Exercices — Nombres complexes : point de vue algébrique

1. Pour chacun des nombres complexes suivants, donner sa partie réelle $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$ et sa partie imaginaire $\mathrm{I}\mathrm{m}(z)$. On commencera par simplifier l'écriture lorsque c'est nécessaire.

   a. $z_1=3-2i$

   b. $z_2=-5+i$

   c. $z_3=\sqrt{2}$

   d. $z_4=-7i$

   e. $z_5={\displaystyle \frac{4-6i}{2}}$

   f. $z_6=3+2i-5i+1$

   g. $z_7=i^2$

   h. $z_8=2i-5i$

2. Parmi les nombres $z_1$ à $z_8$, lesquels sont réels ? Lesquels sont imaginaires purs ? Justifier à l'aide des parties réelles et imaginaires.

Mettre chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique $a+ib$, avec $a$ et $b$ réels.

1. Sommes et différences :

   a. $(3+2i)+(5-4i)$

   b. $(2-i)-(4+3i)$

   c. $3(1+2i)-2(4-i)$

   d. $({\displaystyle \frac{1}{2}}+i)+({\displaystyle \frac{3}{2}}-4i)$

   e. $5i-(2+5i)$

   f. $(1+i)+(1-i)$

2. Produits :

   a. $(2+3i)(1-i)$

   b. $(4-i)(2+5i)$

   c. $2i(3-4i)$

   d. $(-1+2i)(3+i)$

3. À l'aide des identités remarquables :

   a. $(3+2i)(3-2i)$

   b. $(1+i{)}^2$

   c. $(2-3i{)}^2$

   d. $(5+i)(5-i)$

1. Calculer les puissances suivantes :

   a. $i^3$

   b. $i^4$

   c. $i^5$

   d. $i^6$

   e. $i^7$

   f. $i^8$

2. Quelle propriété observe-t-on sur la suite des puissances de $i$ ? Énoncer une règle permettant de calculer $i^n$ pour tout entier naturel $n$, à l'aide du reste de la division euclidienne de $n$ par $4$.

3. En déduire la forme algébrique de $i^{2026}$ et de $i^{2027}$.

4. a. Calculer la somme $S=1+i+i^2+i^3$. En déduire la valeur de $1+i+i^2+\cdots +i^7$.

   b. Calculer la somme $1+i+i^2+\cdots +i^{2026}$.

On rappelle que deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Dans chaque cas, déterminer tous les couples de réels $(x;y)$ vérifiant l'égalité.

1. $(2x-1)+(y+3)i=5+2i$

2. $x(2+i)+y(1-i)=5+i$

3. $(x+iy)(1+i)=3-i$

1. Donner le conjugué de chacun des nombres complexes suivants (on simplifiera d'abord l'écriture si nécessaire) :

   a. $z_1=3+5i$

   b. $z_2=-2-i$

   c. $z_3=7i$

   d. $z_4=-4$

   e. $z_5={\displaystyle \frac{1}{2}}-3i$

   f. $z_6=i(2-i)$

2. Pour chacun des nombres complexes suivants, calculer $z+\bar{z}$ puis $z\times \bar{z}$. Que remarque-t-on sur la nature de ces deux résultats ?

   a. $z=4+3i$

   b. $z=-2+i$

3. On pose $z_1=2+i$ et $z_2=1-3i$.

   a. Calculer $z_1{z}_2$, puis $\overline{z_1{z}_2}$.

   b. Calculer $\overline{z_1}\times \overline{z_2}$. Quelle propriété du conjugué vient-on de vérifier sur cet exemple ?

Dans tout l'exercice, $z=x+iy$ désigne un nombre complexe quelconque, avec $x$ et $y$ réels.

On rappelle qu'un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, et imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.

1. On pose $Z=(2z-i)(1+i)$.

   a. Exprimer $\mathrm{R}\mathrm{e}(Z)$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(Z)$ en fonction de $x$ et $y$.

   b. Déterminer les couples $(x;y)$ pour lesquels $Z$ est réel.

   c. Déterminer les couples $(x;y)$ pour lesquels $Z$ est imaginaire pur.

   d. Existe-t-il un nombre complexe $z$ pour lequel $Z$ est à la fois réel et imaginaire pur ? Si oui, le déterminer.

2. On pose $W=z^2+\bar{z}$.

   a. Exprimer $\mathrm{R}\mathrm{e}(W)$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}(W)$ en fonction de $x$ et $y$.

   b. Déterminer les couples $(x;y)$ pour lesquels $W$ est réel.

Méthode : pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

1. Mettre sous forme algébrique les inverses suivants :

   a. ${\displaystyle \frac{1}{i}}$

   b. ${\displaystyle \frac{1}{1+i}}$

   c. ${\displaystyle \frac{1}{2+i}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{3-4i}}$

2. Mettre sous forme algébrique les quotients suivants :

   a. ${\displaystyle \frac{3+i}{2-i}}$

   b. ${\displaystyle \frac{4-3i}{i}}$

   c. ${\displaystyle \frac{5-5i}{1-2i}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1+2i}{(1+i{)}^2}}$

1. On pose $z=1+2i$. Mettre sous forme algébrique le nombre $A=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$.

2. Mettre sous forme algébrique le nombre $B={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3+i}{1-i}}}{{\displaystyle \frac{2-i}{1+i}}}}$.

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes. On précisera d'abord la condition d'existence du quotient, et on vérifiera que la solution trouvée la respecte.

   a. ${\displaystyle \frac{z+2}{z-i}}=i$

   b. ${\displaystyle \frac{2z-i}{z+1-i}}=1+i$

On rappelle la formule du binôme de Newton : pour tous nombres complexes $a$ et $b$ et tout entier naturel $n⩾1$,

1. Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n=4$.

2. À l'aide de la formule du binôme et des coefficients lus dans le triangle, développer chacune des puissances suivantes, puis écrire le résultat sous forme algébrique :

   a. $(1+i{)}^3$

   b. $(1+i{)}^4$

   c. $(2-i{)}^3$

1. Une puissance astucieuse.

   a. Vérifier que $(1+i{)}^2=2i$.

   b. En déduire, sans développer par la formule du binôme, la forme algébrique de $(1+i{)}^{2026}$. On rappelle que les puissances de $i$ sont périodiques : $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

2. Un développement complet. À l'aide de la formule du binôme de Newton, développer $(1+2i{)}^4$ et écrire le résultat sous forme algébrique.

3. Question de réflexion. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $(1+i{)}^{4n}$ est un réel.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes. On donnera chaque solution sous forme algébrique.

1. $2z+1-i=0$

2. $(1+i)z=3-i$

3. $(2-i)z+1=iz+3$

4. ${\displaystyle \frac{z+1}{z-i}}=2$, d'inconnue $z\mathrm{\ne }i$.

Pour résoudre une équation faisant intervenir à la fois $z$ et $\bar{z}$, on pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues réelles.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes par cette méthode. On donnera chaque solution sous forme algébrique.

1. $2z+\bar{z}=6+i$

2. $z-2\bar{z}=-3+9i$

3. $z+2i\bar{z}=5+4i$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes :

   a. $z^2+4=0$

   b. $z^2-2z+5=0$

   c. $z^2+z+1=0$

   d. $2z^2-3z+4=0$

2. Vérifier que, pour chacune de ces équations, les deux solutions sont conjuguées l'une de l'autre.

Soit $m$ un réel. On considère l'équation d'inconnue $z$ :

1. Calculer le discriminant $\mathrm{\Delta }$ de cette équation et montrer que $\mathrm{\Delta }<0$ pour tout réel $m$.

2. En déduire les deux solutions $z_1$ et $z_2$ de l'équation, exprimées en fonction de $m$.

3. Calculer la somme $z_1+z_2$ et le produit $z_1{z}_2$ des solutions, puis vérifier que l'on retrouve les formules $z_1+z_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ et $z_1{z}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$.

4. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles le produit des solutions vaut $13$.

1. Une équation bicarrée. On considère l'équation dans $\mathbb{C}$ :

   $$z^4-2z^2-8=0$$

   a. En posant $Z=z^2$, montrer que l'équation se ramène à une équation du second degré d'inconnue $Z$, et résoudre cette dernière.

   b. En déduire toutes les solutions de l'équation de départ, sous forme algébrique.

2. Une équation avec le conjugué. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation

   $$z^2=\bar{z}$$

   en posant $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. On montrera que le problème revient à résoudre un système de deux équations réelles, et on discutera soigneusement tous les cas.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie doit être démontrée dans le cas général ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite.

1. Pour tout nombre complexe $z$, le nombre $z^2+{\bar{z}}^2$ est réel.

2. Si $z+\bar{z}=0$, alors $z=0$.

3. Toute équation du second degré à coefficients réels admet deux solutions complexes distinctes.

4. Pour tout entier $n⩾1$, le nombre $(1+i{)}^n+(1-i{)}^n$ est réel.

5. Le produit de deux imaginaires purs non nuls est un imaginaire pur.

6. $(1+i{)}^6=-8i$.