Devoir surveillé — Dérivation : point de vue local

On donne ci-dessous la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[-4;4]$. Trois points de la courbe sont marqués : $A$, $B$ et $C$, d'abscisses respectives $-2$, $0$ et $2$. Les tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ en ces trois points sont tracées. La grille est unitaire : chaque carreau mesure une unité de côté.

1. Lire graphiquement $f(-2)$, $f(0)$ et $f(2)$.

2. Lire graphiquement $f^{\mathrm{\prime }}(-2)$, $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)$. On expliquera la méthode de lecture utilisée.

3. Donner une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point $A$, puis au point $B$.

4. La tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point $C$ passe-t-elle par le point de coordonnées $(4;-2)$ ? Justifier par le calcul.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+1$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. Calculer $f(3)$.

2. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$, le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3+h$ vaut $h+2$.

3. En déduire que $f$ est dérivable en $3$ et donner la valeur de $f^{\mathrm{\prime }}(3)$.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $3$.

5. À l'aide de l'approximation linéaire, donner une valeur approchée de $f(\mathrm{3,01})$. Calculer ensuite la valeur exacte de $f(\mathrm{3,01})$, puis l'erreur commise.

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ par $g(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$. On note $\mathcal{H}$ sa courbe représentative.

1. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$ tel que $h>-2$, le taux de variation de $g$ entre $2$ et $2+h$ vaut $-{\displaystyle \frac{1}{2(2+h)}}$.

2. En déduire que $g$ est dérivable en $2$ et donner la valeur de $g^{\mathrm{\prime }}(2)$.

3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{H}$ au point d'abscisse $2$.

4. On admet que, pour tout réel $a>0$, $g^{\mathrm{\prime }}(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$. Existe-t-il d'autres points de $\mathcal{H}$ en lesquels la tangente est parallèle à $T$ ? Justifier.

5. Donner, à l'aide de l'approximation linéaire, une valeur approchée de ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,02}}}$.

Une balle est lancée verticalement vers le haut. Sa hauteur au-dessus du sol, exprimée en mètres, à l'instant $t$ (exprimé en secondes) est donnée par :

$$d(t)=-5t^2+20t,t\in [0;4]\mathrm{.}$$

1. Calculer $d(1)$ et $d(3)$. Que remarque-t-on ?

2. Calculer la vitesse moyenne de la balle entre les instants $t=1$ et $t=3$. Ce résultat signifie-t-il que la balle est restée immobile entre ces deux instants ? Commenter.

3. Montrer que, pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$ tel que $1+h\in [0;4]$, le taux de variation de $d$ entre $1$ et $1+h$ vaut $10-5h$. En déduire la vitesse instantanée de la balle à l'instant $t=1$.

4. On admet que la vitesse instantanée de la balle à l'instant $a$ vaut $v(a)=20-10a$. À quel instant la vitesse instantanée est-elle nulle ? Que fait la balle à cet instant ? Quelle est alors sa hauteur ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier soigneusement : une démonstration est attendue pour une affirmation vraie, un contre-exemple suffit pour réfuter une affirmation fausse. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

a. Si $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, alors la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est parallèle à l'axe des abscisses.

b. Pour tout réel $h\mathrm{\ne }0$, le taux de variation de la fonction carré entre $1$ et $1+h$ vaut $2+h$.

c. La tangente à la parabole d'équation $y=x^2$ au point d'abscisse $1$ passe par le point $(2;3)$.

d. Si la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ passe par un point $B$, alors la courbe de $f$ passe aussi par $B$.

e. La fonction racine carrée est dérivable en $0$.