Exercices — Statistique à deux variables

Un glacier installé en bord de mer a relevé, sur 8 journées d'été, la température maximale $x_i$ (en °C) et le nombre $y_i$ de glaces vendues dans la journée.

Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous.

1. Décrire la forme du nuage de points : les points semblent-ils presque alignés ? Dans quel sens évolue le nombre de glaces vendues lorsque la température augmente ? Un ajustement affine semble-t-il pertinent ?

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

3. Le glacier affirme : « chaque degré de plus fait vendre environ 6 glaces de plus ». Expliquer, à l'aide du nuage et sans calcul de régression, en quoi cette affirmation est plausible. On pourra arrondir au dixième si nécessaire.

Un site de vente de véhicules d'occasion a relevé la valeur de revente d'un même modèle de voiture en fonction de son âge. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant, où $x_i$ désigne l'âge du véhicule (en années) et $y_i$ sa valeur de revente (en milliers d'euros).

1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$. Les coefficients seront arrondis au centième.

2. Donner le coefficient de corrélation $r$ de la série, arrondi au millième, puis l'interpréter en précisant la force et le sens de la liaison entre les deux variables.

3. Interpréter le coefficient directeur de la droite dans le contexte de l'exercice.

Avant un contrôle, quatre élèves d'une même classe ont noté le nombre d'heures de révision $x_i$ effectuées, puis la note $y_i$ obtenue (sur 10).

On souhaite déterminer, sans calculatrice, l'équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $x$. On rappelle que cette droite a pour équation $y=ax+b$ avec :

$$a={\displaystyle \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}}\text{et}b=\bar{y}-a\bar{x}\mathrm{.}$$

1. Calculer $\bar{x}$ et $\bar{y}$, puis donner les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.

2. Recopier et compléter le tableau suivant. La première ligne est donnée en exemple.

3. En déduire la valeur de $a$, puis celle de $b$, et donner l'équation de la droite des moindres carrés.

4. Vérifier que le point moyen $G$ appartient à cette droite.

Quatre études statistiques, portant chacune sur deux variables, ont produit les coefficients de corrélation suivants.

Étude A. Taille et masse d'un groupe d'enfants : $r=\mathrm{0,94}$.

Étude B. Altitude et température de l'air relevées le même jour en différents points d'un massif : $r=-\mathrm{0,98}$.

Étude C. Pointure et note obtenue à un test de mathématiques chez des adultes : $r=\mathrm{0,08}$.

Étude D. Vitesse moyenne et temps de trajet sur un même parcours : $r=-\mathrm{0,90}$.

1. Pour chacune des quatre études, dire si un ajustement affine est pertinent. Le cas échéant, préciser le sens de la liaison entre les deux variables.

2. Classer les quatre études de la liaison affine la plus forte à la plus faible.

3. Pour l'étude B, la droite de régression obtenue a pour équation $y=-\mathrm{0,0065}x+15$, où $x$ désigne l'altitude (en m) et $y$ la température (en °C). Que représente concrètement le coefficient $-\mathrm{0,0065}$ ?

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant soigneusement la réponse.

a. « La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage. »

b. « Un coefficient de corrélation de $-\mathrm{0,95}$ traduit un ajustement affine de moins bonne qualité qu'un coefficient de $\mathrm{0,80}$. »

c. « Si $r=\mathrm{0,99}$ entre deux variables, alors l'une est la cause de l'autre. »

d. « Le coefficient de corrélation peut valoir $\mathrm{1,2}$ pour un nuage presque parfaitement aligné. »

e. « Minimiser la somme des écarts (sans les élever au carré) donnerait la même droite. »

Pour un modèle de voiture, un ajustement affine a été réalisé à partir de relevés portant sur des véhicules âgés de 1 à 8 ans. La droite des moindres carrés obtenue a pour équation :

$$y=-\mathrm{1,60}x+\mathrm{18,43}$$

où $x$ désigne l'âge du véhicule (en années) et $y$ sa valeur de revente (en milliers d'euros). Le coefficient de corrélation vaut $r\approx -\mathrm{0,997}$.

1. Rappeler la différence entre une interpolation et une extrapolation.

2. Estimer, à l'aide de ce modèle, la valeur d'une voiture de 4 ans et demi. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ? Le résultat obtenu est-il fiable ?

3. Reprendre la question précédente pour une voiture de 15 ans : que renvoie le modèle, et pourquoi ce résultat est-il absurde ?

4. Proposer une explication : pourquoi le modèle affine cesse-t-il d'être pertinent pour les grands âges ?

En période de sécheresse, les services de gestion d'un lac de barrage relèvent chaque semaine le volume d'eau $V$ (en millions de ${\text{m}}^3$) retenu par le barrage. On note $t$ le numéro de la semaine du relevé.

1. Représenter le nuage de points associé à cette série (on précisera les unités choisies sur les axes). Un ajustement affine est-il envisageable ?

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage (ordonnée arrondie au centième).

3. À la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés de $V$ en $t$, sous la forme $V=at+b$ avec $a$ et $b$ arrondis au centième, ainsi que le coefficient de corrélation $r$ arrondi au millième.

4. À l'aide de ce modèle, estimer le volume d'eau du lac en semaine $12$. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

5. Selon ce modèle, au cours de quelle semaine le lac serait-il à sec ? Quelle réserve peut-on émettre sur cette prédiction ?

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires annuel $y$ (en milliers d'euros) d'une start-up au cours de ses six premières années d'existence. On note $t$ le rang de l'année.

Le nuage de points associé est représenté ci-dessous.

1. Expliquer, à partir du nuage, pourquoi un ajustement affine de $y$ en $t$ n'est pas le mieux adapté (on pourra observer que les accroissements annuels augmentent).

2. On pose $z=\ln y$. Recopier et compléter le tableau des valeurs $z_i$, arrondies au millième.

3. À la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés de $z$ en $t$, sous la forme $z=at+b$ avec $a$ et $b$ arrondis au millième, ainsi que le coefficient de corrélation arrondi à ${10}^{-4}$.

4. En déduire un ajustement de $y$ de la forme $y=B{\mathrm{e}}^{at}$, avec $B$ arrondi au centième.

5. Selon ce modèle, estimer le chiffre d'affaires de la 8e année (arrondi au millier d'euros), puis déterminer au cours de quelle année le chiffre d'affaires dépassera $100000$ €.

On mesure l'éclairement $E$ (en lux) fourni par une lampe à différentes distances $d$ (en mètres) de celle-ci.

Le nuage de points associé est représenté ci-dessous.

1. Un ajustement affine direct de $E$ en $d$ donne un coefficient de corrélation $r\approx -\mathrm{0,874}$. Commenter la qualité de cet ajustement au vu du nuage.

2. On pose $z={\displaystyle \frac{1}{d}}$. Recopier et compléter le tableau des valeurs $z_i$, arrondies au millième.

3. Déterminer à la calculatrice l'équation de la droite des moindres carrés de $E$ en $z$, sous la forme $E=az+b$ avec $a$ et $b$ arrondis au centième, ainsi que le coefficient de corrélation arrondi au millième. Comparer avec la question 1.

4. En déduire une expression de $E$ en fonction de $d$, puis estimer l'éclairement à $\mathrm{2,50}$ m de la lampe (arrondi au lux).

Le tableau ci-dessous donne la population $P$ d'une ville, en milliers d'habitants, relevée tous les dix ans. On note $t$ le nombre d'années écoulées depuis 1980.

1. Calculer les rapports ${\displaystyle \frac{P_{i+1}}{P_i}}$ (arrondis au centième) et expliquer pourquoi ils suggèrent un modèle exponentiel plutôt qu'affine.

2. On pose $z=\ln P$. Donner le tableau des valeurs $z_i$ (arrondies à ${10}^{-4}$), puis l'équation de la droite des moindres carrés de $z$ en $t$, sous la forme $z=at+b$ avec $a$ et $b$ arrondis à ${10}^{-4}$, ainsi que le coefficient de corrélation arrondi à ${10}^{-5}$ près.

3. En déduire un modèle de la forme $P=B{\mathrm{e}}^{at}$, avec $B$ arrondi au centième.

4. À l'aide de ce modèle, estimer la population de la ville en 2050 (arrondie au dixième de millier d'habitants).

5. Selon ce modèle, en quelle année la population dépassera-t-elle $40000$ habitants ?

6. Discuter la fiabilité des réponses aux questions 4 et 5, et citer un facteur réel qui pourrait invalider le modèle.

Dans une station balnéaire, on a relevé chaque mois, pendant deux ans, les ventes de glaces $x$ (en milliers d'euros) et le nombre $y$ d'interventions des sauveteurs en mer. La calculatrice donne un coefficient de corrélation $r\approx \mathrm{0,91}$ entre $x$ et $y$.

1. Peut-on dire que l'ajustement affine de $y$ en $x$ est de bonne qualité ? Justifier.

2. Un journal titre : « Manger des glaces provoque des noyades ». Expliquer pourquoi cette conclusion est abusive.

3. Proposer une « variable cachée » qui pourrait expliquer la corrélation observée, et décrire le mécanisme.

4. Citer, en les commentant en une phrase chacune, les trois situations possibles face à une forte corrélation entre deux variables A et B.

5. Proposer un exemple de votre choix, différent de celui de l'énoncé, de deux variables corrélées sans lien de cause à effet.

Le tableau ci-dessous donne quelques records du monde masculins du 100 mètres. On note $y$ le temps du record (en secondes) et $t$ le nombre d'années écoulées depuis 1900.

1. À la calculatrice, donner l'équation de la droite des moindres carrés de $y$ en $t$, sous la forme $y=at+b$ avec $a$ arrondi à ${10}^{-4}$ et $b$ au centième, ainsi que le coefficient de corrélation arrondi au millième. L'ajustement affine est-il acceptable ?

2. Selon ce modèle, quel serait le record du monde en 2050 (arrondi au centième de seconde) ? S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?

3. Selon ce même modèle, en quelle année le record atteindrait-il $0$ seconde ? Conclure sur les limites du modèle.

4. Le coefficient de corrélation est proche de $-1$. Peut-on en déduire que « le temps qui passe fait baisser les records » ? Discuter : quels sont les vrais moteurs de la baisse des records ?

5. Proposer une raison pour laquelle un modèle pertinent devrait plutôt faire apparaître une limite inférieure (asymptote) pour $y$.