Exercices — Dérivation : point de vue local

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. Calculer le taux de variation de $f$ :

   a. entre $1$ et $3$ ;

   b. entre $-1$ et $2$ ;

   c. entre $2$ et $2+h$, où $h\mathrm{\ne }0$.

2. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x-5$.

   a. Calculer le taux de variation de $g$ entre $0$ et $4$.

   b. Calculer le taux de variation de $g$ entre $-2$ et $7$.

   c. Que remarque-t-on ? Expliquer pourquoi ce résultat était prévisible pour une fonction affine.

3. On considère la fonction $k$ définie pour tout $x\mathrm{\ne }0$ par $k(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. Calculer le taux de variation de $k$ :

   a. entre $1$ et $2$ ;

   b. entre $1$ et $1+t$, où $t$ est un réel non nul tel que $1+t\mathrm{\ne }0$.

Dans un repère, $\mathcal{P}$ désigne la parabole représentant la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$. On note $A(1;1)$ le point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $1$ et, pour tout réel $m\mathrm{\ne }1$, $M$ le point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $m$.

1. Justifier que la pente de la sécante $(AM)$ vaut ${\displaystyle \frac{m^2-1}{m-1}}$, puis montrer qu'elle est égale à $m+1$.

2. Calculer cette pente pour :

   a. $m=3$

   b. $m=2$

   c. $m=\mathrm{1,5}$

   d. $m=\mathrm{1,1}$

   e. $m=\mathrm{1,01}$

   f. $m=\mathrm{1,001}$

3. Vers quelle valeur ces pentes semblent-elles se rapprocher lorsque le point $M$ se rapproche du point $A$ ? Comment cette valeur s'interprète-t-elle pour la parabole $\mathcal{P}$ ?

Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[-4;4]$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est donnée ci-dessous, ainsi que ses tangentes (tracées en pointillés) aux points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'abscisses respectives $-3$, $-1$, $1$ et $3$. Le quadrillage est d'unité $1$.

Toutes les lectures se font graphiquement.

1. Lire les valeurs de :

   a. $f(-3)$ et $f(-1)$

   b. $f(1)$ et $f(3)$

2. Lire les valeurs de $f^{\mathrm{\prime }}(-3)$, $f^{\mathrm{\prime }}(-1)$, $f^{\mathrm{\prime }}(1)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(3)$, en expliquant la méthode utilisée.

3. En quels points de la courbe la tangente est-elle parallèle à l'axe des abscisses ?

4. Donner une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point $B$.

Une bille est lâchée sans vitesse initiale. La distance (en mètres) qu'elle a parcourue au bout de $t$ secondes est modélisée par $d(t)=5t^2$, pour $t\in [0;4]$.

On rappelle que la vitesse moyenne de la bille entre les instants $a$ et $b$ (en secondes, avec $a\mathrm{\ne }b$) est le taux de variation ${\displaystyle \frac{d(b)-d(a)}{b-a}}$, exprimé en mètres par seconde (m/s).

1. Quelle distance la bille a-t-elle parcourue à l'instant $t=2$ ? À l'instant $t=3$ ?

2. Calculer la vitesse moyenne de la bille, en m/s :

   a. entre $t=2$ et $t=3$ ;

   b. entre $t=2$ et $t=\mathrm{2,5}$ ;

   c. entre $t=2$ et $t=\mathrm{2,1}$.

3. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$ tel que $2+h\in [0;4]$, la vitesse moyenne de la bille entre les instants $t=2$ et $t=2+h$ vaut $20+5h$.

4. Que devient cette vitesse moyenne lorsque $h$ se rapproche de $0$ ? Interpréter cette valeur, puis la convertir en km/h.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

1. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$, le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3+h$ vaut $6+h$.

2. En déduire que $f$ est dérivable en $3$ et donner la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(3)$.

3. Reprendre la même démarche au point d'abscisse $-2$ : calculer le taux de variation de $f$ entre $-2$ et $-2+h$ (pour $h\mathrm{\ne }0$), puis en déduire que $f$ est dérivable en $-2$ et donner la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(-2)$.

4. Interpréter graphiquement les deux nombres obtenus.

On considère la fonction inverse $f$, définie pour tout $x\mathrm{\ne }0$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

1. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$ tel que $2+h\mathrm{\ne }0$, le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ vaut $-{\displaystyle \frac{1}{2(2+h)}}$. On pourra commencer par réduire $f(2+h)-f(2)$ au même dénominateur.

2. En déduire que $f$ est dérivable en $2$ et donner la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(2)$.

3. De la même façon, calculer le taux de variation de $f$ entre $-1$ et $-1+h$ (pour $h\mathrm{\ne }0$ tel que $-1+h\mathrm{\ne }0$), puis en déduire que $f$ est dérivable en $-1$ et donner la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(-1)$.

4. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$. On rappelle que la tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$.

Une fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[-\mathrm{3,5};3]$. Sa courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ est donnée ci-dessous ; on y a marqué les points $A(-2;1)$, $B(0;2)$ et $C(2;0)$.

On donne : $f^{\mathrm{\prime }}(-2)=1$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)=-2$.

1. Reproduire l'allure de la figure, puis construire les tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ aux points $A$, $B$ et $C$. (Méthode pour le point $A$ : à partir de $A$, avancer de $1$ en abscisse et de $f^{\mathrm{\prime }}(-2)$ en ordonnée ; on obtient un second point de la tangente.)

2. Déterminer une équation de chacune de ces trois tangentes.

3. La tangente en $A$ passe-t-elle par le point de coordonnées $(1;4)$ ? Justifier.

Dans chacun des cas suivants, $f$ est une fonction dérivable en $a$ ; on donne la valeur de $f(a)$ et celle de $f^{\mathrm{\prime }}(a)$.

1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.

   a. $f(2)=3$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)=5$ ;

   b. $f(-1)=2$ et $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-3$ ;

   c. $f(0)=-4$ et $f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ;

   d. $f(4)=0$ et $f^{\mathrm{\prime }}(4)=0$.

2. L'une de ces quatre tangentes est parallèle à l'axe des abscisses : laquelle ? Justifier.

3. La tangente obtenue au cas a. passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifier.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+1$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Calculer $f(2)$.

2. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$, le taux de variation de $f$ entre $2$ et $2+h$ vaut $h+1$. En déduire que $f$ est dérivable en $2$ et donner la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(2)$.

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.

4. Étudier le signe de $f(x)-(x-3)$ pour tout réel $x$, et en déduire la position relative de $\mathcal{C}$ et de $T$.

5. À l'aide de l'approximation linéaire de $f$ au voisinage de $2$, donner une valeur approchée de $f(\mathrm{2,01})$, puis la comparer à la valeur exacte.

On rappelle les résultats établis dans le cours : la fonction carré est dérivable en $1$ et son nombre dérivé en $1$ vaut $2$ ; la fonction inverse est dérivable en $1$ et son nombre dérivé en $1$ vaut $-1$ ; la fonction racine carrée est dérivable en $1$ et son nombre dérivé en $1$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

1. Pour chacune de ces trois fonctions, écrire l'approximation linéaire de $f(1+h)$ lorsque $h$ est proche de $0$.

2. En déduire, sans calculatrice, une valeur approchée de chacun des nombres suivants.

   a. $(\mathrm{1,03}{)}^2$

   b. $(\mathrm{0,98}{)}^2$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,02}}}$

   d. $\sqrt{\mathrm{1,02}}$

3. Comparer chaque valeur approchée à la valeur donnée par la calculatrice (arrondie à ${10}^{-4}$ près) et commenter la qualité de l'approximation.

Une entreprise fabrique $q$ objets par jour, où $q$ est un réel de l'intervalle $[0;200]$ (la production peut être fractionnée). Le coût total de production, exprimé en euros, est modélisé par :

1. Calculer $C(50)$, puis le coût moyen de fabrication d'un objet lorsque l'entreprise en produit $50$.

2. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$ tel que $0⩽50+h⩽200$, le taux de variation de $C$ entre $50$ et $50+h$ vaut $30+\mathrm{0,1}h$.

3. En déduire $C^{\mathrm{\prime }}(50)$. Dans ce contexte, le nombre $C^{\mathrm{\prime }}(50)$ est appelé coût marginal au rang $50$ : que représente-t-il concrètement ? (On pourra utiliser l'approximation linéaire de $C(50+h)$ avec $h=1$.)

4. Calculer $C(51)-C(50)$ et comparer le résultat à $C^{\mathrm{\prime }}(50)$.

On considère le script Python suivant, dans lequel deux lignes sont à compléter :

def pentes(f, a, pas, n):
    liste = []
    h = pas
    for i in range(n):
        taux = ...
        liste.append(taux)
        h = ...
    return liste

1. Compléter le script pour que la fonction pentes renvoie la liste des coefficients directeurs des sécantes à la courbe de $f$ entre le point d'abscisse $a$ et le point d'abscisse $a+h$, pour $h$ prenant successivement les valeurs pas, pas/10, pas/100, etc.

2. On définit en Python la fonction $f:x\mapsto x^2$, puis on exécute pentes(f, 1, 0.1, 4). Quelle liste est renvoyée ? Justifier la réponse par un calcul du taux de variation de $f$ entre $1$ et $1+h$, sans exécuter le script.

3. Que peut-on conjecturer à la lecture de cette liste ?

4. On exécute maintenant pentes(f, 0, 0.1, 4) où $f$ est cette fois la fonction racine carrée (importée par from math import sqrt). L'affichage obtenu est :

[3.162..., 10.0, 31.62..., 100.0]

Expliquer ce comportement à l'aide du taux de variation de la fonction racine carrée entre $0$ et $h$. Que peut-on en conclure quant à la dérivabilité de la fonction racine carrée en $0$ ?

Sur la figure ci-dessus, on a représenté la courbe ${\mathcal{C}}_g$ d'une fonction $g$ et la droite $T$, tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point $A(1;2)$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement la réponse à l'aide d'une lecture graphique.

On considère la fonction carré $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. Soit $a$ un réel quelconque.

1. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ vaut $2a+h$.

2. En déduire que $f$ est dérivable en $a$ et exprimer $f^{\mathrm{\prime }}(a)$ en fonction de $a$.

3. En quel point de $\mathcal{C}$ la tangente est-elle horizontale ?

4. En quel point de $\mathcal{C}$ la tangente est-elle parallèle à la droite $d$ d'équation $y=6x-1$ ? Déterminer une équation de cette tangente.

5. Existe-t-il un point de $\mathcal{C}$ en lequel la tangente a pour coefficient directeur $-5$ ? Si oui, préciser ses coordonnées.

On considère la fonction inverse $f$, définie sur $]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, et on note $\mathcal{H}$ sa courbe représentative (une hyperbole). Soit $a$ un réel non nul.

1. Soit $h$ un réel non nul tel que $a+h\mathrm{\ne }0$. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ vaut $-{\displaystyle \frac{1}{a(a+h)}}$.

2. En déduire que $f^{\mathrm{\prime }}(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$.

3. Justifier qu'aucune tangente à $\mathcal{H}$ n'a un coefficient directeur positif ou nul.

4. Déterminer les points de $\mathcal{H}$ en lesquels la tangente a pour coefficient directeur $-4$.

5. Déterminer les points de $\mathcal{H}$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite $D$ d'équation $y=-x+3$, puis donner une équation de chacune de ces tangentes.

Quand on remplace $f(a+h)$ par $f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)h$, on commet une erreur. Cet exercice la calcule exactement dans deux cas, pour comprendre pourquoi elle devient si vite négligeable.

Partie A — La fonction carré.

Soit $a$ un réel. On rappelle que le nombre dérivé de la fonction carré en $a$ vaut $2a$.

1. Rappeler l'approximation linéaire de $(a+h{)}^2$ pour $h$ proche de $0$. Calculer exactement la différence $(a+h{)}^2-(a^2+2ah)$. Que remarque-t-on ?

2. Application. Sans calculatrice, donner l'approximation linéaire de $(\mathrm{2,01}{)}^2$, puis l'erreur commise et la valeur exacte.

Partie B — La fonction inverse en $1$.

3. Rappeler pourquoi, pour $h$ proche de $0$ (avec $h\mathrm{\ne }-1$), on a ${\displaystyle \frac{1}{1+h}}\approx 1-h$. Montrer que l'erreur vaut exactement :

4. Calculer une valeur approchée de cette erreur pour $h=\mathrm{0,01}$, puis pour $h=\mathrm{0,1}$.

Partie C — Pourquoi l'erreur est-elle « négligeable » ?

5. Dans chacun des deux cas, diviser l'erreur par $h$ et étudier ce que devient ce quotient quand $h$ se rapproche de $0$. Expliquer en quoi cela justifie la phrase : « l'erreur est négligeable devant $h$ », autrement dit l'erreur se comporte « comme $h^2$ ».

Une voiture freine en urgence. La distance parcourue (en mètres) depuis le début du freinage est modélisée par :

où $t$ est le temps écoulé en secondes depuis le début du freinage.

1. Calculer $d(0)$ et $d(2)$. Que représente concrètement $d(2)$ ?

2. Calculer la vitesse moyenne de la voiture sur l'intervalle $[0;2]$.

3. Soit $h$ un réel non nul tel que $1+h\in [0;2]$. Montrer que le taux de variation de $d$ entre $1$ et $1+h$ vaut $10-5h$. En déduire la vitesse instantanée de la voiture à l'instant $t=1$.

4. Soit $a\in [0;2[$ et $h$ un réel non nul tel que $a+h\in [0;2]$. Montrer que le taux de variation de $d$ entre $a$ et $a+h$ vaut $20-10a-5h$. En déduire la vitesse instantanée $v(a)$ à l'instant $a$.

5. Vérifier que la vitesse instantanée à l'instant $t=2$ est nulle. Qu'est-ce que cela signifie pour la voiture ?

6. Quelle était la vitesse de la voiture au début du freinage, en $\text{m/s}$ puis en $\text{km/h}$ ?

La figure représente la parabole $\mathcal{C}$ d'équation $y=x^2$ et le point $P(0;-4)$, situé sous la parabole. Le but de l'exercice est de déterminer les tangentes à $\mathcal{C}$ qui passent par $P$.

On admet que pour tout réel $a$, le nombre dérivé de la fonction carré en $a$ vaut $2a$. (On pourra le redémontrer : calculer le taux de variation de la fonction carré entre $a$ et $a+h$, avec $h\mathrm{\ne }0$, puis faire tendre $h$ vers $0$.)

1. Montrer que la tangente $T_a$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :

2. Montrer que $T_a$ passe par $P$ si et seulement si $a^2=4$.

3. En déduire qu'il existe exactement deux tangentes à $\mathcal{C}$ passant par $P$. Donner une équation de chacune, ainsi que les coordonnées des points de contact avec la parabole.

4. Reproduire la figure et tracer ces deux tangentes.

5. Pour aller plus loin. Le point $Q(0;1)$ est situé au-dessus de la parabole (car $1>0^2$). Montrer qu'aucune tangente à $\mathcal{C}$ ne passe par $Q$. Proposer une interprétation géométrique de ce résultat.

La figure représente la parabole $\mathcal{C}$ d'équation $y=x^2$, la corde joignant les points $A(-1;1)$ et $B(2;4)$ de $\mathcal{C}$ (droite grise), ainsi que la tangente à $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Les deux droites semblent parallèles : l'exercice le démontre, et en toute généralité.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$, et $A(a;a^2)$, $B(b;b^2)$ les points de $\mathcal{C}$ correspondants.

1. Montrer que le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut $a+b$. (On reconnaîtra le taux de variation de la fonction carré entre $a$ et $b$.)

2. Vérifier ce résultat dans le cas de la figure, avec $A(-1;1)$ et $B(2;4)$.

3. On rappelle que le nombre dérivé de la fonction carré en $m$ vaut $2m$. Déterminer l'abscisse $m$ du point de $\mathcal{C}$ en lequel la tangente est parallèle à la droite $(AB)$. Que remarque-t-on ?

4. Dans le cas de la figure, donner une équation de cette tangente et vérifier qu'elle passe par le point $M({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{4}})$.

5. Pour aller plus loin. Reprendre les questions 1 et 3 avec la parabole d'équation $y=x^2+px+q$, où $p$ et $q$ sont deux réels fixés. (On calculera le nombre dérivé en $m$ à l'aide du taux de variation entre $m$ et $m+h$.) Le phénomène observé persiste-t-il ?

On étudie la dérivabilité de plusieurs fonctions en un point, en revenant à la définition : le taux de variation doit se rapprocher d'un réel unique. Les trois parties sont indépendantes.

Partie A — La racine carrée en $0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)=\sqrt{x}$.

1. Rappeler pourquoi le taux de variation de $f$ entre $0$ et $h$ (avec $h>0$) vaut ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}}$.

2. Calculer ce taux pour :

   a. $h=\mathrm{0,01}$

   b. $h=\mathrm{0,0001}$

   c. $h={10}^{-6}$

   Que constate-t-on ?

3. La fonction racine carrée est-elle dérivable en $0$ ? Interpréter graphiquement.

Partie B — Une fonction proche, un verdict différent.

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)=x\sqrt{x}$.

4. Montrer que le taux de variation de $g$ entre $0$ et $h$ (avec $h>0$) vaut $\sqrt{h}$.

5. En déduire que $g$ est dérivable en $0$ et préciser $g^{\mathrm{\prime }}(0)$. Quelle est la tangente à la courbe de $g$ à l'origine ?

Partie C — La racine carrée ailleurs qu'en $0$.

6. Soit $h$ un réel non nul tel que $h⩾-4$. Montrer, en utilisant la quantité conjuguée, que le taux de variation de $f:x⟼\sqrt{x}$ entre $4$ et $4+h$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4+h}+2}}$.

7. En déduire que $f$ est dérivable en $4$, donner $f^{\mathrm{\prime }}(4)$, puis une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $4$.

Conclusion.

8. Conclure d'une phrase : que signifie « être dérivable » pour une fonction en un point, et pourquoi cette propriété se vérifie-t-elle point par point ?