Devoir surveillé — Suites numériques et modèles discrets

1. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ dans chacun des cas suivants, en justifiant. (0,5 pt par limite)

   a. $u_n=n^2+3n$

   b. $u_n=7-{\displaystyle \frac{2}{n}}$

   c. $u_n={\displaystyle \frac{5}{n+1}}$

   d. $u_n={\mathrm{1,04}}^n$

   e. $u_n=6\times {\mathrm{0,85}}^n$

   f. $u_n=3-2\times {\mathrm{0,9}}^n$

2. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\ge 1$ par $u_n=5+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n^2}}$. (2 pts)

   a. Justifier que pour tout entier $n\ge 1$ :

   $$5-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}\le u_n\le 5+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$$

   b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$, en citant le théorème utilisé.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\mathrm{0,5}{u}_n+3$.

On a représenté ci-dessous la droite $d$ d'équation $y=\mathrm{0,5}x+3$, la droite $\mathrm{\Delta }$ d'équation $y=x$, ainsi que la construction « en escalier » des premiers termes de la suite.

1. Expliquer le principe de cette construction : à quoi sert la droite $d$ ? à quoi sert la droite $\mathrm{\Delta }$ ? (1 pt)
2. Lire graphiquement la valeur de $u_1$, puis une valeur approchée de $u_2$. Vérifier ces valeurs par le calcul. (1 pt)
3. À l'aide du graphique, conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite. (1 pt)
4. Résoudre l'équation $\mathrm{0,5}x+3=x$. Quel lien peut-on faire avec la conjecture de la question précédente ? (1 pt)

Une ville compte $40000$ habitants au 1er janvier 2026. On fait l'hypothèse que, chaque année, $5\mathrm{\%}$ des habitants quittent la ville et que $3000$ nouveaux habitants viennent s'y installer.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n$ la population de la ville, en milliers d'habitants, au 1er janvier de l'année $2026+n$. Ainsi $P_0=40$.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=\mathrm{0,95}{P}_n+3$. (1 pt)

2. Calculer $P_1$ et $P_2$. (1 pt)

3. Déterminer le réel $c$ tel que la suite constante égale à $c$ vérifie la relation $c=\mathrm{0,95}c+3$. (1 pt)

4. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=P_n-60$. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\mathrm{0,95}$ et préciser $v_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : (2 pts)

   $$P_n=60-20\times {\mathrm{0,95}}^n$$

5. À l'aide de la forme explicite obtenue à la question précédente, étudier le sens de variation de la suite $(P_n)$, puis déterminer sa limite. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice. (1,5 pt)

6. On considère le script Python ci-dessous. Donner la valeur affichée par ce script et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. (0,5 pt)

   P = 40
   n = 0
   while P < 55:
       P = 0.95 * P + 3
       n = n + 1
   print(n)
   

Une mine produit $12$ milliers de tonnes de minerai la première année (année de rang $0$). En raison de l'épuisement du gisement, la production baisse de $4\mathrm{\%}$ chaque année.

Pour tout entier naturel $n$, on note $p_n$ la production de la mine, en milliers de tonnes, l'année de rang $n$. Ainsi $p_0=12$.

Rappel. Pour tout réel $q\mathrm{\ne }1$ et tout entier naturel $n$ :

1. Justifier que la suite $(p_n)$ est géométrique et exprimer $p_n$ en fonction de $n$. (1 pt)

2. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$. (0,5 pt)

3. Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n=p_0+p_1+\cdots +p_n$ la quantité totale de minerai extraite depuis l'ouverture de la mine jusqu'à l'année de rang $n$ incluse. Montrer que : (1,5 pt)

   $$S_n=300(1-{\mathrm{0,96}}^{n+1})$$

4. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. (1 pt)