Devoir surveillé — Matrices

Les cinq questions sont indépendantes. Les calculs de cet exercice doivent être menés sans calculatrice ; toutes les étapes de calcul seront écrites.

1. Combinaisons linéaires. On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$. Calculer :

   a. (0,5 pt) $A+B$

   b. (0,5 pt) $2A-B$

2. (1 pt) Produit et ordre des facteurs. Avec les matrices $A$ et $B$ de la question 1, calculer les produits $AB$ et $BA$. Que constate-t-on ?

3. (1,5 pt) Inverse d'une matrice $2\times 2$. On considère la matrice $C=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$. Justifier que $C$ est inversible, déterminer $C^{-1}$ à l'aide de la formule du cours, puis vérifier le résultat en calculant le produit $C{C}^{-1}$.

4. (1 pt) Vrai ou faux ? Justifier soigneusement la réponse (une réponse non justifiée ne rapporte aucun point). On pourra s'appuyer sur les résultats de la question 2.

   « Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, on a $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$. »

5. (0,5 pt) Puissance d'une matrice diagonale. On pose $D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$. Donner, sans détailler les produits, la matrice $D^5$.

Une chocolaterie artisanale fabrique trois sortes de boîtes de chocolats : « Découverte », « Gourmande » et « Prestige ». Chaque boîte nécessite du cacao, du sucre et du lait, selon les quantités suivantes :

Pour la journée, l'atelier dispose exactement de $6$ kg de cacao, $\mathrm{10,5}$ kg de sucre et $13$ kg de lait, et souhaite épuiser entièrement ces trois stocks.

On note $x$, $y$ et $z$ les nombres de boîtes « Découverte », « Gourmande » et « Prestige » fabriquées dans la journée.

1. (1 pt) En comptant les quantités en centaines de grammes, montrer que $(x;y;z)$ est solution du système :

   $$\{\begin{array}{l}x+y+z=60\\ x+2y+2z=105\\ x+2y+3z=130\end{array}$$

2. (1 pt) Écrire ce système sous la forme matricielle $AX=B$, où $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ : on précisera la matrice carrée $A$ et la matrice colonne $B$.

3. (1,5 pt) On considère la matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$. Calculer le produit $AM$ (on détaillera le calcul d'au moins trois coefficients). Que peut-on en déduire pour la matrice $A$ ?

4. (1 pt) En déduire que le système admet une unique solution, et la déterminer par un calcul matriciel.

5. (0,5 pt) Interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{\mathrm{ı}},\vec{\mathrm{ȷ}})$. À tout point $P(x;y)$ on associe la matrice colonne $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Rappel : la matrice de la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ est $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$.

1. Donner :

   a. (0,5 pt) la matrice $R$ de la rotation de centre $O$ et d'angle ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   b. (0,5 pt) la matrice $S$ de la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

2. On considère le point $A(2;3)$. Déterminer les coordonnées :

   a. (0,5 pt) du point $A_1$, image de $A$ par la rotation

   b. (0,5 pt) du point $A_2$, image de $A$ par la symétrie

3. (1 pt) Calculer la matrice produit $SR$, qui correspond à la transformation « appliquer la rotation, puis la symétrie ». Reconnaître la transformation du plan associée à cette matrice ; on pourra vérifier la conjecture sur l'image du point $A$.

4. (1 pt) Calculer $R^2$, puis $R^4$. Interpréter géométriquement le résultat obtenu pour $R^4$.

On considère les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ définies par $a_0=6$, $b_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+1\\ b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{b}_n+1\end{array}$$

Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$.

1. (1 pt) Déterminer une matrice carrée $A$ et une matrice colonne $C$ telles que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=A{U}_n+C$.

2. (0,5 pt) Calculer $U_1$.

3. (1,5 pt) Déterminer la matrice colonne $L=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ vérifiant $L=AL+C$ : on montrera que cette équation équivaut à un système de deux équations d'inconnues $x$ et $y$, que l'on résoudra.

4. (1 pt) Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n=U_n-L$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}=A{V}_n$.

5. (1 pt) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $V_n=A^n{V}_0$ (avec la convention $A^0=I_2$).

6. (1 pt) On admet que, pour tout entier naturel $n⩾1$ :

   $$A^n=\left(\begin{array}{cc}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}& 0\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}& {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{\text{\hspace{0.17em}⁣}n}\end{array}\right)$$

   En déduire, pour tout entier $n⩾1$, l'expression de $a_n$ et de $b_n$ en fonction de $n$, puis déterminer les limites des suites $(a_n)$ et $(b_n)$. Interpréter le résultat à l'aide de la matrice $L$.