Exercices — Suites numériques et modèles discrets

1. Calculer les quatre premiers termes (indices $0$ à $3$) de chacune des suites suivantes.

   a. $u_n=5-3n$

   b. $v_n=2\times 3^n$

   c. $w_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=2w_n-3$

   d. $t_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+1}=t_n^2-1$

2. Parmi ces quatre suites, une seule est géométrique : laquelle ? Préciser sa raison.

3. Pour la suite $(t_n)$, que peut-on conjecturer sur le comportement des termes quand $n$ augmente ?

Les trois situations suivantes sont indépendantes. Pour chacune d'elles :

• définir une suite adaptée à la situation, en précisant ce que représente $u_n$ et la valeur de $u_0$ ;
• exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ ;
• préciser si la suite est arithmétique, géométrique, ou ni l'un ni l'autre (justifier).

1. En 2026, le salaire mensuel d'une employée est de $1800$ €. Son contrat prévoit une augmentation de $60$ € chaque année.

2. Une ville compte $24000$ habitants. Sa population baisse de $2\mathrm{\%}$ par an.

3. Un bassin contient $40$ m${}^3$ d'eau. Chaque semaine, $10\mathrm{\%}$ de l'eau s'évapore, puis on ajoute $3$ m${}^3$ d'eau.

On a représenté ci-dessous les premiers termes de trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ par des nuages de points.

1. Pour chacune des trois suites, conjecturer son comportement quand $n$ devient grand : les termes semblent-ils se rapprocher d'une valeur finie (laquelle ?), devenir aussi grands que l'on veut (limite $+\mathrm{\infty }$), ou bien la suite ne semble-t-elle pas avoir de limite ?

2. La suite $(u_n)$ est en fait définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=4-6\times {\mathrm{0,7}}^n$.

   a. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ (arrondir au centième si nécessaire).

   b. Expliquer, sans utiliser de théorème, pourquoi les termes de la suite se rapprochent de $4$ quand $n$ devient grand.

1. Donner la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier $n⩾1$.

   a. $u_n=n^2$

   b. $u_n=\sqrt{n}$

   c. $u_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$

   d. $u_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}$

   e. $u_n=-n^3$

   f. $u_n=12$

2. On considère la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $u_n=3+{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Donner sa limite, puis interpréter en une phrase la position des termes de la suite par rapport à $3$.

3. Vrai ou faux ? Justifier par un contre-exemple ou un argument : « si une suite tend vers $+\mathrm{\infty }$, alors elle est croissante ».

1. Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, définies pour tout entier $n⩾1$, en précisant à chaque fois l'opération utilisée (somme, produit ou quotient).

   a. $u_n=n^2+5n$

   b. $v_n=4-{\displaystyle \frac{1}{n}}$

   c. $w_n=(2+{\displaystyle \frac{1}{n}})(5-{\displaystyle \frac{3}{n^2}})$

   d. $t_n={\displaystyle \frac{5}{n+2}}$

2. On pose, pour tout entier $n⩾1$, $s_n={\displaystyle \frac{3n^2+1}{n^2}}$. Vérifier que $s_n=3+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$, puis en déduire la limite de la suite $(s_n)$.

3. On pose, pour tout entier naturel $n$, $a_n=n^2-5n$. Expliquer pourquoi les règles d'opérations ne permettent pas de conclure directement (forme « $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ »), puis vérifier que $a_n=n(n-5)$ et déterminer la limite de la suite $(a_n)$.

1. On considère la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $u_n=3+{\displaystyle \frac{\cos (n)}{n}}$.

   a. Justifier que pour tout entier $n⩾1$ : $3-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽u_n⩽3+{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

   b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

2. Une suite $(v_n)$ vérifie, pour tout entier naturel $n$ : $v_n⩾n^2-5$. Que peut-on dire de sa limite ? Justifier.

3. On considère la suite définie pour tout entier $n⩾1$ par $w_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n}}$. Encadrer $w_n$ par deux suites de même limite, puis en déduire la limite de la suite $(w_n)$.

1. Donner la limite de chacune des suites suivantes, en citant le résultat du cours sur la limite de $\left(q^n\right)$ :

   a. $u_n={\mathrm{1,05}}^n$

   b. $u_n={\mathrm{0,9}}^n$

   c. $u_n={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$

   d. $u_n={\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^n$

   e. $u_n=7\times {\mathrm{0,8}}^n$

   f. $u_n=-2\times {\mathrm{1,5}}^n$

2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=5-3\times {\mathrm{0,6}}^n$.

On place $1000$ € sur un compte rémunéré à $2\mathrm{\%}$ par an, à intérêts composés : chaque année, les intérêts s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts l'année suivante. On note $c_n$ le capital, en euros, disponible au bout de $n$ années. Ainsi $c_0=1000$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}=\mathrm{1,02}{c}_n$. En déduire la nature de la suite $(c_n)$.

2. Exprimer $c_n$ en fonction de $n$, puis calculer le capital disponible au bout de $10$ ans, arrondi au centime.

3. Déterminer la limite de la suite $(c_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. On souhaite déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse pour la première fois $1500$ €. Recopier et compléter le script Python ci-dessous, puis donner la valeur renvoyée par la fonction seuil() et l'interpréter.

   def seuil():
       c = 1000
       n = 0
       while ... :
           c = ...
           n = n + 1
       return n
   

Rappel de première : pour tout réel $q\mathrm{\ne }1$ et tout entier naturel $n$,

1. On pose, pour tout entier naturel $n$, $S_n=1+\mathrm{0,8}+{\mathrm{0,8}}^2+\cdots +{\mathrm{0,8}}^n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$, puis déterminer la limite de la suite $(S_n)$.

2. Une balle est lâchée d'une hauteur de $2$ m. À chaque rebond, elle remonte à $60\mathrm{\%}$ de la hauteur précédente. On note $h_n$ la hauteur, en mètres, atteinte après le $n$-ième rebond, avec $h_0=2$ (hauteur initiale).

   a. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$.

   b. On pose $D_n=h_0+h_1+\cdots +h_n$ (cumul des hauteurs atteintes). Exprimer $D_n$ en fonction de $n$.

   c. Déterminer la limite de la suite $(D_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=6$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n+1$.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite $d$ d'équation $y=\mathrm{0,5}x+1$ et la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $y=x$, puis on a construit « en escalier » les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses.

1. Décrire le principe de cette construction : comment passe-t-on de $u_n$ à $u_{n+1}$ sur l'axe des abscisses, et à quoi sert la droite $\mathrm{\Delta }$ ?
2. Lire graphiquement les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis vérifier ces trois valeurs par le calcul.
3. Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$ ainsi que sa limite.
4. Résoudre l'équation $\mathrm{0,5}x+1=x$. Quel lien peut-on faire avec la conjecture de la question précédente ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm{1,5}{u}_n-1$.

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite $d$ d'équation $y=\mathrm{1,5}x-1$ et la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $y=x$.

1. Reproduire la figure, puis construire « en escalier » les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur l'axe des abscisses, sans les calculer au préalable.
2. Vérifier par le calcul les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
3. Conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ (sens de variation et limite).
4. Déterminer par le calcul l'abscisse du point d'intersection des droites $d$ et $\mathrm{\Delta }$. Que se passe-t-il si l'on choisit $u_0=2$ ?
5. Calculer $u_1$ et $u_2$ lorsque $u_0=\mathrm{1,5}$. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite dans ce cas ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$ :

Cet exercice détaille, étape par étape, la méthode de la suite auxiliaire, qui permet d'exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

1. Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la même relation, c'est-à-dire tel que $c=\mathrm{0,5}c+3$.

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-6$. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. En déduire la nature de la suite $(v_n)$ et préciser son premier terme $v_0$.

3. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.

4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

5. Justifier, à l'aide de la forme explicite obtenue à la question 3, que la suite $(u_n)$ est décroissante.

Un particulier emprunte $10000$ € à sa banque. Chaque mois, la banque ajoute d'abord $1\mathrm{\%}$ d'intérêts sur le capital restant dû, puis le particulier rembourse une mensualité de $300$ €.

On note $D_n$ le capital restant dû, en euros, après $n$ mois. Ainsi $D_0=10000$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$D_{n+1}=\mathrm{1,01}{D}_n-300$$

2. Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c=\mathrm{1,01}c-300$.

3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=D_n-30000$. Montrer, par un calcul direct de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\mathrm{1,01}$, préciser son premier terme $v_0$, et en déduire que pour tout entier naturel $n$ :

   $$D_n=30000-20000\times {\mathrm{1,01}}^n$$

4. Justifier, à l'aide de la forme explicite, que la suite $(D_n)$ est décroissante, puis calculer $D_{12}$ arrondi à l'euro. Interpréter ce résultat.

5. La dette est éteinte au premier mois $n$ pour lequel $D_n⩽0$. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche ce mois :

   D = 10000
   n = 0
   while ... :
       D = ...
       n = n + 1
   print(n)
   

   Quelle valeur ce script affiche-t-il ? Interpréter concrètement ce résultat pour le particulier.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=200$ et, pour tout entier naturel $n$ :

1. La fonction Python termes(k) ci-dessous doit renvoyer la valeur de $u_k$. Recopier et compléter les deux lignes marquées ... :

   def termes(k):
       u = 200
       for i in range(k):
           u = ...
       return ...
   

2. Que renvoie l'appel termes(3) ? Détailler les valeurs successives calculées par la boucle.

3. On considère maintenant la fonction seuil() ci-dessous. Recopier et compléter les deux lignes marquées ... (mise à jour de u et incrément de n), puis indiquer la valeur renvoyée par l'appel seuil() :

   def seuil():
       u = 200
       n = 0
       while u > 160:
           u = ...
           n = ...
       return n
   

4. Interpréter en une phrase le résultat renvoyé par seuil().

Un café est servi à $80$ °C dans une pièce dont la température est constante, égale à $20$ °C. Chaque minute, l'écart de température entre le café et la pièce diminue de $10\mathrm{\%}$.

On note $T_n$ la température du café, en degrés Celsius, au bout de $n$ minutes. Ainsi $T_0=80$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-20=\mathrm{0,9}(T_n-20)$, puis en déduire que :

   $$T_{n+1}=\mathrm{0,9}{T}_n+2$$

2. Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c=\mathrm{0,9}c+2$.

3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=T_n-20$. Montrer, par un calcul direct de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, que la suite $(v_n)$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme $v_0$, puis exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

4. Déterminer la limite de la suite $(T_n)$ et interpréter physiquement ce résultat.

5. On considère que le café est buvable lorsque sa température est strictement inférieure à $35$ °C. Recopier et compléter le script Python ci-dessous pour qu'il affiche le premier entier $n$ tel que $T_n<35$ :

   T = 80
   n = 0
   while ... :
       T = ...
       n = n + 1
   print(n)
   

   Quelle valeur ce script affiche-t-il ?

Chaque matin, un patient prend une dose de $\mathrm{0,5}$ mg d'un médicament. En $24$ heures, l'organisme élimine $40\mathrm{\%}$ de la quantité de médicament présente dans le sang.

On note $m_n$ la quantité de médicament, en mg, présente dans le sang juste après la prise du matin du jour $n$. Le jour $0$ correspond à la première prise : $m_0=\mathrm{0,5}$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ :

   $$m_{n+1}=\mathrm{0,6}{m}_n+\mathrm{0,5}$$

2. Calculer $m_1$ et $m_2$.

3. Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c=\mathrm{0,6}c+\mathrm{0,5}$.

4. Pour tout entier naturel $n$, on pose $w_n=m_n-\mathrm{1,25}$. Montrer, par un calcul direct de $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$, que la suite $(w_n)$ est géométrique, préciser sa raison et son premier terme $w_0$, puis en déduire l'expression de $m_n$ en fonction de $n$.

5. Déterminer, à l'aide de la forme explicite, le sens de variation de la suite $(m_n)$, puis sa limite. Interpréter ces résultats : que peut-on dire de la quantité de médicament dans le sang au fil du traitement ?

6. Le traitement est efficace lorsque la quantité présente dans le sang juste après la prise atteint au moins $\mathrm{1,1}$ mg. Déterminer par balayage le premier jour où le traitement est efficace. On pourra compléter et utiliser le script Python ci-dessous :

   m = 0.5
   n = 0
   while ... :
       m = ...
       n = n + 1
   print(n)
   

7. Un médecin s'inquiète : la quantité de médicament dans le sang peut-elle un jour dépasser $\mathrm{1,3}$ mg ? Justifier rigoureusement à l'aide de la forme explicite de $m_n$.