Exercices — Matrices

Une enseigne de fournitures scolaires possède trois magasins, notés $M_1$, $M_2$ et $M_3$, qui vendent quatre produits : des cahiers (produit n°1), des stylos (n°2), des classeurs (n°3) et des surligneurs (n°4). Les stocks sont résumés dans la matrice $S=(s_{ij})$ ci-dessous : le coefficient $s_{ij}$, situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$, est le nombre d'exemplaires du produit n°$j$ en stock dans le magasin $M_i$.

1. Quelle est la taille de la matrice $S$ ?

2. Donner les coefficients $s_{23}$, $s_{32}$ et $s_{14}$, puis interpréter concrètement le coefficient $s_{23}$.

3. a. Que représente concrètement la deuxième ligne de $S$ ?

   b. Que représente concrètement la troisième colonne de $S$ ?

   c. Quel magasin possède le plus de stylos en stock ?

4. Écrire explicitement chacune des matrices suivantes.

   a. $A=(a_{ij})$ de taille $2\times 3$ définie par $a_{ij}=2i-j$.

   b. $B=(b_{ij})$ de taille $3\times 2$ définie par $b_{ij}=i+j$.

   c. $C=(c_{ij})$ de taille $2\times 2$ définie par $c_{ij}=(-1{)}^{i+j}$.

5. On considère les matrices $E=\left(\begin{array}{cc}x+y& 3\\ 2& x-y\end{array}\right)$ et $F=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$, où $x$ et $y$ sont deux réels. Déterminer $x$ et $y$ pour que $E=F$.

On considère les matrices suivantes :

1. Calculer, lorsque c'est possible, les matrices suivantes. Si le calcul est impossible, expliquer pourquoi.

   a. $A+B$

   b. $B-A$

   c. $C+D$

   d. $A+C$

2. Calculer $3A$ et $-2C$.

3. Calculer $2A-3B$ et $2C-D$.

4. Déterminer la matrice $X$ telle que $2X+A=B$.

1. On considère la matrice ligne $L=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\end{array}\right)$ et la matrice colonne $K=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -2\end{array}\right)$.

   a. Calculer le produit $LK$. Quelle est la taille de la matrice obtenue ?

   b. Calculer le produit $KL$. Quelle est la taille de la matrice obtenue ?

2. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -3\end{array}\right)$.

   a. Calculer $AB$.

   b. Calculer $A^2=A\times A$. Que remarque-t-on ?

3. On pose $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -2\\ 1& 3\end{array}\right)$.

   a. Justifier que les produits $MN$ et $NM$ existent tous les deux, et prévoir la taille de chacun.

   b. Calculer $MN$ et $NM$.

4. Expliquer pourquoi le produit $MA$ n'existe pas.

5. On note $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ la matrice identité d'ordre $2$. Calculer $A\times I_2$ et $I_2\times A$. Que constate-t-on ?

1. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

   a. Calculer $AB$ et $BA$.

   b. Que peut-on en conclure sur le produit matriciel ?

2. On pose maintenant $M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $N=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$, et on note $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ la matrice nulle d'ordre $2$.

   a. Calculer $MN$.

   b. En quoi ce résultat est-il surprenant par rapport à ce qui se passe pour un produit de nombres réels ?

3. On s'intéresse à l'affirmation suivante : « si $AB=AC$ et $A\mathrm{\ne }{O}_2$, alors $B=C$ ».

   a. En utilisant la question 2, montrer que cette affirmation est fausse.

   b. Calculer $M(N+I_2)$ et $M\times I_2$, où $I_2$ est la matrice identité d'ordre $2$. En déduire un contre-exemple dans lequel les deux matrices jouant les rôles de $B$ et $C$ sont toutes les deux non nulles.

On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.

1. a. Calculer $A+B$, puis $(A+B{)}^2$.

   b. Calculer $A^2$, $B^2$ et $AB$, puis la matrice $A^2+2AB+B^2$.

   c. Comparer $(A+B{)}^2$ et $A^2+2AB+B^2$. La formule $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, valable pour les réels, se transpose-t-elle aux matrices ?

2. a. Soient $M$ et $N$ deux matrices carrées de même ordre. En développant $(M+N{)}^2=(M+N)(M+N)$ à l'aide de la distributivité, établir la formule $(M+N{)}^2=M^2+MN+NM+N^2$. À quelle étape du calcul doit-on renoncer à regrouper deux termes ?

   b. Calculer $BA$, puis vérifier la formule de la question précédente sur les matrices $A$ et $B$.

3. On pose $D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ et on note $I_2$ la matrice identité d'ordre $2$.

   a. Justifier que $D$ et $I_2$ commutent, c'est-à-dire que $D\times I_2=I_2\times D$.

   b. Que devient la formule de la question 2 lorsque les deux matrices commutent ? Vérifier par le calcul que $(D+I_2{)}^2=D^2+2D+I_2$.

On rappelle que pour une matrice carrée $M$ et un entier $n\ge 1$, on note $M^n=\underset{n\text{ facteurs}}{\underbrace{M\times M\times \cdots \times M}}$.

1. On considère la matrice diagonale $D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$.

   a. Calculer $D^2$ et $D^3$.

   b. Conjecturer l'expression de $D^n$ pour tout entier $n\ge 1$.

   c. Démontrer cette conjecture par récurrence.

2. On considère maintenant la matrice diagonale $T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$.

   a. Calculer $T^2$ et $T^3$.

   b. Conjecturer l'expression de $T^n$ pour tout entier $n\ge 1$ (on admet cette conjecture, dont la démonstration est analogue à celle de la question 1).

3. Applications numériques.

   a. Donner le coefficient d'indice $(2;2)$ de la matrice $D^{10}$.

   b. Donner le coefficient d'indice $(2;2)$ de $T^{10}$, puis celui de $T^{11}$. Que remarque-t-on sur les signes ?

On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. Calculer $A^2$ et $A^3$.

2. Conjecturer une expression de $A^n$ en fonction de $n$, valable pour tout entier $n\ge 1$.

3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

4. On considère maintenant la matrice $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

   a. Calculer $B^2$ et $B^3$.

   b. Vérifier que $B^2$ et $B^3$ s'écrivent tous les deux sous la forme $\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n\times 2^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$, avec $n=2$ puis $n=3$.

   c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\ge 1$ :

   $$B^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n\times 2^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right)$$

On rappelle que la matrice $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ est inversible si et seulement si $ad-bc\mathrm{\ne }0$, et que dans ce cas :

On considère les matrices :

1. Calculer le nombre $ad-bc$ pour chacune des trois matrices. Lesquelles sont inversibles ?

2. Donner l'inverse de chacune des matrices inversibles.

3. Vérifier par un calcul de produit que la matrice trouvée pour $A^{-1}$ convient, c'est-à-dire que $A{A}^{-1}=I_2$.

4. On pose $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $Y=\left(\begin{array}{c}4\\ 7\end{array}\right)$. Résoudre l'équation $AX=Y$ en utilisant $A^{-1}$, puis vérifier le résultat.

On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ et on note $I_2$ la matrice identité d'ordre $2$.

1. Calculer $A^2$, puis vérifier que :

   $$A^2=A+2I_2$$

2. a. Déduire de la question précédente que $A\times (A-I_2)=2I_2$.

   b. En déduire que $A$ est inversible et que $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(A-I_2)$.

3. Calculer explicitement $A^{-1}$, puis contrôler le résultat à l'aide de la formule d'inversion des matrices $2\times 2$.

4. En utilisant uniquement la relation $A^2=A+2I_2$ (sans calculer de produit de matrices), exprimer $A^3$ puis $A^4$ sous la forme $\alpha A+\beta I_2$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.

Partie A — Au cinéma. Dans un cinéma, une place adulte coûte $x$ euros et une place enfant coûte $y$ euros. Une première famille paie $33$ € pour $2$ places adulte et $3$ places enfant. Une seconde famille paie $19$ € pour $1$ place adulte et $2$ places enfant.

1. Montrer que la situation se traduit par le système :

   $$\{\begin{array}{l}2x+3y=33\\ x+2y=19\end{array}$$

2. Écrire ce système sous la forme matricielle $AX=B$, en précisant les matrices $A$, $X$ et $B$.

3. Justifier que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

4. En déduire les valeurs de $x$ et $y$, puis vérifier que ces valeurs sont cohérentes avec l'énoncé.

Partie B — Un second système. Résoudre de la même manière (écriture matricielle, calcul de l'inverse, résolution) le système :

Un producteur local vend trois types de paniers garnis, composés de pots de confiture, de pots de miel et de terrines :

• le panier « découverte » contient $1$ pot de confiture, $1$ pot de miel et $1$ terrine ;
• le panier « gourmand » contient $1$ pot de confiture, $2$ pots de miel et $3$ terrines ;
• le panier « prestige » contient $1$ pot de confiture, $3$ pots de miel et $6$ terrines.

Pour un marché de Noël, le producteur a utilisé exactement tout son stock : $80$ pots de confiture, $135$ pots de miel et $205$ terrines. On note $x$, $y$ et $z$ les nombres de paniers « découverte », « gourmand » et « prestige » préparés.

1. Montrer que la situation se traduit par le système :

   $$\{\begin{array}{l}x+y+z=80\\ x+2y+3z=135\\ x+3y+6z=205\end{array}$$

2. Écrire ce système sous la forme $AX=B$, en précisant les matrices $A$, $X$ et $B$.

3. On donne la matrice :

   $$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -3& 1\\ -3& 5& -2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$$

   Calculer les coefficients de la première ligne du produit $AM$, ainsi que le coefficient situé en deuxième ligne et deuxième colonne. On admet alors que $AM=MA=I_3$. Que peut-on en conclure pour $A$ ?

4. En déduire les valeurs de $x$, $y$ et $z$.

5. Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé, et vérifier la cohérence avec le stock de terrines.

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. À toute transformation étudiée dans ce chapitre, on associe une matrice $M$ telle que l'image du point de coordonnées $(x;y)$ soit le point de coordonnées $(x^{\mathrm{\prime }};y^{\mathrm{\prime }})$ vérifiant $\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

1. Donner la matrice associée à chacune des transformations suivantes :

   a. l'homothétie $h$ de centre $O$ et de rapport $3$ ;

   b. la symétrie $s$ par rapport à l'axe des abscisses ;

   c. la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

2. On considère les points $A(2;-1)$ et $B(0;3)$. Calculer les coordonnées des images de $A$ et de $B$ par chacune des trois transformations $h$, $s$ et $r$.

3. On considère la matrice $M=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$. Quelle transformation du plan lui est associée ? En donner plusieurs descriptions possibles.

4. a. Donner la matrice $R$ de la rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, en utilisant les valeurs exactes de $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

   b. Calculer les coordonnées de l'image du point $C(2;0)$ par cette rotation.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. À tout point $M(x;y)$ on associe la matrice colonne $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. On rappelle qu'une transformation du plan de matrice $A$ associe à $M$ le point $M^{\mathrm{\prime }}$ de matrice colonne $X^{\mathrm{\prime }}=AX$.

1. Donner la matrice $R$ de la rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, puis la matrice $S$ de la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

2. Composer, dans les deux sens.

   a. Calculer les produits $SR$ et $RS$. Que constate-t-on ?

   b. On applique au point $M(2;1)$ d'abord la rotation, puis la symétrie. Justifier que le point obtenu a pour matrice colonne $SRX$, et le calculer.

   c. Calculer de même l'image de $M(2;1)$ lorsqu'on applique d'abord la symétrie, puis la rotation. Comparer.

3. Interprétation géométrique. On rappelle que la symétrie par rapport à la droite d'équation $y=x$ a pour matrice $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ et que la symétrie par rapport à la droite d'équation $y=-x$ a pour matrice $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Identifier géométriquement les transformations de matrices $SR$ et $RS$.

4. Calculer $R^2$ puis $R^4$. Interpréter géométriquement le résultat obtenu pour $R^4$.

On considère les deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par $a_0=2$, $b_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$.

1. Déterminer la matrice carrée $A$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=A{U}_n$.

2. Calculer $U_1$ et $U_2$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^n{U}_0$ (on convient que $A^0=I_2$).

4. Une formule pour $A^n$.

   a. Calculer $A^2$ et $A^3$.

   b. Conjecturer une expression de $A^n$ en fonction de $n$, valable pour tout entier naturel $n⩾1$.

   c. Démontrer cette conjecture par récurrence.

5. En déduire l'expression de $a_n$ et de $b_n$ en fonction de $n$.

6. Déterminer la limite de la suite $\left({\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}\right)$ et interpréter : que peut-on dire des deux suites pour les grandes valeurs de $n$ ?

Une entreprise stocke des granulés de bois dans deux entrepôts, notés $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$. On note $a_n$ et $b_n$ les stocks (en tonnes) des entrepôts $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ au début de la semaine $n$. Chaque semaine :

• l'entrepôt $\mathcal{A}$ expédie un quart de son stock aux clients et transfère un quart de son stock à l'entrepôt $\mathcal{B}$ : il conserve donc la moitié de son stock ;
• l'entrepôt $\mathcal{B}$ expédie les trois quarts de son propre stock aux clients : il en conserve donc un quart, auquel s'ajoute le transfert reçu de $\mathcal{A}$ ;
• puis chaque entrepôt reçoit une livraison fixe de $3$ tonnes.

Au début de la semaine $0$, les stocks sont $a_0=10$ et $b_0=2$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=A{U}_n+C$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)$.

2. Calculer $U_1$ et $U_2$.

3. Déterminer la matrice colonne $L=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\ell }}_1\\ {\mathrm{\ell }}_2\end{array}\right)$ telle que $L=AL+C$ (on résoudra le système correspondant).

4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n=U_n-L$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}=A{V}_n$.

5. On admet qu'alors, pour tout entier naturel $n$, $V_n=A^n{V}_0$. En déduire que $U_n=A^n(U_0-L)+L$.

6. On admet que, pour tout entier $n⩾1$ : $A^n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2^n}}& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2^n}}-{\displaystyle \frac{1}{4^n}}& {\displaystyle \frac{1}{4^n}}\end{array}\right)$.

   a. Vérifier cette formule pour $n=1$ et $n=2$.

   b. En déduire l'expression de $a_n$ et de $b_n$ en fonction de $n$, pour $n⩾1$.

   c. Déterminer les limites de $(a_n)$ et $(b_n)$, puis interpréter concrètement le résultat.

On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$. L'objectif de l'exercice est de calculer $A^n$ pour tout entier naturel $n⩾1$, à l'aide d'une matrice auxiliaire bien choisie. On pose :

La matrice $P$ est appelée matrice de passage.

1. Justifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.

2. Vérifier, en effectuant les produits, que $A=PD{P}^{-1}$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n⩾1$, $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$.

4. Expression explicite de $A^n$.

   a. Donner sans calcul $D^n$ pour tout entier naturel $n⩾1$ (on pourra remarquer que $D$ est diagonale).

   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n⩾1$ :

   $$A^n={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1+3^n& 1-3^n\\ 1-3^n& 1+3^n\end{array}\right)$$

5. Applications.

   a. Vérifier la formule pour $n=2$ en calculant $A^2$ directement.

   b. Donner les coefficients de $A^5$.

On considère les matrices :

de sorte que $A=I_3+N$, où $I_3$ désigne la matrice identité d'ordre $3$.

1. Calculer $N^2$ puis $N^3$. Que remarque-t-on ? Que vaut alors $N^k$ pour tout entier $k⩾3$ ?

2. Justifier que les matrices $I_3$ et $N$ commutent, c'est-à-dire que $I_{3}N=N{I}_3$.

3. On admet que la formule du binôme de Newton, vue pour les nombres complexes, reste valable pour deux matrices carrées $M$ et $M^{\mathrm{\prime }}$ de même ordre qui commutent : $(M+M^{\mathrm{\prime }}{)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)M^{n-k}{M}^{\mathrm{\prime }k}}$. Expliquer pourquoi elle s'applique ici, puis montrer que pour tout entier $n⩾2$ :

   $$A^n=I_3+nN+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}{N}^2$$

4. En déduire l'écriture explicite de $A^n$ (matrice $3\times 3$ dont on donnera chaque coefficient en fonction de $n$).

5. Vérifier la formule pour $n=2$ en calculant $A^2$ directement.

6. Application : donner la matrice $A^{10}$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier. Une affirmation vraie doit être démontrée dans le cas général ; une affirmation fausse doit être réfutée par un contre-exemple explicite.

1. Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, $(AB{)}^2=A^2{B}^2$.

2. Si $A$ est une matrice carrée telle que $A^2=0$, alors $A=0$.

3. Si $A$ est une matrice carrée inversible, alors l'équation $AX=B$, d'inconnue la matrice colonne $X$, admet une unique solution.

4. Toute matrice carrée non nulle est inversible.

5. Si $A$ et $B$ sont deux matrices carrées inversibles de même ordre, alors $AB$ est inversible et $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.

6. La somme de deux matrices inversibles de même ordre est inversible.

7. Si $D$ est une matrice diagonale, alors pour tout entier $n⩾1$, $D^n$ est diagonale.

Vrai ou faux ? Justifier.