Devoir surveillé — Fonction exponentielle

Partie A. Simplifier chacune des expressions suivantes. Le résultat sera donné sous la forme ${\mathrm{e}}^k$ ou ${\mathrm{e}}^{kx}$ (ou un nombre), sans exposant composé.

Partie B. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes.

Partie C. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$${\mathrm{e}}^{-3x+1}⩽{\mathrm{e}}^{x+9}\mathrm{.}$$

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement. Une affirmation fausse peut être réfutée par un contre-exemple. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1. « Pour tous réels $a$ et $b$, ${\mathrm{e}}^{a+b}={\mathrm{e}}^a+{\mathrm{e}}^b$. »

Affirmation 2. « La fonction $t\mapsto {\mathrm{e}}^{-4t}$, définie sur $\mathbb{R}$, a pour dérivée $t\mapsto -4{\mathrm{e}}^{-4t}$. »

Affirmation 3. « L'équation ${\mathrm{e}}^x=-2$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$. »

Affirmation 4. « La suite $\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ est géométrique et décroissante. »

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(2-x){\mathrm{e}}^x\mathrm{.}$$

1. Calculer $f(0)$ et $f(2)$.
2. Montrer que pour tout réel $x$, $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x){\mathrm{e}}^x$.
3. Étudier le signe de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser le tableau de variations de $f$ (on précisera la valeur exacte de l'extremum).
4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
5. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis en déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

On injecte un médicament à un patient à l'instant $t=0$. La concentration du médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée pour $t⩾0$ (en heures) par :

$$C(t)=5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,25}t}\mathrm{.}$$

1. Quelle est la concentration initiale du médicament dans le sang ?
2. Calculer $C^{\mathrm{\prime }}(t)$ pour tout $t⩾0$, puis en déduire le sens de variation de $C$ sur $[0;+\mathrm{\infty }[$.
3. Calculer la concentration au bout de $4$ heures. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième de mg/L.
4. Résoudre sans calculatrice l'équation $C(t)=5{\mathrm{e}}^{-2}$ et interpréter le résultat.
5. Le médicament est inefficace lorsque la concentration devient inférieure à $1$ mg/L. À l'aide de la calculatrice (tableau de valeurs), déterminer à l'heure près à partir de quand le médicament devient inefficace. On justifiera par un encadrement.
6. Pour tout entier naturel $n$, on pose $c_n=C(n)$ : la concentration relevée heure par heure. Montrer que la suite $(c_n)$ est géométrique et préciser sa raison (valeur exacte et valeur approchée au millième).

On rappelle que la fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}=f$ et $f(0)=1$. On cherche à calculer une valeur approchée de $\mathrm{e}=\exp (1)$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h=\mathrm{0,05}$. Le script Python ci-dessous est incomplet :

h = 0.05          # pas de la methode
y = 1             # valeur initiale : exp(0) = 1
for k in range(...):      # trou 1
    y = (1 + ...) * y     # trou 2
print(y)

1. Recopier et compléter les deux trous pour que le script affiche une valeur approchée de $\exp (1)$.
2. Justifier la relation $y\leftarrow (1+h)y$ à partir de l'égalité $f^{\mathrm{\prime }}=f$ et de l'approximation $f(t+h)\approx f(t)+h{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$.
3. Le script affiche environ $\mathrm{2,653}$. Comparer cette valeur à $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,71828}$ : pourquoi la méthode donne-t-elle ici une valeur inférieure à $\mathrm{e}$, et comment améliorer la précision ?