Devoir surveillé — Équations polynomiales et racines de l'unité

Les solutions seront données sous forme algébrique.

1. (1,5 pt) Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes :

   a. $z^2+4z+29=0$

   b. $z^2=-12$

   c. $4z^2-4z+5=0$

2. (1,5 pt) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4-3z^2-4=0$. On pourra poser $Z=z^2$.

3. On considère l'équation $z^3-7z^2+19z-13=0$.

   a. (0,5 pt) Vérifier que $1$ est solution de cette équation.

   b. (1 pt) Déterminer les réels $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ :

   $$z^3-7z^2+19z-13=(z-1)(z^2+bz+c)\mathrm{.}$$

   c. (0,5 pt) Résoudre l'équation dans $\mathbb{C}$.

On considère le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par :

$$P(z)=z^3-6z^2+13z-10.$$

1. (1 pt) Calculer $P(2)$. En déduire qu'il existe des réels $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $P(z)=(z-2)(z^2+bz+c)$, et déterminer $b$ et $c$.

2. (1,5 pt) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.

3. (1 pt) Vérifier que les solutions non réelles de l'équation $P(z)=0$ sont conjuguées l'une de l'autre. Rappeler pourquoi ce résultat était prévisible.

4. (1,5 pt) Sans résoudre à nouveau l'équation : donner la somme et le produit des solutions de l'équation $z^2-4z+5=0$, puis vérifier la cohérence avec les solutions trouvées à la question 2.

On note ${\mathbb{U}}_6$ l'ensemble des solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^6=1$ (racines sixièmes de l'unité).

1. (1,5 pt) Justifier que ${\mathbb{U}}_6=\{{\omega }_k=e^{ik\pi \mathrm{/}3},k\in \{0,1,2,3,4,5\}\}$, puis donner la forme algébrique de chacun des six éléments.

2. (1 pt) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, quelle figure forment les points images des éléments de ${\mathbb{U}}_6$ ? On décrira précisément cette figure.

3. (1,5 pt) Démontrer que la somme des six éléments de ${\mathbb{U}}_6$ vaut $0$. On rappelle que pour tout nombre complexe $q\mathrm{\ne }1$, $1+q+q^2+\cdots +q^5={\displaystyle \frac{q^6-1}{q-1}}$.

4. (1 pt) Montrer que le produit des six éléments de ${\mathbb{U}}_6$ vaut $-1$.

On cherche à résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4=-16$.

1. (1 pt) Écrire $-16$ sous forme exponentielle.

2. (2 pt) Montrer que les solutions de l'équation sont les quatre nombres $z_k=2e^{i(\pi \mathrm{/}4+k\pi \mathrm{/}2)}$ pour $k\in \{0,1,2,3\}$, puis donner la forme algébrique de chacune.

3. (1 pt) Vérifier que ${\displaystyle \frac{z_1}{z_0}}=i$. Comment passe-t-on géométriquement d'une solution à la suivante ?

4. (1 pt) Montrer que les points images des quatre solutions forment un carré, et calculer la longueur du côté de ce carré.