Devoir surveillé — Nombres complexes : point de vue algébrique

Les quatre questions sont indépendantes. Les calculs de cet exercice doivent être menés sans calculatrice ; toutes les réponses seront données sous forme algébrique $x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.

1. Calculs directs. Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique :

   a. (0,5 pt) $(3+2i)+(5-7i)$

   b. (0,5 pt) $i(2-5i)$

   c. (0,5 pt) $(2-3i)(4+i)$

   d. (0,5 pt) $(3-2i{)}^2$

2. Puissances de $i$. Calculer, en justifiant :

   a. (0,5 pt) $i^3$

   b. (0,5 pt) $i^{2026}$

3. Conjugués. On pose $z_1=4-3i$ et $z_2=-5+i$.

   a. (0,5 pt) Donner $\overline{z_1}$ et $\overline{z_2}$.

   b. (0,5 pt) Calculer $z_1\overline{z_1}$ et vérifier que c'est un réel positif.

4. (1 pt) Quotient. Écrire le nombre ${\displaystyle \frac{3+i}{2-i}}$ sous forme algébrique.

On rappelle la formule du binôme de Newton : pour tous nombres complexes $a$ et $b$ et tout entier naturel $n⩾1$ :

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)a^{n-k}{b}^k\mathrm{.}$$

1. (1,5 pt) Développer $(1+i{)}^4$ à l'aide de la formule du binôme de Newton, et montrer que $(1+i{)}^4=-4$.

2. (0,5 pt) En déduire, sans nouveau développement, la forme algébrique de $(1+i{)}^8$.

3. (1 pt) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $(1+i{)}^{4n}$ est un nombre réel.

4. (1 pt) Développer $(2+i{)}^3$ à l'aide de la formule du binôme de Newton et donner le résultat sous forme algébrique.

Les trois questions sont indépendantes. On résout dans $\mathbb{C}$ et on donne les solutions sous forme algébrique.

1. (1,5 pt) Résoudre l'équation $(1+2i)z=4+3i$.

2. (2 pts) On considère l'équation $3z-2\bar{z}=1+10i$. En posant $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, déterminer la solution de cette équation. On justifiera soigneusement l'identification des parties réelle et imaginaire.

3. On considère l'équation $z^2-6z+13=0$.

   a. (1,5 pt) Résoudre cette équation.

   b. (1 pt) Vérifier que les deux solutions sont conjuguées l'une de l'autre, puis contrôler les valeurs de leur somme et de leur produit à l'aide des coefficients de l'équation.

Soit $m$ un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :

$$(E_m):z^2-2z+m=0.$$

1. (1,5 pt) Calculer le discriminant de $(E_m)$ en fonction de $m$, puis discuter, selon les valeurs de $m$, le nombre et la nature des solutions de $(E_m)$ (réelles distinctes, réelle double, complexes conjuguées).

2. (1 pt) Résoudre $(E_{10})$, c'est-à-dire l'équation obtenue pour $m=10$.

3. (1 pt) Vérifier que la somme et le produit des solutions trouvées à la question 2 sont cohérents avec les coefficients de l'équation $(E_{10})$.

4. (1 pt) Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $z=1+2i$ est solution de $(E_m)$. Donner alors l'autre solution sans résoudre l'équation, en justifiant soigneusement.

5. (0,5 pt) On suppose $m>1$. On note $z_0$ et $\overline{z_0}$ les deux solutions non réelles de $(E_m)$. Démontrer que $z_0\overline{z_0}=m$.