Exercices — Nombres complexes : géométrie et trigonométrie

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. Les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ sont placés sur la figure ci-dessous.

1. Lire graphiquement l'affixe de chacun des six points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$.

2. Reproduire la figure, puis y placer les points $G$, $H$ et $K$ d'affixes respectives $z_G=1-2i$, $z_H=-2+i$ et $z_K=3$.

3. Parmi les neuf points de la figure complétée, indiquer ceux dont l'affixe est un nombre réel, puis ceux dont l'affixe est un imaginaire pur.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère le point $M$ d'affixe $z=2+i$, ainsi que les points $P$, $Q$ et $R$ placés sur la figure ci-dessous.

1. Lire graphiquement les affixes $z_P$, $z_Q$ et $z_R$.

2. Exprimer chacune de ces trois affixes en fonction de $z$, en utilisant uniquement le conjugué $\bar{z}$ et le signe $-$.

3. Généraliser : pour un point $M$ d'affixe $z$ quelconque, préciser la symétrie qui transforme $M$ en le point d'affixe :

   a. $\bar{z}$

   b. $-z$

   c. $-\bar{z}$

4. Application : soit $N$ le point d'affixe $z_N=-1+4i$. Donner, sans poser de calcul, les affixes des symétriques de $N$ par rapport à l'axe des abscisses, par rapport à l'origine $O$, puis par rapport à l'axe des ordonnées.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

1. Calculer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. Calculer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$.

3. Déterminer l'affixe du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.

4. On rappelle que le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ vérifie $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Montrer que $z_G={\displaystyle \frac{z_A+z_B+z_C}{3}}$, puis calculer $z_G$.

1. Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

   a. $z_1=3+4i$

   b. $z_2=1-i$

   c. $z_3=-5$

   d. $z_4=2i$

   e. $z_5=\sqrt{3}+i$

   f. $z_6=-2-2i$

   g. $z_7=-1+i\sqrt{3}$

   h. $z_8=5-12i$

2. En utilisant les propriétés du module (produit, quotient, puissance), calculer sans développer :

   a. $\mid (3+4i)(1-i)\mid$

   b. $\mid {\displaystyle \frac{1-i}{3+4i}}\mid$

   c. $\mid (1+i{)}^6\mid$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

1. Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$.

2. En déduire la nature du triangle $ABC$. Est-il rectangle ? On justifiera soigneusement.

3. Soit $M$ un point quelconque du plan, d'affixe $z$. Que représente géométriquement le nombre réel $\mathrm{\mid }z-(2-i)\mathrm{\mid }$ ?

4. Déterminer l'affixe du ou des points de l'axe des réels situés à la distance $\sqrt{5}$ du point $A$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. Pour chaque question, déterminer et décrire précisément l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant la condition donnée. Chaque réponse sera justifiée en traduisant le module en termes de distance.

1. $\mathrm{\mid }z-2\mathrm{\mid }=3$

2. $\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }$

3. $\mathrm{\mid }z-1+2i\mathrm{\mid }⩽2$

4. $\mathrm{\mid }\bar{z}-3\mathrm{\mid }=1$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.

1. Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants :

   a. $z_1=3$

   b. $z_2=-2$

   c. $z_3=5i$

   d. $z_4=-i$

   e. $z_5=1+i$

   f. $z_6=-1+i$

   g. $z_7=\sqrt{3}+i$

   h. $z_8=1-i\sqrt{3}$

2. Justifier soigneusement les réponses obtenues pour $z_5$ et $z_7$ : on placera le point image dans le repère, puis on retrouvera l'argument à l'aide du module et de la trigonométrie.

On pose $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}+i$.

1. Déterminer le module et un argument de $z_1$, puis de $z_2$.

2. En utilisant uniquement les propriétés des arguments (produit, quotient, puissance, conjugué, opposé), déterminer un argument de chacun des nombres suivants :

   a. $z_1{z}_2$

   b. ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$

   c. $z_1^2$

   d. $\overline{z_1}$

   e. $-z_2$

3. Le nombre ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ a pour argument une valeur remarquablement petite. Sans calculer sa forme algébrique, expliquer pourquoi le point image de ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ est proche de l'axe des abscisses, du côté des réels positifs.

1. Mettre chacun des nombres complexes suivants sous forme trigonométrique $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ avec $r>0$ :

   a. $z_1=1+i$

   b. $z_2=-\sqrt{3}+i$

   c. $z_3=-4$

   d. $z_4=3i$

   e. $z_5={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$

   f. $z_6=-1-i$

2. Donner la forme algébrique de $z=2(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$.

3. Un élève affirme que $w=-2(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}})$ est écrit sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi il se trompe, puis écrire $w$ sous forme trigonométrique.

1. Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme exponentielle :

   a. $2i$

   b. $-3$

   c. $1+i$

   d. $\sqrt{3}-i$

   e. $-2-2i\sqrt{3}$

   f. ${\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}$

2. Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique :

   a. $4e^{-i\pi \mathrm{/}3}$

   b. $\sqrt{2}{e}^{3i\pi \mathrm{/}4}$

On considère les nombres complexes $z_1=2e^{i\pi \mathrm{/}6}$ et $z_2=\sqrt{2}{e}^{-i\pi \mathrm{/}4}$.

1. Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme exponentielle :

   a. $z_1{z}_2$

   b. ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$

   c. $z_1^3$

   d. $\overline{z_2}$

   e. ${\displaystyle \frac{1}{z_1}}$

2. En déduire la forme algébrique de $z_1^3$.

1. a. Écrire $1+i$ sous forme exponentielle.

   b. En déduire la forme algébrique de $(1+i{)}^{10}$.

2. On pose $z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{i}{2}}$.

   a. Écrire $z$ sous forme exponentielle.

   b. En déduire la forme algébrique de $z^{2026}$.

3. Déterminer les entiers naturels $n$ pour lesquels $(1+i{)}^n$ est un nombre réel.

1. Valeurs exactes en ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$.

   a. Vérifier que ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

   b. En déduire les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ et de $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$.

   c. À l'aide d'un angle associé, en déduire la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$.

2. Formules de duplication. Soit $\theta \in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0[$ tel que $\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$.

   a. Calculer la valeur exacte de $\sin \theta$.

   b. En déduire les valeurs exactes de $\cos (2\theta )$ et de $\sin (2\theta )$.

On rappelle les formules d'Euler : pour tout réel $\theta$, $\cos \theta ={\displaystyle \frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ et $\sin \theta ={\displaystyle \frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$.

1. Linéariser ${\cos }^2\theta$, c'est-à-dire l'exprimer sans puissance, en fonction de $\cos (2\theta )$.

2. À l'aide de la formule du binôme, linéariser ${\sin }^3\theta$ en fonction de $\sin \theta$ et $\sin (3\theta )$.

3. L'opération inverse. À l'aide de la formule de Moivre et de la formule du binôme, exprimer $\cos (3\theta )$ en fonction de $\cos \theta$ uniquement.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives

1. Calculer ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$ et l'écrire sous forme algébrique.

2. En déduire la valeur de ${\displaystyle \frac{AC}{AB}}$ et une mesure de l'angle $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, puis la nature du triangle $ABC$.

3. Retrouver ce résultat en calculant les distances $AB$, $AC$ et $BC$.

On rappelle que $\mathbb{U}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de module $1$.

1. Soient $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ deux éléments de $\mathbb{U}$.

   a. Montrer que $z{z}^{\mathrm{\prime }}\in \mathbb{U}$.

   b. Justifier que $z\mathrm{\ne }0$, puis montrer que ${\displaystyle \frac{1}{z}}\in \mathbb{U}$.

2. Montrer que, pour tout $z\in \mathbb{U}$, on a ${\displaystyle \frac{1}{z}}=\bar{z}$.

3. Vérifier que $z={\displaystyle \frac{3+4i}{5}}$ appartient à $\mathbb{U}$, et donner sans calcul supplémentaire la forme algébrique de ${\displaystyle \frac{1}{z}}$.

4. Pour aller plus loin. Soit $z\in \mathbb{U}$ avec $z\mathrm{\ne }-1$. Montrer que ${\displaystyle \frac{1+z}{1+\bar{z}}}=z$.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère la suite $(z_n)$ définie par $z_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$,

Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$, et on pose $q={\displaystyle \frac{1+i}{2}}$.

1. Écrire $q$ sous forme exponentielle.

2. Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme algébrique, et vérifier la cohérence avec la figure.

3. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $z_n=4{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^n{e}^{in\pi \mathrm{/}4}$.

4. Exprimer la distance $O{A}_n$ en fonction de $n$, puis déterminer la limite de la suite $(O{A}_n)$. Interpréter géométriquement.

5. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $O$, $A_n$ et $A_{n+8}$ sont alignés.

6. Calculer ${\displaystyle \frac{0-z_{n+1}}{z_n-z_{n+1}}}$ et en déduire la nature du triangle $O{A}_n{A}_{n+1}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera démontrée ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple.

1. Pour tous nombres complexes $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$, on a $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$.

2. Pour tout nombre complexe $z$ non nul, $\arg (\bar{z})=-\arg (z)[2\pi ]$.

3. Pour tout réel $\theta$, $\mid e^{i\theta }\mid =1$.

4. Si $z^2$ est un nombre réel, alors $z$ est un nombre réel.

5. Si $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$, alors $z=z^{\mathrm{\prime }}$ ou $z=-z^{\mathrm{\prime }}$.

6. Pour tous réels $\theta$ et ${\theta }^{\mathrm{\prime }}$ : $e^{i\theta }=e^{i{\theta }^{\mathrm{\prime }}}$ si et seulement si $\theta ={\theta }^{\mathrm{\prime }}[2\pi ]$.

7. Le nombre complexe $z=-3e^{i\pi \mathrm{/}5}$ a pour module $-3$ et pour argument ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$.

8. Soient $A$, $B$, $C$ trois points deux à deux distincts d'affixes $a$, $b$, $c$. Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$ est un nombre réel.