Devoir surveillé — Nombres complexes : géométrie et trigonométrie

Les résultats de la question 1 peuvent être réutilisés dans la question 3. Tous les arguments seront donnés dans $]-\pi ;\pi ]$.

1. Écrire chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle :

   a. (0,5 pt) $z_1=\sqrt{3}+i$

   b. (0,5 pt) $z_2=-2+2i$

   c. (0,5 pt) $z_3=-3i$

   d. (1 pt) $z_4={\displaystyle \frac{6}{1+i\sqrt{3}}}$

2. Propriétés du module.

   a. (0,5 pt) Calculer $\mid (3+4i)(1-i)\mid$ sans développer le produit.

   b. (0,5 pt) Calculer $\mid {\displaystyle \frac{(1+i{)}^5}{(2-2i{)}^2}}\mid$.

   c. (0,5 pt) Soit $z$ un nombre complexe non nul. Justifier que ${\displaystyle \frac{z}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}}\in \mathbb{U}$.

3. (1 pt) À l'aide de la formule de Moivre, calculer ${(\sqrt{3}+i)}^6$ et donner le résultat sous forme algébrique.

On considère les nombres complexes $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$, et on pose $Z={\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$.

1. (1,5 pt) Déterminer le module et un argument de $z_1$, puis de $z_2$. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

2. (1 pt) Calculer la forme algébrique de $Z$.

3. (1 pt) Écrire $Z$ sous forme exponentielle. En déduire le module et un argument de $Z$.

4. (1 pt) En comparant les résultats des questions 2 et 3, déterminer les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.

5. (0,5 pt) Retrouver la valeur de $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ à l'aide d'une formule d'addition, en remarquant que ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

$$a=2+i,b=5+2i,c=1+4i\mathrm{.}$$

1. a. (1,5 pt) Calculer la forme algébrique du quotient ${\displaystyle \frac{c-a}{b-a}}$.

   b. (1 pt) En déduire la nature du triangle $ABC$. On justifiera à l'aide du module et d'un argument du quotient précédent.

2. Soit $\mathrm{\Omega }$ le point d'affixe $\omega =3+3i$.

   a. (0,5 pt) Vérifier que $\mathrm{\Omega }$ est le milieu du segment $[BC]$.

   b. (1 pt) Déterminer la nature de l'ensemble $\mathrm{\Gamma }$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\mathrm{\mid }z-(3+3i)\mathrm{\mid }=\sqrt{5}$, puis démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent tous à $\mathrm{\Gamma }$. Expliquer pourquoi ce résultat était prévisible d'après la question 1.

3. (1 pt) Soit $D$ le point d'affixe $d=8+3i$. Démontrer que les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1. (1,5 pt) À l'aide des formules d'Euler, démontrer que pour tout réel $\theta$ :

   $${\cos }^3\theta ={\displaystyle \frac{\cos (3\theta )+3\cos \theta }{4}}\mathrm{.}$$

   On rappelle que $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$.

2. (1 pt) Développer ${(\cos \theta +i\sin \theta )}^2$ de deux façons : d'une part à l'aide de la formule de Moivre, d'autre part en développant le carré. En déduire les expressions de $\cos (2\theta )$ et $\sin (2\theta )$ en fonction de $\cos \theta$ et $\sin \theta$.

3. On considère la suite $(z_n)$ de nombres complexes définie par $z_0=8$ et, pour tout entier naturel $n$ :

   $$z_{n+1}=q{z}_n\text{avec}q={\displaystyle \frac{1+i}{2}}\mathrm{.}$$

   a. (0,5 pt) Écrire $q$ sous forme exponentielle.

   b. (0,5 pt) Justifier que pour tout entier naturel $n$, $z_n=8{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^n{e}^{in\pi \mathrm{/}4}$.

   c. (1 pt) Déterminer le plus petit entier $n⩾1$ tel que $z_n$ soit un nombre réel, et donner alors la valeur de $z_n$.

   d. (0,5 pt) Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$.