   d. $f(x)=(2x+1){\mathrm{e}}^x$

2. Sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ :

   $$f(x)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}$$

3. Sur $\mathbb{R}$ :

   $$f(x)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$$

   Indication : commencer par écrire $f(x)$ sous la forme ${\mathrm{e}}^{ax}$ à l'aide d'une propriété algébrique de l'exponentielle.

On rappelle que pour tout réel $a$, la fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que sa dérivée est $t\mapsto a{\mathrm{e}}^{at}$.

1. Dériver chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :

   a. $g(t)={\mathrm{e}}^{3t}$ sur $\mathbb{R}$

   b. $g(t)={\mathrm{e}}^{-2t}$ sur $\mathbb{R}$

   c. $g(t)=5{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,4}t}$ sur $\mathbb{R}$

   d. $g(t)={\mathrm{e}}^{-t}+{\mathrm{e}}^{2t}$ sur $\mathbb{R}$

   e. $g(t)=t{\mathrm{e}}^{2t}$ sur $\mathbb{R}$

   f. $g(t)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{3t}}{t}}$ sur $]0;+\mathrm{\infty }[$

2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t)={\mathrm{e}}^{-2t}$. Montrer que, pour tout réel $t$ :

   $$g^{\mathrm{\prime }}(t)+2g(t)=0$$

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle. Sur la figure ci-dessous sont tracées $\mathcal{C}$ ainsi que ses tangentes aux points d'abscisses $0$ et $1$.

On rappelle que la tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)+f(a)$.

1. Déterminer par le calcul l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

3. Montrer que cette tangente au point d'abscisse $1$ passe par l'origine du repère.

4. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\mathrm{e}}^{-3x}$. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $0$.

Dans un même repère, on a tracé les courbes représentatives ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$, ${\mathcal{C}}_3$ et ${\mathcal{C}}_4$ de quatre fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :

$$f(t)={\mathrm{e}}^{t}g(t)={\mathrm{e}}^{2t}h(t)={\mathrm{e}}^{-t}k(t)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}t}$$

1. Associer chaque courbe à sa fonction, en justifiant soigneusement. On pourra s'appuyer sur :

   • le sens de variation de $t\mapsto {\mathrm{e}}^{kt}$ selon le signe de $k$ ;
   • la comparaison des « raideurs » des courbes, par exemple en comparant les valeurs des fonctions en $t=1$.

2. Bonus. Que valent les quatre fonctions en $t=0$ ? Pourquoi les quatre courbes passent-elles par le même point ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(x+2){\mathrm{e}}^x$$

1. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+3){\mathrm{e}}^x$$

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de signes et de variations de $f$. On rappellera pourquoi le signe de ${\mathrm{e}}^x$ ne pose aucun problème.

3. En déduire que $f$ admet un extremum sur $\mathbb{R}$ : préciser sa nature (minimum ou maximum), la valeur de $x$ en laquelle il est atteint et sa valeur exacte.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$$

Sa courbe représentative est donnée ci-dessous ; la tangente au point d'abscisse $1$ est horizontale.

1. Montrer que, pour tout réel $x$ :

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}$$

2. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de signes et de variations de $f$.

3. En déduire que $f$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$ : préciser en quelle valeur de $x$ il est atteint, sa valeur exacte et une valeur approchée au centième.

4. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis en déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

5. Vérifier que les résultats des questions 2, 3 et 4 sont cohérents avec la courbe donnée.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

$$u_n={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}n}$$

1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$. On donnera les valeurs exactes sous forme de puissances de $\mathrm{e}$, puis des valeurs approchées au centième.

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison. On pourra calculer le quotient ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$.

3. Déterminer le sens de variation de $(u_n)$. On justifiera la comparaison de la raison avec $1$ en utilisant la stricte croissance de la fonction exponentielle.

4. Exprimer $u_n$ sous la forme $q^n$ où $q$ est un réel à préciser. Retrouver ainsi l'expression du terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

5. Généralisation. Soit $a$ un réel quelconque. Montrer que la suite $\left({\mathrm{e}}^{na}\right)$ est géométrique et donner sa raison. Discuter son sens de variation selon le signe de $a$.

Un capital de $2000$ € est placé sur un compte rémunéré à intérêts composés. On modélise le capital disponible, en euros, au bout de $t$ années par :

$$C(t)=2000{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,03}t}$$

1. Que vaut $C(0)$ ? Interpréter ce résultat.

2. Calculer, à la calculatrice, le capital disponible au bout de $10$ ans, arrondi au centime.

3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=C(n)$ : c'est le capital disponible au bout de $n$ années entières.

   a. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.

   b. Donner une valeur approchée de la raison à ${10}^{-4}$ près. À quel taux d'intérêt annuel ce placement est-il équivalent ?

4. À l'aide d'un tableau de valeurs à la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années entières le capital initial aura doublé. On donnera les deux valeurs de $C$ qui justifient la réponse.

Un échantillon contient des noyaux radioactifs qui se désintègrent au cours du temps. On note $N(t)$ le pourcentage de noyaux encore présents au bout de $t$ jours (ainsi $N(t)=100$ signifie que tous les noyaux initiaux sont encore là). Des mesures conduisent au modèle :

$$N(t)=100{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}$$

1. Que vaut $N(0)$ ? Ce résultat est-il cohérent avec le contexte ?
2. Calculer $N^{\mathrm{\prime }}(t)$ et justifier que la fonction $N$ est strictement décroissante sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Interpréter dans le contexte.
3. Justifier que $N(t)>0$ pour tout $t⩾0$. D'après ce modèle, le nombre de noyaux radioactifs s'annule-t-il un jour ?
4. La demi-vie de l'échantillon est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés. Lire graphiquement une valeur approchée de la demi-vie, puis vérifier à la calculatrice que $N(\mathrm{5,8})\approx \mathrm{49,9}$.
5. Calculer $N(29)$, arrondi au centième. Que reste-t-il de l'échantillon au bout d'environ $5$ demi-vies ?

La fonction exponentielle est définie comme l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}=f$ et $f(0)=1$. La méthode d'Euler permet d'en construire une approximation pas à pas, sans connaître de formule.

Principe. Si $h$ est un petit nombre positif (le pas), alors pour tout réel $t$ :

$$f(t+h)\approx f(t)+h\times f^{\mathrm{\prime }}(t)$$

(on suit la tangente sur un petit intervalle). Comme $f^{\mathrm{\prime }}=f$, cela devient $f(t+h)\approx f(t)+h\times f(t)=(1+h)f(t)$.

On veut approcher $f(1)=\mathrm{e}$ en partant de $f(0)=1$ et en avançant par pas de $h=\mathrm{0,1}$ sur l'intervalle $[0;1]$. On propose le script à trous suivant :

h = 0.1
y = 1                  # valeur en t = 0
for i in range(...):   # nombre de pas pour aller de 0 a 1
    y = ...            # approximation au pas suivant
print(y)

1. Justifier que, à chaque pas, la nouvelle valeur de y s'obtient en multipliant l'ancienne par $1+h$.
2. Recopier et compléter le script.
3. Que calcule ce script ? Donner la valeur affichée, arrondie à ${10}^{-4}$, et la comparer à $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,71828}$.
4. Modifier le script pour utiliser le pas $h=\mathrm{0,01}$. Quelle valeur affiche-t-il alors (arrondie à ${10}^{-4}$) ? Commenter.
5. Montrer que la valeur finale calculée par le script vaut $(1+h{)}^{1\mathrm{/}h}$, puis faire le lien avec la suite $\left({(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}\right)$ en posant $n={\displaystyle \frac{1}{h}}$.

Pour tout entier naturel $n⩾1$, on pose :

$$v_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}$$

Cette suite fournit des valeurs approchées du nombre $\mathrm{e}$.

1. Calculer à la main $v_1$, $v_2$ et $v_3$ (on donnera $v_3$ sous forme de fraction, puis une valeur approchée à ${10}^{-3}$).
2. Écrire une fonction Python v(n) qui renvoie la valeur de $v_n$ pour un entier n donné.
3. Recopier et compléter le script suivant pour qu'il construise la liste des valeurs $v_{10}$, $v_{100}$, $v_{1000}$, …, $v_{1000000}$ (c'est-à-dire $v_{{10}^k}$ pour $k$ allant de $1$ à $6$) puis l'affiche :

L = []
for k in range(1, 7):
    n = ...
    L.append(...)
print(L)

Donner les valeurs affichées, arrondies à ${10}^{-4}$. 4. En observant ces valeurs, conjecturer par une phrase le comportement de la suite $(v_n)$ lorsque $n$ devient très grand. 5. Vrai ou faux ? « Il existe un entier $n$ tel que $v_n=\mathrm{e}$. » Justifier à l'aide des valeurs calculées.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction exponentielle. L'objectif de cet exercice est de démontrer que pour tout réel $x$ :

$${\mathrm{e}}^x⩾x+1$$

1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
2. On pose, pour tout réel $x$, $g(x)={\mathrm{e}}^x-x-1$. Calculer $g^{\mathrm{\prime }}(x)$.
3. Résoudre l'inéquation $g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$. On pourra remarquer que $1={\mathrm{e}}^0$ et utiliser la stricte croissance de l'exponentielle.
4. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$, en précisant la valeur de son minimum.
5. Conclure : démontrer l'inégalité annoncée, puis interpréter graphiquement le résultat en précisant la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$, ainsi que leurs points communs.

Un café très chaud est posé dans une pièce dont la température est maintenue à $20$ °C. On modélise la température du café, en degrés Celsius, au bout de $t$ minutes par :

$$T(t)=20+60{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}t}$$

1. Calculer la température initiale du café. En observant l'expression de $T(t)$, expliquer par une phrase vers quelle valeur la température du café se rapproche lorsque $t$ devient très grand.
2. Calculer $T^{\mathrm{\prime }}(t)$, étudier son signe et en déduire les variations de $T$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$. Interpréter dans le contexte.
3. Montrer que $T(t)>20$ pour tout $t⩾0$. Le café atteint-il exactement la température de la pièce ?
4. Résoudre sans calculatrice l'équation $T(t)=20+60{\mathrm{e}}^{-1}$.
5. Le café est considéré comme buvable dès que sa température descend à $55$ °C. À l'aide d'un tableau de valeurs à la calculatrice, déterminer à la minute près à partir de quand le café est buvable. On donnera les deux valeurs de $T$ qui justifient la réponse.
6. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n=T(n)-20$ : c'est l'écart entre la température du café et celle de la pièce, relevé minute par minute. Montrer que la suite $(d_n)$ est géométrique, préciser sa raison et interpréter : de quel pourcentage environ l'écart diminue-t-il chaque minute ?