Exercices — Équations polynomiales et racines de l'unité

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes :

   a. $z^2+9=0$

   b. $z^2-4z+13=0$

   c. $2z^2+2z+5=0$

   d. $z^2+z+1=0$

   e. $z^2-6z+25=0$

   f. $z^2=-7$

2. Factoriser dans $\mathbb{C}$ les trinômes $z^2-4z+13$ et $z^2-6z+25$.

1. On considère l'équation $z^4-z^2-12=0$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

   a. En posant $Z=z^2$, montrer que l'équation se ramène à une équation du second degré d'inconnue $Z$, puis résoudre cette dernière.

   b. En déduire toutes les solutions de l'équation de départ dans $\mathbb{C}$.

2. Résoudre de la même façon l'équation $z^4+5z^2+4=0$ dans $\mathbb{C}$.

3. On considère l'équation $z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=1$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ non nul.

   a. Montrer que cette équation équivaut à $z^2-z+1=0$, puis la résoudre dans $\mathbb{C}$.

   b. Vérifier que les solutions obtenues sont de module $1$, puis les écrire sous forme exponentielle.

On rappelle que pour tout entier $n⩾2$ et tous nombres complexes $z$ et $a$ :

1. Écrire chacune des factorisations suivantes :

   a. $z^3-8$ par $z-2$ ;

   b. $z^4-81$ par $z-3$ ;

   c. $z^5-1$ par $z-1$.

2. On s'intéresse à l'équation $z^3=8$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

   a. À l'aide de la question 1.a, résoudre complètement cette équation dans $\mathbb{C}$.

   b. Écrire les solutions non réelles sous forme exponentielle, puis les exprimer à l'aide du nombre $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

1. Justifier que pour tout nombre complexe $z\mathrm{\ne }1$ et tout entier $n⩾1$ :

   $$1+z+z^2+\cdots +z^{n-1}={\displaystyle \frac{z^n-1}{z-1}}$$

2. Calculer la somme $S=1+i+i^2+\cdots +i^{2026}$ et donner le résultat sous forme algébrique.

3. On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$. On rappelle que $j^3=1$ et que $1+j+j^2=0$ (résultats du cours). Calculer la somme $T=1+j+j^2+\cdots +j^{100}$.

On considère le polynôme $P$ défini pour tout $z\in \mathbb{C}$ par :

1. Vérifier que $2$ est une racine de $P$.

2. Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

   $$P(z)=(z-2)(z^2+bz+c)$$

3. Résoudre l'équation $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$.

On considère l'équation, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :

1. Montrer que cette équation admet une solution réelle parmi les diviseurs positifs de $15$, et la déterminer.

2. Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

   $$z^3-5z^2+11z-15=(z-3)(z^2+bz+c)$$

3. En déduire toutes les solutions de l'équation dans $\mathbb{C}$.

4. Vérifier la cohérence du résultat : calculer la somme des trois solutions et la comparer au coefficient de $z^2$ de l'équation.

On considère l'équation $z^3+z^2-2=0$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

1. Montrer que cette équation admet une solution « évidente » parmi les cinq entiers $-2$, $-1$, $0$, $1$ et $2$.

2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

   $$z^3+z^2-2=(z-1)(a{z}^2+bz+c)$$

3. Résoudre alors l'équation $z^3+z^2-2=0$ dans $\mathbb{C}$.

4. Placer dans le plan complexe les points $A$, $B$ et $C$, images des trois solutions. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier.

Partie A — Un résultat général.

Soit $P(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$ un polynôme dont tous les coefficients $a_0,a_1,\dots ,a_n$ sont réels, et soit $a$ un nombre complexe tel que $P(a)=0$.

On rappelle les propriétés du conjugué : pour tous complexes $z$ et $z^{\mathrm{\prime }}$ et tout entier naturel $k$,

et un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\bar{z}=z$.

1. Justifier que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, on a $a_k{\bar{a}}^k=\overline{a_k{a}^k}$.

2. En déduire que $P(\bar{a})=\overline{P(a)}$, puis que $\bar{a}$ est aussi une racine de $P$.

Partie B — Application.

On considère l'équation $z^3-4z^2+14z-20=0$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

1. Vérifier que $1+3i$ est solution de cette équation.

2. À l'aide de la partie A, donner une deuxième solution de l'équation.

3. a. Calculer le produit $(z-(1+3i))(z-(1-3i))$ et vérifier qu'il s'agit d'un trinôme à coefficients réels.

   b. Déterminer un réel $d$ tel que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $z^3-4z^2+14z-20=(z^2-2z+10)(z-d)$.

   c. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation.

On rappelle que si $z_1$ et $z_2$ sont les deux solutions (éventuellement confondues) de l'équation $a{z}^2+bz+c=0$ (avec $a\mathrm{\ne }0$), alors :

1. Sans résoudre l'équation $3z^2-12z+15=0$, donner la somme et le produit de ses solutions.

2. Déterminer deux nombres complexes dont la somme vaut $4$ et le produit vaut $13$.

3. On admet que $z_1=3+i$ est une solution de l'équation $z^2-6z+10=0$. Déterminer l'autre solution sans calculer le discriminant, puis contrôler le résultat à l'aide du produit des racines.

4. Vrai ou faux ? « Il existe deux nombres réels dont la somme vaut $2$ et le produit vaut $5$. » Justifier soigneusement la réponse.

On rappelle que ${\mathbb{U}}_n$ désigne l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $z^n=1$.

1. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2=1$ et donner ainsi les éléments de ${\mathbb{U}}_2$.

   b. Vérifier que $z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)$, puis en déduire les éléments de ${\mathbb{U}}_4$.

2. Donner les éléments de ${\mathbb{U}}_3$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

3. Sur une même figure à main levée, tracer le cercle unité et placer les éléments de ${\mathbb{U}}_3$ puis ceux de ${\mathbb{U}}_4$. Quel polygone dessinent les points images de ${\mathbb{U}}_3$ ? Ceux de ${\mathbb{U}}_4$ ? Décrire sans calcul le polygone formé par les points images de ${\mathbb{U}}_6$.

4. Vérifier par le calcul que ${\left(e^{2i\pi \mathrm{/}3}\right)}^3=1$.

On pose $j=e^{2i\pi \mathrm{/}3}$.

1. Donner la forme algébrique de $j$, puis celle de $j^2$. Vérifier que $j^2=\bar{j}$.

2. Montrer, par un calcul algébrique direct, que $1+j+j^2=0$.

3. Calculer $j\times j^2$ et en déduire que ${\displaystyle \frac{1}{j}}=j^2$.

4. Calculer :

   a. $j^{2026}$

   b. $(1+j{)}^6$

5. Simplifier le produit $(1+j)(1+j^2)$.

On cherche à résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=8i$. La figure ci-dessous montre les points images des trois solutions.

1. Écrire $8i$ sous forme exponentielle.

2. Montrer que les solutions de l'équation $z^3=8i$ sont les trois nombres

   $$z_k=2e^{i(\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3})},k\in \{0,1,2\}\mathrm{.}$$

3. Donner la forme algébrique de $z_0$, $z_1$ et $z_2$, puis contrôler l'une des trois en calculant son cube.

4. Justifier que le triangle formé par les points images de $z_0$, $z_1$ et $z_2$ est équilatéral, et calculer la longueur de son côté.

On pose $\omega =e^{2i\pi \mathrm{/}5}$ et, pour tout $k\in \{0,1,2,3,4\}$, on note $A_k$ le point d'affixe ${\omega }^k$. Les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ sont les sommets d'un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité.

L'objectif de cet exercice est de calculer la valeur exacte de $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$.

On rappelle que deux nombres dont la somme vaut $s$ et le produit vaut $p$ sont les solutions de l'équation $t^2-st+p=0$.

1. Décrire l'ensemble ${\mathbb{U}}_5$ des racines cinquièmes de l'unité à l'aide de $\omega$, et justifier que $1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4=0$.

2. On pose $x=\omega +{\omega }^4$ et $y={\omega }^2+{\omega }^3$. Montrer que $x=2\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$ et $y=2\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$. On pourra remarquer que ${\omega }^4=\bar{\omega }$ et ${\omega }^3=\overline{{\omega }^2}$.

3. Montrer que $x+y=-1$ et $xy=-1$. Pour le produit, on développera et on utilisera l'égalité ${\omega }^5=1$.

4. En déduire que $x$ et $y$ sont les solutions d'une équation du second degré que l'on précisera, puis que $\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$. On justifiera soigneusement le choix entre les deux solutions de l'équation.

On considère l'équation $z^4=-4$, d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

On rappelle que si $z_0$ est une solution non nulle de $z^n=a$, alors les solutions de cette équation sont exactement les nombres $z_0\omega$, où $\omega$ décrit ${\mathbb{U}}_n$.

1. Vérifier que $1+i$ est solution de l'équation. On pourra calculer d'abord $(1+i{)}^2$.

2. Montrer que $z$ est solution si et seulement si ${\left({\displaystyle \frac{z}{1+i}}\right)}^4=1$, c'est-à-dire si et seulement si ${\displaystyle \frac{z}{1+i}}\in {\mathbb{U}}_4$.

3. En déduire les quatre solutions de l'équation sous forme algébrique.

4. Retrouver ce résultat en écrivant $-4$ sous forme exponentielle et en utilisant la description des racines quatrièmes d'un nombre complexe. Préciser la nature du polygone formé par les points images des solutions, la longueur de son côté et le rayon du cercle dans lequel il est inscrit.

On considère le polynôme $P$ défini pour tout $z\in \mathbb{C}$ par

On rappelle que si un polynôme à coefficients réels admet une racine $a$, alors $\bar{a}$ est aussi une racine de ce polynôme.

1. Vérifier que $1+2i$ est une racine de $P$. On pourra calculer d'abord $(1+2i{)}^2$.

2. Justifier, sans calcul supplémentaire, que $1-2i$ est aussi une racine de $P$.

3. Vérifier que $(z-(1+2i))(z-(1-2i))=z^2-2z+5$, puis déterminer par identification les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$,

4. Résoudre l'équation $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$. Combien de racines le polynôme $P$ admet-il ? Comparer avec le nombre maximal de racines autorisé par son degré.

On pose $\omega =e^{i\pi \mathrm{/}3}$ et, pour tout $k\in \{0,1,\dots ,5\}$, on note $A_k$ le point d'affixe ${\omega }^k$.

On rappelle la factorisation par l'angle moitié : pour tout réel $\alpha$,

1. Justifier que les nombres ${\omega }^k$, $k=0,\dots ,5$, sont exactement les racines sixièmes de l'unité, et que les points $A_k$ sont les sommets d'un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité.

2. Montrer, à l'aide de la factorisation par l'angle moitié, que

3. En déduire le périmètre de l'hexagone. Généraliser : montrer que le côté du polygone régulier à $n$ sommets ($n⩾3$) formé par les points images de ${\mathbb{U}}_n$ vaut $2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}$.

4. Calculer l'aire du triangle $O{A}_0{A}_1$, puis en déduire l'aire de l'hexagone. On rappelle que l'aire d'un triangle dont deux côtés de longueurs $a$ et $b$ forment un angle $\gamma$ vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin \gamma$.

On considère l'équation

d'inconnue $z\in \mathbb{C}$.

On rappelle que ${\mathbb{U}}_4=\{1,i,-1,-i\}$.

1. Montrer que $1$ n'est pas solution de l'équation, puis que, pour $z\mathrm{\ne }1$, $z$ est solution si et seulement si ${\left({\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}\right)}^4=1$.

2. En déduire que $z$ est solution si et seulement s'il existe $\omega \in {\mathbb{U}}_4$, avec $\omega \mathrm{\ne }1$, tel que ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}=\omega$. On justifiera pourquoi le cas $\omega =1$ est impossible.

3. Pour $\omega \in {\mathbb{U}}_4$ avec $\omega \mathrm{\ne }1$, montrer que l'équation ${\displaystyle \frac{z+1}{z-1}}=\omega$ admet pour unique solution $z={\displaystyle \frac{\omega +1}{\omega -1}}$, puis calculer cette solution sous forme algébrique pour $\omega =i$, $\omega =-1$ et $\omega =-i$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation de départ.

4. Vérifier directement que $z=0$ et $z=i$ sont bien solutions. Expliquer enfin pourquoi il n'est pas surprenant que cette équation, de degré apparent $4$, n'admette que $3$ solutions. On pourra développer $(z+1{)}^4-(z-1{)}^4$ à l'aide de la formule du binôme.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une affirmation vraie sera démontrée ; une affirmation fausse sera réfutée par un contre-exemple.

1. Toute équation du second degré à coefficients réels admet au moins une solution dans $\mathbb{C}$.

2. Un polynôme de degré $3$ à coefficients réels admet toujours au moins une racine réelle.

3. Si $P(2)=0$, alors $P(z)$ est divisible par $z+2$.

4. L'équation $z^5=1$ admet exactement $5$ solutions dans $\mathbb{C}$.

5. La somme des éléments de ${\mathbb{U}}_{2026}$ vaut $1$.

6. Le produit de deux éléments de ${\mathbb{U}}_n$ est un élément de ${\mathbb{U}}_n$.

7. Un polynôme de degré $4$ peut avoir exactement $3$ racines distinctes.

8. Pour tout $n⩾2$, $-1\in {\mathbb{U}}_n$.